2nd – Exercices – Vecteurs

Vecteurs

Sans coordonnées

Exercice 1

Simplifier les expressions en utilisant la relation de Chasles :

  1. $\vect{AB}-\vect{AC}-\vect{CB}$
    $\quad$
  2. $\vect{BC}-\vect{BA}+\vect{BD}-\vect{BC}$
    $\quad$
  3. $\vect{AB}-\vect{AC}+\vect{BC}-\vect{BA}$
    $\quad$
  4. $\vect{AC}+2\vect{CB}+\vect{BA}$
    $\quad$
  5. $2\vect{AB}-\vect{BC}-\vect{CA}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\vect{AB}-\vect{AC}-\vect{CB}$
    $=\vect{AB}+\vect{CA}+\vect{BC}$
    $=\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CA}$
    $=\vect{AA}$
    $=\vec{0}$
    $\quad$
  2. $\vect{BC}-\vect{BA}+\vect{BD}-\vect{BC}$
    $=-\vect{BA}+\vect{BD}$
    $=\vect{AB}+\vect{BD}$
    $=\vect{AD}$
    $\quad$
  3. $\vect{AB}-\vect{AC}+\vect{BC}-\vect{BA}$
    $=\vect{AB}+\vect{CA}+\vect{BC}+\vect{AB}$
    $=2\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CA}$
    $=2\vect{AB}+\vect{BA}$
    $=2\vect{AB}-\vect{AB}$
    $=\vect{AB}$
    $\quad$
  4. $\vect{AC}+2\vect{CB}+\vect{BA}$
    $=\vect{AC}+\vect{CB}+\vect{CB}+\vect{BA}$
    $=\vect{AB}+\vect{CA}$
    $=\vect{CA}+\vect{AB}$
    $=\vect{CB}$
    $\quad$
  5. $2\vect{AB}-\vect{BC}-\vect{CA}$
    $=2\vect{AB}+\vect{CB}+\vect{AC}$
    $=2\vect{AB}+\vect{AC}+\vect{CB}$
    $=2\vect{AB}+\vect{AB}$
    $=3\vect{AB}$
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Développer et simplifier les expressions suivantes :

  1. $\vec{u}-2\left(\vec{u}+\vec{v}\right)-\dfrac{1}{3}\vec{v}$
    $\quad$
  2. $-\dfrac{2}{5}\vec{u}+\vec{u}-\dfrac{1}{4}\left(\vec{u}-\vec{v}\right)$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{2}\left(\vec{u}-\vec{v}\right)-\dfrac{1}{3}\left(\vec{u}+\vec{v}\right)$
    $\quad$
Correction Exercice 2
  1. $\vec{u}-2\left(\vec{u}+\vec{v}\right)-\dfrac{1}{3}\vec{v}$
    $=\vec{u}-2\vec{u}-2\vec{v}-\dfrac{1}{3}\vec{v}$
    $=-\vec{u}-\dfrac{7}{3}\vec{v}$
    $\quad$
  2. $-\dfrac{2}{5}\vec{u}+\vec{u}-\dfrac{1}{4}\left(\vec{u}-\vec{v}\right)$
    $=-\dfrac{2}{5}\vec{u}+\vec{u}-\dfrac{1}{4}\vec{u}+\dfrac{1}{4}\vec{v}$
    $=\dfrac{7}{20}\vec{u}+\dfrac{1}{4}\vec{v}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{2}\left(\vec{u}-\vec{v}\right)-\dfrac{1}{3}\left(\vec{u}+\vec{v}\right)$
    $=\dfrac{1}{2}\vec{u}-\dfrac{1}{2}\vec{v}-\dfrac{1}{3}\vec{v}-\dfrac{1}{3}\vec{v}$
    $=\dfrac{1}{6}\vec{u}-\dfrac{5}{6}\vec{v}$
    $\quad$

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$\quad$

$\quad$

Exercice 3

On considère un triangle $ABC$ et les poins $D$ et $E$ tels que :

$\vect{AD}=\dfrac{3}{2}\vect{AB}$ et $\vect{DE}=\dfrac{3}{2}\vect{BC}$

Montrer que $\vect{AE}=\dfrac{3}{2}\vect{AC}$

Que peut-on en conclure sur les points $A$, $E$ et $C$?

