2nd - Géométrie dans le plan 2

L’unité est le centimètre.

$ABCD$ est un trapèze isocèle tel que $AB = 3$, $AD = BC = 5$ et $CD = 9$.

Soit $H$ le point de $(CD)$ tel que $(AH)$ soit perpendiculaire à $(CD)$. $\Delta$ est l’axe de symétrie de $ABCD$ et $K$ est le symétrique de $H$ par rapport à $\Delta$.

Calculer $HK$, $DH$ et $AH$.
$\quad$
Construire $ABCD$ et tracer $\Delta$.
$\quad$
Tracer la médiatrice $(d)$ de $[AD]$.
Montrer que $(d)$ et $\Delta$ sont sécantes en un point $E$.
Aide : Montrer que $(d)$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle $\mathscr{C}$ dont on précisera le centre.

Correction

$(AH)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
$B$ et $K$ sont les symétriques respectifs de $A$ et $K$ par rapport à $\Delta$. Ainsi $(BK)$ et $(DC)$ sont aussi perpendiculaires et $AH = BK$.
Le quadrilatère $ABKH$ est donc un rectangle et $HK = AB = 3$.
$\quad$
Du fait de la symétrie axiale, on a $DH = KC$
Or $CK + KH + HD = CD$ donc $2DH + 3 = 9$ et $DH = 3$.
$\quad$
Dans le triangle $AHD$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore :
$$AD^2 = AH^2 + HD^2$$
Par conséquent $25 = AH^2 + 9$ soit $AH^2 = 16$ et $AH = 4$.
$\quad$
$\quad$
$(AD)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles. Par conséquent leur médiatrices respectives $(d)$ et $\Delta$ ne le sont pas non plus. Elles ont donc un point en commun $E$.
$\quad$
$E$ est un point de $\Delta$, médiatrice de $[AB]$. Par conséquent $EA = EB$.
$\Delta$ étant également la médiatrice de $[AC]$ on a $EC = ED$.
$E$ est un point de $(d)$, médiatrice de $[AD]$. Par conséquent $EA = ED$.
On a ainsi $EA =EB=EC=ED$.
Donc $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent tous les quatre au cercle de centre $E$ et de rayon $EA$.