2nd – Géométrie dans le plan 2 – Ex3 correction

Exercice 3

$\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}’$ sont deux cercles de centre respectif $O$ et $O’$ sécants en $A$ et $B$.

$E$ est le point diamétralement opposé à $A$ sur $\mathscr{C}$ et $F$ le point diamétralement opposé à $A$ sur $\mathscr{C}’$.

2nd - geometrie-plan2-ex3

  1. On veut montrer que les points $E$, $B$ et $F$ sont alignés.
    $\quad$
    a. Tracer la droite $(AB)$ et montrer qu’elle est perpendiculaire à $(EB)$ et $(BF)$.
    $\quad$
    b. En déduire que les points $E$, $B$ et $F$ sont alignés.
    $\quad$
  2. Montrer que $(OO’)$ est parallèle à $(EF)$.
    $\quad$
  3. $E’$ est le point d’intersection de $(EA)$ avec $\mathscr{C}’$. $F’$ est le point d’intersection de $(AF)$ avec $\mathscr{C}$. On veut montrer que les droites $(AB)$, $(EF’)$ et $(E’F)$ sont concourantes en un point $K$.
    a. Que représente la droite $(AB)$ pour le triangle $AEF$?
    $\quad$
    b. Montrer que le $(FE’)$ est perpendiculaire à $(AE)$ et que $(EF’)$ est perpendiculaire à $(AF)$.
    $\quad$
    c. En déduite la conclusion cherchée.

Correction

  1. a. Les triangles $ABE$ et $ABF$, étant inscrit dans des cercles dont un côté est un diamètre, sont rectangles en $B$.
    Par conséquent $(AB)$ est perpendiculaire à $(EB)$ et à $(BF)$.
    $\quad$
    b. Les droites $(EB)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires à une même droite. Elles sont donc parallèles entre elles.
    Puisqu’elles ont un point commun, elles sont confondues et les points $B$, $E$ et $F$ sont alignés.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AEF$ :
    – $O$ est le milieu de $[AE]$, diamètre du cercle $\mathscr{C}$
    – $O’$ est le milieu de $[AF]$, diamètre du cercle $\mathscr{C}’$
    D’après le théorème des milieux, les droites $(OO’)$ et $(EF)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. a. $(AB)$ est perpendiculaires à la droite $(EF)$. Il s’agit donc de la hauteur issue de $A$ du triangle $AEF$.
    $\quad$
    b. Les triangles $AE’F$ et $AEF’$ sont inscrits dans des cercles dont un côté est un diamètre.
    Par conséquent ils sont respectivement rectangles en $E’$ et en $F’$.
    Donc $(FE’)$ est perpendiculaire à $(AE)$ et $(EF’)$ est perpendiculaire à $(AF)$.
    $\quad$
    c. Les droites $(E’F)$, $(EF’)$ et $(AB)$ sont donc les trois hauteurs du triangle $AEF$. Elles sont par conséquent concourantes en point $K$ qui est l’orthocentre.