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} \vect{AE}&=\vect{AD}+\vect{DE } \\
&=\dfrac{3}{2}\vect{AB}+\dfrac{3}{2}\vect{BC}\\
&=\dfrac{3}{2}\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right)\\
&=\dfrac{3}{2}\vect{AC}
\end{align*}$

Les vecteurs $\vect{AE}$ et $\vect{AC}$ sont donc colinéaires et les points $A,E$ et $C$ sont alignés.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

On considère un triangle $ABC$ et les points $M$, $N$ et $P$ tels que :

$\vect{AM}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$, $\vect{CN}=\dfrac{1}{3}\vect{CA}$ et $\vect{CP}=\dfrac{1}{3}\vect{BC}$

Montrer que $\vect{MN}=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AC}$, puis que $\vect{NP}=\vect{MN}$.

Que peut-on en conclure?

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*} \vect{MN}&=\vect{MA}+\vect{AC}+\vect{CN} \\
&=-\vect{AM}+\vect{AC}+\dfrac{1}{3}\vect{CA}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\vect{AC}+\dfrac{1}{3}\vect{CA} \\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\vect{AC}-\dfrac{1}{3}\vect{AC}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\dfrac{2}{3}\vect{AC}
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} \vect{NP}&=\vect{NC}+\vect{CP} \\
&=-\vect{CN}+\dfrac{1}{3}\vect{BC}\\
&=-\dfrac{1}{3}\vect{CA}+\dfrac{1}{3}\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right) \\
&=\dfrac{1}{3}\vect{AC}+\dfrac{1}{3}\vect{BA}+\dfrac{1}{3}\vect{AC}\\
&=\dfrac{2}{3}\vect{AC}-\dfrac{1}{3}\vect{AB} \\
&=\vect{MN}
\end{align*}$

Le point $N$ est donc le milieu du segment $[MP]$.

$\quad$

 

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$\quad$

Exercice 5

On considère un triangle $ABC$ et les points $E$ et $F$ tels que :

$\vect{AE}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}+\vect{BC}$ et $\vect{AF}=\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{BA}$.

Exprimer $\vect{EF}$ en fonction de $\vect{BC}$.

Que peut-on en déduire sur les droites $(EF)$ et $(BC)$?

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*} \vect{EF}&=\vect{EA}+\vect{AF} \\
&=-\vect{AE}+\vect{AF} \\
&=-\dfrac{1}{2}\vect{AB}-\vect{BC }+\dfrac{3}{2}\vect{AC}+\vect{BA} \\
&=-\dfrac{1}{2}\vect{AB}-\vect{BC }+\dfrac{3}{2}\vect{AC}-\vect{AB} \\
&=-\dfrac{3}{2}\vect{AB}-\vect{BC}+\dfrac{3}{2}\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right) \\
&=-\dfrac{3}{2}\vect{AB}-\vect{BC}+\dfrac{3}{2}\vect{AB}+\dfrac{3}{2}\vect{BC}\\
&=\dfrac{1}{2}\vect{BC}
\end{align*}$

Les vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{BC}$ sont donc colinéaires. Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont par conséquent parallèles.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère un triangle $ABC$ et les points $D$ et $E$ tels que :

$\vect{BD}=\dfrac{1}{3}\vect{BC}$ et $\vect{AE}=\vect{AC}+2\vect{AB}$.

Montrer que les points $A$, $D$ et $E$ sont alignés.

$\quad$

Correction Exercice 6

$\begin{align*} \vect{AD}&=\vect{AB}+\vect{BD} \\
&=\vect{AB}+\dfrac{1}{3}\vect{BC} \\
&=\vect{AB}+\dfrac{1}{3}\left(\vect{BA}+\vect{AC}\right) \\
&=\vect{AB}+\dfrac{1}{3}\vect{BA}+\dfrac{1}{3}\vect{AC} \\
&=\vect{AB}-\dfrac{1}{3}\vect{AB}+\dfrac{1}{3}\vect{AC}\\
&=\dfrac{2}{3}\vect{AB}+\dfrac{1}{3}\vect{AC} \\
&=\dfrac{1}{3}\vect{AE}
\end{align*}$

Les vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{AE}$ sont donc colinéaires et les points $A$, $D$ et $E$ sont alignés.
$\quad$

 

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$\quad$