Vecteurs – Pour aller plus loin

2nd – Exercices corrigés

Exercice 1

Le plan est muni d’un repère $(O;I,J)$ et on considère deux vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x’;y’)$.

On note $A$ et $B$ deux points tels que $\vect{OA}=\vec{u}$ et $\vect{OB}=\vec{v}$.

Exprimer $OA^2$, $OB^2$ et $AB^2$ en fonction de $x,y,x’$ et $y’$.
$\quad$
Démontrer que les droites $(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires si, et seulement si, $xx’+yy’=0$.
$\quad$
On dira que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, les droites $(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires.
$\quad$
Les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux?
a. $\vec{u}(-3;6)$ et $\vec{v}(2;1)$
$\quad$
b. $\vec{u}(3;5)$ et $\vec{v}(-8;5)$
$\quad$
c. $\vec{u}\left(\sqrt{2};\sqrt{3}\right)$ et $\vec{v}\left(-3;\sqrt{6}\right)$
$\quad$

Correction Exercice 1

On sait que $\vect{OA}=\vec{u}$ et $\vect{OB}=\vec{v}$ donc $A(x;y)$ et $B(x’;y’)$.
Par conséquent :
$OA^2=x^2+y^2$
$OB^2={x’}^2+{y’}^2$
$AB^2=(x’-x)^2+(y’-y)^2$
$\quad$
Les droites $(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires
$\ssi$ le triangle $OAB$ est rectangle en $O$
$\ssi OA^2+OB^2=AB^2$
$\ssi x^2+y^2+{x’}^2+{y’}^2=(x’-x)^2+(y’-y)^2$
$\ssi x^2+y^2+{x’}^2+{y’}^2={x’}^2-2x’x+x^2+{y’}^2-2y’y+y^2$
$\ssi -2xx’-2yy’=0$
$\ssi -2\left(xx’+yy’\right)=0$
$\ssi xx’+yy’=0$
$\quad$
a. $\vec{u}(-3;6)$ et $\vec{v}(2;1)$
Donc $xx’+yy’=-3\times 2+6\times 1=-6+6=0$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
$\quad$
b. $\vec{u}(3;5)$ et $\vec{v}(-8;5)$
Donc $xx’+yy’=3\times (-8)+5\times 5=-24+25=1\neq 0$.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas orthogonaux.
$\quad$
c. $\vec{u}\left(\sqrt{2};\sqrt{3}\right)$ et $\vec{v}\left(-3;\sqrt{6}\right)$
Donc
$\begin{align*} xx’+yy’&=-3\sqrt{2}+\sqrt{3}\times \sqrt{6}\\
&=-3\sqrt{2}+\sqrt{18}\\
&=-3\sqrt{2}+\sqrt{9\times 2}\\
&=-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\
&=0
\end{align*}$
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On se place dans un repère $\Oij$ et on considère les points $A\left(-\dfrac{7}{2};2\right)$, $B(-2;5)$, $C\left(5;\dfrac{13}{2}\right)$ et $D\left(3;\dfrac{5}{2}\right)$.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$.
$\quad$
Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.
$\quad$
On définit le point $I$ par l’égalité $\vect{IA}=\dfrac{3}{4}\vect{ID}$.
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Les points $I,B$ et $C$ sont-ils alignés?
$\quad$
On appelle $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CD]$.
Démontrer que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
$\quad$

