2nd – Géométrie dans le plan 2 – Ex4 correction

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle $\mathscr{C}$ et $H$ son orthocentre. La droite $(AH)$ recoupe le cercle $\mathscr{C}$ en $D$.

2nd - geometrie-plan2-ex4

  1. a. Montrer que les points $L$ et $K$, pieds des hauteurs issues de $A$ et $C$, appartiennent à un cercle passant par $A$ et $C$.
    $\quad$
    b. En déduire que $\widehat{BAL}= \widehat{KCB}$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que $(BC)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{KCD}$.
    $\quad$
    b. Comparer $LD$ et $LH$.

Correction 

  1. a. Les triangle $ABC$ et $ALC$ sont respectivement rectangles en $K$ et $L$. Ils sont donc tous les deux inscrits dans le cercle $\mathscr{C}’$  de diamètre $[AC]$.
    $\quad$
    b. Les angles inscrits$\widehat{BAL}$ et$ \widehat{KCB}$ interceptent le même arc $\overset{\displaystyle\frown}{KL}$ du cercle $\mathscr{C}’$.
    Par conséquent $\widehat{BAL}= \widehat{KCB}$.
    $\quad$
  2. a. Les angles inscrits $\widehat{BCD}$ et $\widehat{BAD}$ interceptent le même arc $\overset{\displaystyle\frown}{BD}$ du cercle $\mathscr{C}$. On a donc $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}$.
    De plus $\widehat{BAD} = \widehat{BAL}$.
    Par conséquent $\widehat{KCB} = \widehat{BCD}$. De plus, ces deux angles sont adjacents. Cela signifie donc que $(BC)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{KCD}$.
    $\quad$
    b. $(CL)$ est à la fois une hauteur et une bissectrice du triangle $HCD$. Celui-ci est par conséquent isocèle en $C$. Donc $(CL)$ est également la médiatrice de $[HD]$ et $L$ est le milieu de $[DH]$.
    On a ainsi $LD = LH$.