Problèmes – Systèmes d’équations à 2 inconnues

2nd – Exercices corrigés

Tous les systèmes sont résolus à l’aide de la méthode par combinaisons linéaires (ou méthode du pivot de Gauss.)
Ne pas oublier de vérifier les calculs à l’aide par exemple de la calculatrice (qui sait très bien également résoudre ce type de système)

Exercice 1

Dans un magasin, tous les articles d’une même catégorie sont au même prix.
Pierre et Clothilde décident d’y acheter des DVD et des bandes dessinées.
Ils possèdent chacun $75$ €. Pierre achète un DVD et $4$ bandes dessinées ; il lui reste $14,50$ €.
Clothilde dépense 73,50 € pour l’achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées.
Calculer le prix de chaque article.

$\quad$

Correction Exercice 1

On appelle $D$ le prix d’un DVD et $B$ celui d’une bande dessinée.
Pour Pierre : $D+4B=75-14,50 \ssi D+4B=60,5$
Pour Clothilde : $2D+3B=73,5$

On obtient donc le système $S=\begin{cases} D+4B=60,5&\quad L_1\\2D+3B=73,5&\quad L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
L_2 &: &2D+3B=73,5 \\
-2L_1 &: &-\left( 2D+8B=121\right)\\
\hline
&& -5B=-47,5
\end{array}$

Ainsi :
$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} D+4B=60,5&\\-5B=-47,5&L_2-2L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} D+4B=60,5\\B=9,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D+4\times 9,5=60,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D+38=60,5 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=9,5 \\D=22,5 \end{cases}
\end{align*}$

Ainsi un DVD coûte $22,5$ € et une bande dessinée $9,5$ €.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Un train est constitué, à l’aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors $152$ m de long.
Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides.
Après ces changements, le train ainsi constitué mesure $160$ m de long.
Déterminer la longueur en mètre d’une locomotive et celle d’un wagon-citerne.

$\quad$

Correction Exercice 2

On appelle : $L$ la longueur d’une locomotive et $W$ la longueur d’un wagon-citerne.

Ainsi, “Un train est constitué, à l’aller, de deux locomotives identiques et de dix wagons-citernes du même modèle et ce train mesure alors $152$ m de long” permet d’écrire l’équation :
$2L+10W=152$
Et “Après avoir vidé le contenu de tous les wagons-citernes, on décroche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernes vides.
Après ces changements, le train ainsi constitué mesure $160$ m de long.” fournit l’équation :
$2L+10W-L+2W=160 \ssi L+12W=160″.

On a donc le système $S=\begin{cases} 2L+10W=152&L_1 \\L+12W=160&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &2L+24W=320 \\
-L_1 &: &-\left( 2L+10W=152\right)\\
\hline
&& 14W=168
\end{array}$

Ainsi :
$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 2L+10W=152&\\14W=168&2L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 2L+10W=152\\W=12 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12 \\2L+10\times 12=152 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\2L+120=152\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\2L=32 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} W=12\\L=16 \end{cases}
\end{align*}$

Une locomotive mesure donc $16$ m et un wagon-citerne $12$ m.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Pour offrir un cadeau à l’un d’eux, les élèves d’une classe ont collecté $75$ € en pièces de $2$ € et de $1$ € , soit 45 pièces en tout.
Déterminer le nombre de pièces de chaque sorte.

$\quad$

Correction Exercice 3

On appelle $D$ le nombre de pièces de $2$ € et $U$ le nombre de pièces de $1$ €.

Ainsi “les élèves d’une classe ont collecté $75$ € en pièces de $2$ € et de $1$ €” fournit l’équation $2D+1U=75 \ssi 2D+U=75$.
Et “soit 45 pièces en tout” nous permet d’écrire $D+U=45$.

On obtient ainsi le système $S=\begin{cases} 2D+U=75&L_1\\D+U=45&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &2D+2U=90 \\
-L_1 &: &-\left( 2D+U=75\right)\\
\hline
&& U=15
\end{array}$

Ainsi :

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 2D+U=75& \\U=15&2L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\2D+15=75 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\2D=60 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} U=15\\D=30\end{cases}
\end{align*}$

Les élèves ont donc collecté $30$ pièces de $2$ € et $15$ pièces de $1$ €.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Une entreprise artisanale fabrique deux types d’objets en bois, notés A et B.
Un objet de type A nécessite $3$ kg de bois et un objet de type B nécessite $5$ kg de bois.
Pendant une journée, l’entreprise a utilisé $163$ kg de bois pour fabriquer $43$ objets.
Déterminer le nombre d’objets réalisés pour chaque type.

$\quad$

Correction Exercice 4

On appelle $A$ le nombre d’objets de type A fabriqués et $B$ le nombre d’objets de type B fabriqués.

Ainsi “Un objet de type A nécessite $3$ kg de bois et un objet de type B nécessite $5$ kg de bois.
Pendant une journée, l’entreprise a utilisé $163$ kg de bois” permet d’écrire $3A+5B=163$.
Et “… pour fabriquer $43$ objets” nous fournit l’équation $A+B=43$.

