Variations de fonctions et parité d’une fonction

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

$f$ est une fonction admettant le tableau de variations suivant :

$$\begin{array}{|c|l|c|c|c|c|}
\hline
& & A&B&C&\begin{array}{c}\text{Votre}\\\text{choix}\end{array} \\
\hline
1&\begin{array}{l} \text{L’ensemble de}\\ \text{définition de } f \text{est :}\end{array}& [-2;4] & [0;2]\cup[6;9]& [0;11] & \\
\hline
2&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses}\\ \text{vraie, laquelle}\end{array} & f(0) = 2 & f(2) = 0 & \begin{array}{l}\text{L’image de }0 \text{ par }f \text{ est} \\\text{égale à }11 \end{array} & \\
\hline
3&\begin{array}{l} \text{Une de ces réponses}\\ \text{vraie, laquelle}\end{array} & f(3) \le f(4) & f(3) \ge f(4) & \begin{array}{l} \text{On ne peut pas}\\ \text{comparer} f(3) \text{ et } f(4) \end{array}& \\
\hline
4& f \text{ admet pour minimum :} & -1 \text{ sur } [6;11] & 0 \text{ sur } [0;11] & -2 \text{ sur } [6;11] & \\
\hline
5&f \text{ est } & \begin{array}{l} \text{croissante sur}\\ \text{l’intervalle }[2;4] \end{array} & \begin{array}{l} \text{décroissante sur} \\ \text{l’intervalle }[-2;4]\end{array} & \begin{array}{l} \text{croissante sur} \\ \text{l’intervalle }[0;4]\end{array} & \\
\hline
\end{array}$$

Correction Exercice 1

L’ensemble de définition est $[0;11]$ : Réponse C
$\quad$
$f(0) = 2$ (Pour les autres propositions : $f(2) = -1$ et $f(11) = 0$) : Réponse A
$\quad$
La fonction $f$ est croissante sur $[2;6]$ donc $f(3) \le f(4)$ : Réponse A
$\quad$
$f$ admet pour minimum $-2$ sur $[6;11]$ : Réponse C
$\quad$
$f$ est croissante sur l’intervalle $[2;6]$. Elle est donc croissante sur l’intervalle $[2;4]$ : Réponse A
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f$.

Indiquer si les propositions suivantes sont vraies, fausses ou si on ne peut pas répondre.

$\begin{array}{llc}
1. & (-2) < f(-2,5) & \ldots \ldots \ldots \\
2. & f(-3) = -4 & \ldots \ldots \ldots \\
3. & 2 \text{ est un antécédent de } 0 \text{ par }f & \ldots \ldots \ldots \\
4. & \text{Il existe un nombre réel de l’intervalle }[0;3] \text{ qui a pour image }0 \text{ par } f & \ldots \ldots \ldots \\
5. & \text{Tous les réels de l’intervalle }[0;3] \text{ ont une image par } f \text{ positive} & \ldots \ldots \ldots \\
6. & \text{Il existe un réel de l’intervalle }[-3;3] \text{qui a une image strictement négative par }f & \ldots \ldots \ldots
\end{array}$

$\quad$

Correction Exercice 2

$f(-2) < f(-2,5)$ FAUX
$\quad$
$f(-3) = -4$ FAUX
$\quad$
$2$ est un antécédent de $0$ par $f$ VRAI
$\quad$
Il existe un nombre réel de l’intervalle $[0;3]$ qui a pour image $0$ par $f$ VRAI
$\quad$
Tous les réels de l’intervalle $[0;3]$ ont une image par $f$ positive VRAI
$\quad$
Il existe un réel de l’intervalle $[-3;3]$ qui a une image strictement négative par $f$ ON NE SAIT PAS

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$\quad$

Exercice 3

Déterminer dans chacun des cas si la fonction fournie est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

La fonction $f_1$ définie sur $\R$ par $f_1(x)=4x^2+5$.
$\quad$
La fonction $f_2$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_2(x)=\dfrac{5}{x}+4x^3$
$\quad$
La fonction $f_3$ définie sur $\R$ par $f_3(x)=\dfrac{x-3}{x^2+2}$
$\quad$
La fonction $f_4$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f_4(x)=5x^2-4$
$\quad$
La fonction $f_5$ définie sur $\R$ par $f_5(x)=\dfrac{x^3-x}{4}$
$\quad$
La fonction $f_6$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_6(x)=\dfrac{-2}{x^2}+7$
$\quad$

