2nd - Exercices - calcul algébriques et équations

Exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 + 4x – 5$

Montrer que $f(x) = (x – 1)(x + 5)$.
$\quad$
Montrer que $f(x) = (x + 2)^2 -9$.
$\quad$
Choisir l’expression la mieux adaptée pour répondre aux questions :
a. Résoudre $f(x) = 0$.
$\quad$
b. Calculer $f\left( \sqrt{5}\right)$.
$\quad$
c. Résoudre $f(x) = -9$.
$\quad$

Correction Exercice 1

$(x – 1)(x + 5) $ $= x^2 + 5x – x – 5$ $ = x^2 + 4x – 5 $ $= f(x)$
$\quad$
$(x + 2)^2 – 9 $ $= x^2 + 4x + 4 – 9$ $=x^2 + 4x – 5$ $=f(x)$
$\quad$
a. On utilise la forme factorisée (question 1).
$ f(x) = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x + 5) = 0 $
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
$x – 1 = 0$ ou $x + 5 = 0$
$x= 1$ ou $x = -5$
L’équation possède donc deux solutions : $1$ et $-5$.
$\quad$
b. On utilise l’expression fournie par l’énoncé (les calculs seront plus simples à faire)
$f\left( \sqrt{5}\right)$ $ = \left( \sqrt{5}\right) ^2 + 4\sqrt{5} – 5$ $ = 5 + 4\sqrt{5} – 5$ $ = 4\sqrt{5}$
$\quad$
c. On utilise l’expression de la question 2 (forme canonique)
$f(x) = -9 \Leftrightarrow (x + 2)^2 – 9 = -9$ $\Leftrightarrow (x + 2)^2 = 0$ $\Leftrightarrow x + 2 =0$
La solution de l’équation est $-2$

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$\quad$

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x^2 + 2x – 12$

Montrer que $f(x) = 2(x – 2)(x + 3)$.
$\quad$
Montrer que $f(x) = 2\left( x + \dfrac{1}{2}\right)^2 – \dfrac{25}{2}$.
$\quad$
Choisir l’expression la mieux adaptée pour répondre aux questions :
a. Résoudre $f(x) = 0$.
$\quad$
b. Calculer $f\left( \sqrt{3}\right)$.
$\quad$
c. Résoudre $f(x) = -\dfrac{25}{2}$.
$\quad$

Correction Exercice 2

$2(x – 2)(x + 3) $ $= 2(x^2 + 3x – 2x – 6)$ $=2(x^2 + x – 6)$ $=2x^2 + 2x – 12$ $=f(x)$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} 2\left( x + \dfrac{1}{2}\right) – \dfrac{25}{2} & =2\left(x^2 + x + \dfrac{1}{4}\right) – \dfrac{25}{2} \\\\
&= 2x^2 + 2x + \dfrac{1}{2} – \dfrac{25}{2}\\\\
&=2x^2 + 2x – 12 \\\\
&=f(x)
\end{align}$
$\quad$
a. On choisit l’expression factorisée.
$f(x) = 0 \Leftrightarrow 2(x – 2)(x + 3) =0$ $ \Leftrightarrow (x – 2)(x + 3) = 0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
$x – 2 = 0$ ou $x + 3 = 0$
$x = 2$ ou $x = -3$
L’équation possède donc deux solutions : $2$ et $-3$.
$\quad$
b. On utilise l’expression fournie par l’énoncé.
$f\left( \sqrt{3}\right)$ $ = 2\left( \sqrt{3}\right)^2 + 2\left( \sqrt{3}\right) – 12$ $=2 \times 3 + 2\left( \sqrt{3}\right) – 12$ $=2\left( \sqrt{3}\right) – 6$
$\quad$
c. On utilise l’expression trouvée à la question 3
$f(x) = -\dfrac{25}{2}$ $\Leftrightarrow 2\left( x + \dfrac{1}{2}\right)2 – \dfrac{25}{2} = -\dfrac{25}{2}$ $\Leftrightarrow 2\left( x + \dfrac{1}{2}\right) – \dfrac{25}{2}^2 = 0$ $\Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{2}$

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$\quad$

Exercice 3

Développer $3\left(x – \dfrac{2}{3}\right)(x – 4)$.
$\quad$
Résoudre l’équation $x^2 + 2x + 1 = 4x^2 – 12x + 9$.
$\quad$

Correction Exercice 3

$3\left(x – \dfrac{2}{3}\right)(x – 4)$ $=(3x – 2)(x – 4)$ $=3x^2 – 12x – 2x + 8$ $=3x^2 – 14x + 8$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align}
x^2 + 2x + 1 = 4x^2 – 12x + 9 & \Leftrightarrow 0 = 3x^2 – 14x + 8\\\\
&= 3\left(x – \dfrac{2}{3}\right)(x – 4)
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$x – \dfrac{2}{3} = 0$ ou $x – 4 = 0$
$x = \dfrac{2}{3}$ ou $x = 4$
Les solutions de l’équation sont $\dfrac{2}{3}$ et $4$.

