2nd – Exercices – variations d’une fonction

Exercices – Variations d’une fonction, minimum et maximum

Exercice 1

Tracer une courbe susceptible de représenter une fonction $f$ sachant que :

  • $f$ est définie sur l’intervalle $[-5;4]$;
  • $f$ admet un minimum $–3$ et un maximum $5$ qui ne sont atteints ni en $–5$ ni en $4$;
  • l’image de $–5$ est négative;
  • $0$ possède trois antécédents.

$\quad$

Correction Exercice 1

Voici une proposition (il en existe une infinité).

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$\quad$

Exercice 2

On considère une fonction $f$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

  1. Déterminer l’ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Préciser le minimum et le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}_f$ et pour quelles valeurs sont-ils atteints?
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. La fonction $f$ est définie sur $\mathscr{D}_f=[-2;6]$.
    $\quad$
  2. Le tableau de variation de la fonction $f$ est :
  3. Le minimum de la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$ est $-4$. Il est atteint en $-1$ et $3$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$ est $5$. Il est atteint en $6$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On considère une fonction $f$ dont le tableau de variation est :

  1. Quel est l’ensemble de définition $\mathscr{D}_f$ de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. Préciser le minimum et le maximum de la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$.
    $\quad$
  3. Préciser le minimum et le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;9]$.
    $\quad$
  4. Compléter le plus précisément possible les inégalités suivantes :
    $\quad$
    a. $\ldots \ldots \pp f(-5) \pp \ldots \ldots$
    $\quad$
    b. $\ldots \ldots \pp f(20)\pp \ldots \ldots$
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. La fonction $f$ est définie sur $\mathscr{D}_f=[-10;30]$.
    $\quad$
  2. Le minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;30]$ est $-52$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;30]$ est $33$.
    $\quad$
  3. Le minimum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;9]$ est $-25$.
    Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10;9]$ est $33$.
    $\quad$
  4. a. $-25 \pp f(-5) \pp 33$
    $\quad$
    b. $-52 \pp f(20)\pp 20$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère une fonction $f$ dont le tableau de variation est le suivant :

  1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. a. Quel est le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty;10]$?
    $\quad$
    b. Quel est le signe de $f(x)$ sur l’intervalle $]-\infty;10]$?
    $\quad$
  3. a. Quel est le maximum de la fonction $f$ sur $\R$?
    $\quad$
    b. En déduire le nombre de solution de l’équation $f(x)=2$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. La fonction $f$ est définie sur $\R$.
    $\quad$
  2. a. Le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty;10]$ est $0$.
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $]-\infty;10]$ le maximum est $0$. On a donc $f(x)\pp 0$ pour tout réel $x\in]-\infty;10]$.
    $f(x)$ est donc négatif ou nul sur cet intervalle.
    $\quad$
  3. a. Le maximum de la fonction $f$ sur $\R$ est $\dfrac{13}{7}$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f(x)\pp \dfrac{13}{7}<2$.
    $2$ ne possède donc pas d’antécédent par la fonction $f$ et l’équation $f(x)=2$ ne possède pas de solution sur $\R$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-4;5]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier votre réponse.

Affirmation 1 : $f(4)\pg 0$.

$\quad$

Affirmation 2 : La courbe représentant la fonction $f$ coupe l’axe des abscisses en un seul point.

$\quad$

Correction Exercice 5

D’après le tableau de variation on sait que $-2 \pp f(4) \pp 1$.
On ne peut donc pas déterminer le signe de $f(4)$.
Affirmation 1 fausse

D’après le tableau de variation on sait que $f(-1)=0$. La courbe représentant la fonction $f$ coupe donc l’axe des abscisses au point d’abscisses $-1$.
On sait également que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[3;5]$ et qu’elle prend des valeurs comprises entre $-2$ et $1$. Elle prendra donc une nouvelle fois sur cet intervalle (il faudra attendre la terminale pour avoir une justification précise) la valeur $0$.
Affirmation 2 fausse

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère une fonction $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

  1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f$?
    $\quad$
  2. Combien d’antécédents le nombre $5$ possède-t-il par la fonction $f$ sur son ensemble de définition?
    $\quad$
  3. Compléter le plus précisément possible les inégalités suivantes :
    $\quad$
    a. $\ldots \ldots \pp f(3) \pp \ldots \ldots$
    $\quad$
    b. $\ldots \ldots \pp f(-2) \pp \ldots \ldots$
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. L’ensemble de définition de la fonction $f$ est $\mathscr{D}_f=[-10;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $[-10;0]$ le maximum de la fonction $f$ est $1$. Par conséquent $5$ ne possède pas d’antécédent sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ le maximum de la fonction $f$ est $5$, atteint pour $x=2$. Par conséquent $5$ possède un unique antécédent sur cet intervalle.
    Le nombre $5$ possède donc un unique antécédent par la fonction $f$ sur $\mathscr{D}_f$.
    $\quad$
  3. a. $-1 \pp f(3) \pp 5$
    $\quad$
    b. $-7 \pp f(-2) \pp 1$
    $\quad$

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$\quad$