Correction Exercice 2

$\vect{AB}\left(-2+\dfrac{7}{2};5-2\right)$ soit $\vect{AB}\left(\dfrac{3}{2};3\right)$
$\vect{CD}\left(3-5;\dfrac{5}{2}-\dfrac{13}{2}\right)$ soit $\vect{CD}(-2;-4)$
$\quad$
Montrons que les vecteurs $\vect{AB}\left(\dfrac{3}{2};3\right)$ et $\vect{CD}(-2;-4)$ sont colinéaires.
det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=\dfrac{3}{2}\times (-4)-3\times (-2)=-6+6=0$
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont bien colinéaires.
Par conséquent le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.
$\quad$
On note $I(x;y)$.
Par conséquent $\vect{IA}\left(-\dfrac{7}{2}-x;2-y\right)$ et $\vect{ID}\left(3-x,\dfrac{5}{2}-y\right)$
$\begin{align*} \vect{IA}=\dfrac{3}{4}\vect{ID} &\ssi \begin{cases} -\dfrac{7}{2}-x=\dfrac{3}{4}(3-x) \\2-y=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{5}{2}-y\right)\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} -\dfrac{7}{2}-x=\dfrac{9}{4}-\dfrac{3}{4}x\\2-y=\dfrac{15}{8}-\dfrac{3}{4}y\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}\dfrac{3}{4}x-x=\dfrac{7}{2}+\dfrac{9}{4}\\\dfrac{3}{4}y-y=\dfrac{15}{8}-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} -\dfrac{1}{4}x=\dfrac{23}{4}\\-\dfrac{1}{4}y=-\dfrac{1}{8} \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-23\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases} \end{align*}$
Donc $I\left(-23;\dfrac{1}{2}\right)$
$\quad$
$\vect{BI}\left(-23+2;\dfrac{1}{2}-5\right)$ soit $\vect{BI}\left(-21;-\dfrac{9}{2}\right)$
$\vect{BC}\left(5+2;\dfrac{13}{2}-5\right)$ soit $\vect{BC}\left(7;\dfrac{3}{2}\right)$
Ainsi :
det$\left(\vect{BI};\vect{BC}\right)=-21\times \dfrac{3}{2}-\left(-\dfrac{9}{2}\right)\times 7=-\dfrac{63}{2}+\dfrac{63}{2}=0$
Les vecteurs $\vect{BI}$ et $\vect{BC}$ sont colinéaires.
Par conséquent les points $B,C$ et $I$ sont alignés.
$\quad$
$J$ est le milieu du segment $[AB]$ donc
$\begin{cases} x_J=\dfrac{-\dfrac{7}{2}-2}{2}\\y_J=\dfrac{2+5}{2}\end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_J=-\dfrac{11}{4} \\y_J=\dfrac{7}{2}\end{cases}$
Finalement $J\left(-\dfrac{11}{4};\dfrac{7}{2}\right)$
$K$ est le milieu du segment $[CD]$ donc
$\begin{cases} x_K=\dfrac{5+3}{2}\\y_K=\dfrac{\dfrac{13}{2}+\dfrac{5}{2}}{2}\end{cases}$ $\ssi \begin{cases} x_K=4\\y_K=\dfrac{9}{2}\end{cases}$
Finalement $K\left(4;\dfrac{9}{2}\right)$
Montrons que les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IK}$ sont colinéaires.
$\vect{IJ}\left(-\dfrac{11}{4}+23;\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vect{IJ}\left(\dfrac{81}{4};3\right)$
$\vect{IK}\left(4+23;\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\right)$ soit $\vect{IK}(27;4)$
Par conséquent :
det$\left(\vect{IJ},\vect{IK}\right)=\dfrac{81}{4}\times 4-3\times 27=81-81=0$
Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IK}$ sont donc colinéaires et les points $I,J$ et $K$ sont alignés.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On se place dans un repère $(O;I,J)$ et on considère les points $A(-2;-1)$, $B(3;2)$ et $C(1;5)$.

Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $K$ vérifiant $\vect{AK}=2\vect{CB}$.
$\quad$
On appelle $M$ le point de coordonnées $(6-m;m)$.
Déterminer la valeur de $m$ pour que les points $B$, $C$ et $M$ soient alignés.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $L$ défini par $\vect{AL}+2\vect{BL}+\vect{CL}=\vec{0}$.
$\quad$

Correction Exercice 3

$ABDC$ est un parallélogramme $\ssi \vect{AB}=\vect{CD}$.
$\vect{AB}(5;3)$
On note $D(x;y)$ donc $\vect{CD}(x-1;y-5)$.
$\begin{align*} \vect{AB}=\vect{CD}&\ssi \begin{cases} x-1=5\\y-5=3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=6\\y=8\end{cases}
\end{align*}$
Le point $D$ a donc pour coordonnées $(6;8)$
$\quad$
On note $K(x;y)$
Par conséquent $\vect{AK}(x+2;y+1)$
$\vect{CB}(2;-3)$
$\begin{align*} \vect{AK}=2\vect{CB}&\ssi \begin{cases} x+2=2\times 2\\y+1=2\times (-3)\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x+2=4\\y+1=-6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2\\y=-7\end{cases}\end{align*}$
Le point $K$ a pour coordonnées $(2;-7)$.
$\quad$
On a $\vect{BM}(6-m-3;m-2)$ soit $\vect{BM}(3-m;m-2)$
$\vect{BC}(-2;3)$.
Les points $B,C$ et $M$ sont alignés
$\ssi$ les vecteurs $\vect{BC}$ et $\vect{BM}$ sont colinéaires
$\ssi$ det$\left(\vect{BC},\vect{BM}\right)=0$
$\ssi -2(m-2)-3(3-m)=0$
$\ssi -2m+4-9+3m=0$
$\ssi m=5$
Donc le point $M$ a pour coordonnées $(1:5)$.
$\quad$
On note $L(x;y)$
Alors $\vect{AL}(x+2;y+1)$, $\vect{BL}(x-3;y-2)$ et $\vect{CL}(x-1;y-5)$
$\begin{align*} &\vect{AL}+2\vect{BL}+\vect{CL}=\vec{0}\\
&\ssi \begin{cases} x+2+2(x-3)+x-1=0\\y+1+2(y-2)+(y-5)=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x+2+2x-6+x-1=0\\y+1+2y-4+y-5=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} 4x-5=0\\4y-8=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} 4x=5\\4y=8\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{5}{4}\\y=2\end{cases}
\end{align*}$
Le point $L$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{4};2\right)$.