On obtient donc le système $S=\begin{cases}3A+5B=163&L_1\\A+B=43&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
3L_2 &: &3A+3B=129 \\
-L_1 &: &-\left( 3A+5B=163\right)\\
\hline
&& -2B=-34
\end{array}$

Ainsi :

$\begin{align*} S&\ssi\begin{cases} 3A+5B=163& \\-2B=-34&3L_2-L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 3A+5B=163\\B=17\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A+5\times 17=163 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A+85=163 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\3A=78 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} B=17\\A=26 \end{cases} \end{align*}$

L’entreprise a donc fabriqué $26$ objets de type A et $17$ objets de type B.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Pour $6$ kilogrammes de vernis et $4$ litres de cire, on paie $95$ euros.
Pour $3$ kilogrammes de vernis et $3$ litres de cire on paie $55,50$ euros.
Quels sont les prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice 5

On appelle $V$ le prix du kilogramme de vernis et $C$ celui du kilogramme de cire.

“Pour $6$ kilogrammes de vernis et $4$ litres de cire, on paie $95$ euros.” permet d’écrire : $6V+4C=95$
“Pour $3$ kilogrammes de vernis et $3$ litres de cire on paie $55,50$ euros.” fournit : $3V+3C=55,5$

On obtient donc le système $S=\begin{cases} 6V+4C=95&L_1\\3V+3C=55,5&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
2L_2 &: &6V+6C=111 \\
-L_1 &: &-\left( 6V+4C=95\right)\\
\hline
&& 2C=16
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 6V+4C=95&\\2C=16&2L_2-L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 6V+4C=95\\C=8\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V+4\times 8=95\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V+32=95\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8\\6V=63\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} C=8 \\V=10,5\end{cases}
\end{align*}$

Un kilogramme de vernis coûte donc $10,$ euros et un kilogramme de cire coûte $8$ euros.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Un torréfacteur met en vente deux sortes de mélange de café. Le mélange A est composé de $60 \%$ d’Arabica et de $40 \%$ de Robusta et coûte $86,40$ F le kilogramme. Le mélange B est composé de $40 \%$ d’Arabica et de $60 \%$ de Robusta et coûte $79,60$ F le kilogramme.
Quel est le prix du kilogramme d’Arabica et du kilogramme de Robusta ?

Remarque : la monnaie utilisée est le franc pacifique.

$\quad$

Correction Exercice 6

On appelle $A$ le prix d’un kilogramme d’Arabica et $R$ le prix d’un kilogramme de Robusta.

“Le mélange A est composé de $60 \%$ d’Arabica et de $40 \%$ de Robusta et coûte $86,40$ F le kilogramme” fournit l’équation $0,6A+0,4R=86,4$.
“Le mélange B est composé de $40 \%$ d’Arabica et de $60 \%$ de Robusta et coûte $79,60$ F le kilogramme.” donne l”équation $0,4A+0,6R=79,6$.

On obtient ainsi le système $S=\begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4&L_1\\0,4A+0,6R=79,6&L_2\end{cases}$

$ \begin{array}{lcl}
0,6L_2 &: &0,24A+0,36R=47,76 \\
-0,4L_1 &: &-\left( 0,24A+0,16R=34,56\right)\\
\hline
&& 0,2R=13,2
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4&\\0,2R=13,2&0,6L_2-0,4L_1 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 0,6A+0,4R=86,4 \\R=66 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66 \\0,6A+0,4\times 66=86,4 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\0,6A+26,4=86,4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\0,6A=60 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} R=66\\A=100 \end{cases}
\end{align*}$

Un kilogramme d’Arabica coûte donc $100$ F et un kilogramme de Robusta coûte $66$ F.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Pour financer une partie de leur voyage de fin d’année, des élèves de troisième vendent des gâteaux qu’ils ont confectionnés eux-même.
Un même jour ils ont vendu $15$ tartes, les unes aux myrtilles et les autres aux pommes.
Une tarte aux myrtilles est vendue $4$ euros et une tarte aux pommes $2$ euros.
La somme encaissée ce jour là est $42$ euros.
Déterminer combien ils ont vendu de tartes de chaque sorte.

$\quad$

Correction Exercice 7

On appelle $M$ le nombre de tartes aux myrtilles vendues et $P$ le nombre de tartes aux pommes vendues.

“Un même jour ils ont vendu $15$ tartes, les unes aux myrtilles et les autres aux pommes.” fournit l’équation $M+P=15$.
“Une tarte aux myrtilles est vendue $4$ euros et une tarte aux pommes $2$ euros. La somme encaissée ce jour là est $42$ euros.” nous permet d’écrire $4M+2P=42$.

On obtient le système $S=\begin{cases} M+P=15&L_1\\4M+2P=42&L_2\end{cases}$.

$ \begin{array}{lcl}
L_2 &: &4M+2P=42 \\
-4L_1 &: &-\left( 4M+4P=60\right)\\
\hline
&& -2P=-18
\end{array}$

Ainsi

$\begin{align*} S&\ssi \begin{cases} M+P=15 &\\-2P=-18&L_2-4L_1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} M+P=15\\P=9\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} P=9\\M+9=15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} P=9\\M=6\end{cases}
\end{align*}$

Par conséquent ils ont vendu $6$ tartes aux myrtilles et $9$ tartes aux pommes.

$\quad$

[collapse]