2nd – Géométrie dans le plan 2 – Ex1 correction

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $BC = 22,5$ cm et $AC = \dfrac{3}{4} AB$.

  1. Calculer $AB$ et $AC$.
    $\quad$
  2. Soit $H$ le milieu de $[AC]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $H$ coupe $[AB]$ en $I$. Calculer $HI$.

Correction

  1. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore :
    $\begin{align} AB^2 + AC^2 = BC^2 & \Leftrightarrow AB^2 + \left(\dfrac{3}{4}AB\right)^2 = 22,5^2 \\\\
    & \Leftrightarrow AB^2 + \dfrac{9}{16}AB^2 = 22,5^2 \\\\
    & \Leftrightarrow \left(1 + \dfrac{9}{16}\right) AB^2 = 22,5^2 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{25}{16}AB^2 = 22,5^2 \\\\
    & \Leftrightarrow AB^2 = \dfrac{16}{25} \times 22,5^2 \\\\
    & \Leftrightarrow AB = 22,5 \times \dfrac{4}{5} \qquad \text{car } AB > 0\\\\
    & \Leftrightarrow AB = 18
    \end{align}$
    $\quad$
    Donc $AC = \dfrac{3}{4} \times 18 = 13,5$
    $\quad$
  2. Dans le triangle $ABC$ :
    – $H$ est le milieu de $[AC]$
    – $I \in [AB]$
    – $(HI)$ et $(CB)$ sont parallèles.
    D’après le théorème des milieux $I$ est le milieu de $[AB]$ et $HI = \dfrac{1}{2} BC = 11,25$