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$\quad$

Exercice 4

On se place dans un repère $(O;I,J)$ et on considère les points $M(0;-3)$, $N(2;3)$, $P(-9;0)$ et $Q(-1;-1)$.

Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$ tels que :
$$\vect{NA}=\dfrac{1}{2}\vect{MN} \quad \text{et} \quad \vect{MB}=3\vect{MQ}$$
$\quad$
Les points $A,B$ et $P$ sont-ils alignés?
$\quad$

Correction Exercice 4

On note $A\left(x_A;y_A\right)$.
$\vect{NA}\left(x_A-2;y_A-3\right)$ et $\vect{MN}(2;6)$
$\begin{align*} \vect{NA}=\dfrac{1}{2}\vect{MN}&\ssi \begin{cases} x_A-2=\dfrac{1}{2}\times 2\\y_A-3=\dfrac{1}{2}\times 6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_A-2=1\\y_A-3=3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_A=3\\y_A=6\end{cases}
\end{align*}$
$\quad$
On note $B\left(x_B;y_B\right)$
$\vect{MB}\left(x_B;y_B+3\right)$ et $\vect{MQ}(-1;2)$
$\begin{align*} \vect{MB}=3\vect{MQ}&\ssi \begin{cases} x_B=3\times (-1)\\y_B+3=3\times 2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_B=-3\\y_B+3=6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_B=-3\\y_B=3\end{cases}
\end{align*}$
Par conséquent le point $A$ a pour coordonnées $(3;6)$ et le point $B$ a pour coordonnées $(-3;3)$.
$\quad$
On a $\vect{AB}(-6;-3)$ et $\vect{AP}(-12;-6)$
On constate que $\vect{AP}=2\vect{AB}$.
Les vecteurs $\vect{AP}$ et $\vect{AB}$ sont donc colinéaires.
Par conséquent, les points $A,B$ et $P$ sont alignés.

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$\quad$

Exercice 5

Soit $I$ le milieu d’un segment $[AB]$ et $M$ un point n’appartenant pas à la droite $(AB)$.

Construire les points $C$ et $D$ tels que
$$\vect{IC}=\vect{IA}+\vect{IM} \qquad \text{et} \qquad \vect{ID}=\vect{IB}+\vect{IM}$$
$\quad$
Quelle est la nature des quadrilatères $AIMC$ et $IBDM$?
$\quad$
Démontrer que $M$ est le milieu de $[CD]$.
$\quad$
Démontrer que $\vect{IC}=\vect{BM}$.
$\quad$
Soit $E$ le symétrique de $I$ par rapport à $M$.
Démontrer que $\vect{IC}+\vect{ID}=\vect{IE}$.
$\quad$

Correction Exercice 5

On obtient la figure suivante :
$\quad$
$\vect{IC}=\vect{IA}+\vect{IM}$ D’après la règle du parallélogramme cela signifie que $AIMC$ est un parallélogramme.
$\vect{ID}=\vect{IB}+\vect{IM}$ D’après la règle du parallélogramme cela signifie que $IBDM$ est un parallélogramme.
$\quad$
D’une part :
$\begin{align*}
\vect{MC}&=\vect{MI}+\vect{IC} \\
&=\vect{MI}+\vect{IA}+\vect{IM} \\
&=\vect{IA}
\end{align*}$
$\quad$
D’autre part :
$\begin{align*}
\vect{MD}&=\vect{MI}+\vect{ID} \\
&=\vect{MI}+\vect{IB}+\vect{IM} \\
&=\vect{IB}
\end{align*}$
$\quad$
Puisque $I$ est le milieu de $[AB]$ on a $\vect{IA}=-\vect{IB}$.
Par conséquent $\vect{MC}=-\vect{MD}$ et $M$ est le milieu de $[CD]$.
$\quad$
$\vect{IC}=\vect{IA}+\vect{IM}=\vect{BI}+\vect{IM}=\vect{BM}$
$\quad$
$M$ est le milieu de $[CD]$ et de $[IE]$ par conséquent les diagonales du quadrilatère $ICED$ se croisent en leur milieu : C’est donc un parallélogramme.
D’après la règle du parallélogramme $\vect{IC}+\vect{ID}=\vect{IE}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère un triangle quelconque $ABC$ et on appelle $G$ son centre de gravité. On admet que le point $G$ vérifie que $\vect{AG}=\dfrac{2}{3}\vect{AA’}$ où $A’$ est le milieu du segment $[BC]$.

Démontrer que $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec{0}$.

$\quad$

Correction Exercice 6

$\begin{align*} \vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}&= \vect{GA}+\vect{GA}+\vect{AB}+\vect{GA}+\vect{AC} \\
&=3\vect{GA}+\vect{AB}+\vect{AC}\\
&=-2\vect{AA’}+\vect{AD}
\end{align*}$

où $D$ est le point tel que $ABDC$ soit un parallélogramme.
Par conséquent $\vect{AD}=2\vect{AA’}$

Et donc $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=-2\vect{AA’}+2\vect{AA’}=\vec{0}$.

[collapse]

$\quad$