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$\quad$

Exercice 4

Résoudre les équations suivantes :

$(-x + 2)^2 = (2x + 7)^2$
$\quad$
$(2x – 1)^2 + 36 = 0$
$\quad$
$(3x – 2)^2 = 16x^2$
$\quad$
$x^2 – 10x = -25$
$\quad$
$\dfrac{2x – 1}{x + 4} = 1$
$\quad$
$\dfrac{-x + 2}{x + 1} = 2$
$\quad$
$\dfrac{x + 2}{x – 3} = \dfrac{x – 4}{x + 5}$

Correction Exercice 4

$\quad$
$\begin{align} (-x + 2)^2 = (2x + 7)^2 & \Leftrightarrow (-x + 2)^2 – (2x + 7)^2 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \left[(-x + 2) – (2x + 7) \right] \left[(-x + 2) + (2x + 7)\right] = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (-3x – 5)(x + 9) = 0
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs est nul.
$-3x – 5 = 0$ ou $x + 9 = 0$
$x = -\dfrac{5}{3}$ ou $x = -9$
Les solutions de l’équation sont $-9$ et $-\dfrac{5}{3}$.
$\quad$
$(2x – 1)^2 + 36 = 0 \Leftrightarrow (2x – 1)^2 = -36$
Un carré étant toujours positif, cette équation ne possède aucune solution.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} (3x – 2)^2 = 16x^2 & \Leftrightarrow (3x – 2)^2 – 16x^2 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (3x – 2)^2 – (4x)^2 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \left[(3x – 2) – 4x\right]\left[(3x – 2) + 4x\right] = 0 \\\\
& \Leftrightarrow (-x – 2)(7x – 2) = 0 \\\\
\end{align}$
Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, l’un de ses facteurs est nul.
$-x – 2 =0$ ou $7x – 2 = 0$
$x= -2$ ou $x=\dfrac{2}{7}$
Les solutions de l’équation sont $2$ et $\dfrac{2}{7}$
$\quad$
$x^2 – 10x = -25$ $\Leftrightarrow x^2 – 10x + 25 = 0$ $\Leftrightarrow (x – 5)^2 = 0$ $\Leftrightarrow x = 5$.
La solution de l’équation est $5$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} \dfrac{2x – 1}{x + 4} = 1 &\Leftrightarrow \dfrac{2x – 1}{x + 4} – 1 =0 \\\\
&\Leftrightarrow \dfrac{2x – 1}{x + 4} – \dfrac{x + 4}{x + 4} = 0 \\\\
&\Leftrightarrow \dfrac{x – 5}{x + 4} = 0
\end{align}$
Un quotient s’annule quand son numérateur s’annule (là où la fraction est définie).
On veut donc que $x – 5 = 0$ soit $x =5$.
La solution de l’équation est $5$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} \dfrac{-x + 2}{x + 1} = 2 & \Leftrightarrow \dfrac{-x + 2}{x + 1} – 2 = 0\\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{-x + 2}{x + 1} – \dfrac{2(x + 1}{x + 1} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{-3x}{x + 1} = 0
\end{align}$
Un quotient s’annule quand son numérateur s’annule (là où la fraction est définie).
On veut donc que $-3x = 0$ soit $x = 0$.
La solution de l’équation est $0$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align} \dfrac{x + 2}{x – 3} = \dfrac{x – 4}{x + 5} & \Leftrightarrow \dfrac{x + 2}{x – 3} – \dfrac{x – 4}{x + 5} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{(x + 2)(x + 5) – (x – 4)(x – 3)}{(x – 3)(x + 5)} = 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2 + 5x + 2x + 10 – (x^2 – 3x – 4x + 12)}{(x – 3)(x + 5)}= 0 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{x^2 + 7x + 10 – (x^2 – 7x + 12)}{(x – 3)(x + 5)} = 0 \\\\
&\Leftrightarrow \dfrac{14x – 2}{(x – 3)(x + 5)} = 0
\end{align}$
Un quotient s’annule quand son numérateur s’annule (là où la fraction est définie).
On veut donc que $14x – 2 = 0$ soit $x = \dfrac{2}{14} = \dfrac{1}{7}$
La solution est $\dfrac{1}{7}$.

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