Correction Exercice 3

La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par $f_1(x)=4x^2+5$.
Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
$\begin{align*} f_1(-x)&=4(-x)^2+5 \\
&=4x^2+5\\
&=f_1(x)\end{align*}$
La fonction $f_1$ est donc paire.
$\quad$
La fonction $f_2$ est définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_2(x)=\dfrac{5}{x}+4x^3$
Pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ alors $-x$ appartient également à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
$\begin{align*} f_2(-x)&=\dfrac{5}{-x}+4(-x)^3 \\
&=-\dfrac{5}{x}-4x^3 \\
&=-\left(\dfrac{5}{x}+4x^3\right) \\
&=-f_2(x)\end{align*}$
La fonction $f_2$ est donc impaire.
$\quad$
La fonction $f_3$ définie sur $\R$ par $f_3(x)=\dfrac{x-3}{x^2+2}$
Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
$\begin{align*} f_3(-x)&=\dfrac{-x-3}{(-x)^2+2} \\
&=-\dfrac{x+3}{x^2+2}\end{align*}$
Or $-f_3(x)=-\dfrac{x-3}{x^2+2}$
Donc $f_3(-x)\neq f_3(x)$ et $f_3(-x)\neq -f_3(x)$.
La fonction $f_3$ n’est donc ni paire, ni impaire.
$\quad$
La fonction $f_4$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f_4(x)=5x^2-4$
Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;+\infty[$, le réel $-x$ n’appartient pas à $[0;+\infty[$.
La fonction $f_4$ n’est donc ni paire, ni impaire.
$\quad$
La fonction $f_5$ définie sur $\R$ par $f_5(x)=\dfrac{x^3-x}{4}$
Pour tout réel $x$, le réel $-x$ appartient également à $\R$.
$\begin{align*} f_5(-x)&=\dfrac{(-x)^3-(-x)}{4} \\
&=\dfrac{-x^3+x}{4} \\
&=\dfrac{-\left(x^3-x\right)}{4} \\
&=-\dfrac{x^3-x}{4} \\
&=-f_5(x)\end{align*}$
La fonction $f_5$ est donc impaire.
$\quad$
La fonction $f_6$ définie sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ par $f_6(x)=\dfrac{-2}{x^2}+7$
Pour tout réel $x$ appartenant à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ alors $-x$ appartient également à $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$.
$\begin{align*} f_6(-x)&=\dfrac{-2}{(-x)^2}+7 \\
&=\dfrac{-2}{x^2}+7\\
&=f_6(x)\end{align*}$
La fonction $f_6$ est donc paire.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4

À partir de la courbe de la fonction représentée, dire si la fonction semble paire, impaire ou ni paire, ni impaire.

$\quad$

Correction Exercice 4

La courbe de la fonction $1$ semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction $1$ semble donc paire.
$\quad$
La courbe de la fonction $2$ ne semble ni symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ni symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $2$ ne semble donc ni paire, ni impaire.
$\quad$
La courbe de la fonction $3$ semble symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $3$ semble donc impaire.
$\quad$
La courbe de la fonction $4$ ne semble ni symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ni symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $4$ ne semble donc ni paire, ni impaire.
$\quad$
La courbe de la fonction $5$ semble symétrique par rapport à l’origine du repère. La fonction $5$ semble donc impaire.
$\quad$
La courbe de la fonction $6$ semble symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction $6$ semble donc paire.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5 Difficulté +

On considère une fonction $f$ paire définie sur $\R$ et on suppose qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle $[1;6]$. Quel est son sens de variations sur l’intervalle $[-6;-1]$?
$\quad$
On considère une fonction $g$ impaire définie sur $\R$ et on suppose qu’elle est strictement décroissante sur l’intervalle $[2;10]$. Quel est son sens de variations sur l’intervalle $[-10;-2]$?
$\quad$

Remarque : Ces propriétés sont généralisables à tout intervalle inclus dans $[0;+\infty[$.

$\quad$

Correction Exercice 5

On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $-6\pp v<u\pp -1$. On veut comparer $f(u)$ et $f(v)$.
$u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Il existe donc deux réels strictement positifs $a$ et $b$ tels que $u=-a$ et $v=-b$. De plus $1 \pp a<b\pp 6$
La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[1;6]$. On a donc $f(a)<f(b)$.
La fonction $f$ est paire. Donc $f(a)=f(-a)$ et $f(b)=f(-b)$.
Ainsi $f(-a)<f(-b)$ c’est-à-dire $f(u)<f(v)$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[-6;-1]$.
$\quad$
On considère deux réels $u$ et $v$ tels que $-10\pp v<u\pp -2$. On veut comparer $g(u)$ et $g(v)$.
$u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Il existe donc deux réels strictement positifs $a$ et $b$ tels que $u=-a$ et $v=-b$. De plus $2 \pp a<b\pp 10$
La fonction $g$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[2;10]$. Donc $g(a)>g(b)$.
La fonction $g$ est impaire. Donc $g(-a)=-g(a)$ et $g(-b)=-g(b)$.
Ainsi $-g(-a)>-g(-b)$ c’est-à-dire $g(-a)<g(-b)$ et donc $g(u)<g(v)$
La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[-10;-2]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$