Géométrie dans un triangle – Mélange

Exercices corrigés – 2nd

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $BC = 22,5$ cm et $AC = \dfrac{3}{4} AB$.

Calculer $AB$ et $AC$.
$\quad$
Soit $H$ le milieu de $[AC]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $H$ coupe $[AB]$ en $I$. Calculer $HI$.

$\quad$

Correction Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on applique le théorème de Pythagore :
$\begin{align} AB^2 + AC^2 = BC^2 & \Leftrightarrow AB^2 + \left(\dfrac{3}{4}AB\right)^2 = 22,5^2 \\\\
& \Leftrightarrow AB^2 + \dfrac{9}{16}AB^2 = 22,5^2 \\\\
& \Leftrightarrow \left(1 + \dfrac{9}{16}\right) AB^2 = 22,5^2 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{25}{16}AB^2 = 22,5^2 \\\\
& \Leftrightarrow AB^2 = \dfrac{16}{25} \times 22,5^2 \\\\
& \Leftrightarrow AB = 22,5 \times \dfrac{4}{5} \qquad \text{car } AB > 0\\\\
& \Leftrightarrow AB = 18
\end{align}$
$\quad$
Donc $AC = \dfrac{3}{4} \times 18 = 13,5$
$\quad$
Dans le triangle $ABC$ :
– $H$ est le milieu de $[AC]$
– $I \in [AB]$
– $(HI)$ et $(CB)$ sont parallèles.
D’après le théorème des milieux $I$ est le milieu de $[AB]$ et $HI = \dfrac{1}{2} BC = 11,25$

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$\quad$

Exercice 2

Tracer un triangle $ABC$ sachant que $BC = 5$ cm, $CA = 4,5$ cm et $AB = 4$ cm.

Placer le point $N$ de la demi-droite $[BC)$ sachant que $BN = 8$.

Tracer le parallélogramme $ACNM$. Les droites $(AB)$ et $(MN)$ se coupent en un point $O$.

Calculer $OA$.
$\quad$
Calculer $ON$.
$\quad$
Soit $P$ le point du segment $[ON]$ tel que $NP = 2,7$.
Montrer que $(PC)//(OB)$.

$\quad$

Correction Exercice 2

Dans le triangle $BON$ :
– $A \in [OB]$ et $C \in [BN]$
– les droites $(AC)$ et $(ON)$ sont parallèles puisque $AMNC$ est un parallélogramme.
D’après le théorème de Thalès on a :
$$ \dfrac{BA}{BO} = \dfrac{BC}{BN} = \dfrac{AC}{ON}$$
Soit $\dfrac{4}{BO} = \dfrac{5}{8}$ d’où $5BO = 4 \times 8$ et $BO = \dfrac{32}{5} = 6,4$.
Par conséquent : $OA=OB-AB=6,4-4=2,4$.
$\quad$
Dans le triangle $BON$ :
– $A \in [OB]$ et $M \in [ON]$
– Les droites $(AM)$ et $(NB)$ sont parallèles
D’après le théorème de Thalès on a :
$$\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OM}{ON} = \dfrac{AM}{BN}$$
Soit $\dfrac{6,4 – 4}{6,4} = \dfrac{OM}{OM + 4,5}$ d’où $2,4(OM + 4,5) = 6,4OM$ soit $2,4OM + 10,8 = 6,4 OM$
Par conséquent $4OM = 10,8$ et $OM = \dfrac{10,8}{4} = 2,7$.
Comme $ON = OM + 4,5 = 2,7 + 4,8$ $=7,2$.
$\quad$
Dans le triangle $NOB$ :
– $P \in [ON]$ et $C \in [BN]$
– $\dfrac{NC}{BN} = \dfrac{8-5}{8}$ $=\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{NP}{NO} = \dfrac{2,7}{7,2}$ $=\dfrac{27}{72}$ $=\dfrac{3}{8}$.
Par conséquent $\dfrac{NC}{BN} = \dfrac{NP}{NO}$
D’après la réciproque du théorème de Thalès les droites $(CP)$ et $(BO)$ sont parallèles.

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$\quad$

Exercice 3

$\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}’$ sont deux cercles de centre respectif $O$ et $O’$ sécants en $A$ et $B$.

$E$ est le point diamétralement opposé à $A$ sur $\mathscr{C}$ et $F$ le point diamétralement opposé à $A$ sur $\mathscr{C}’$.

On veut montrer que les points $E$, $B$ et $F$ sont alignés.
$\quad$
a. Tracer la droite $(AB)$ et montrer qu’elle est perpendiculaire à $(EB)$ et $(BF)$.
$\quad$
b. En déduire que les points $E$, $B$ et $F$ sont alignés.
$\quad$
Montrer que $(OO’)$ est parallèle à $(EF)$.
$\quad$
$E’$ est le point d’intersection de $(EA)$ avec $\mathscr{C}’$. $F’$ est le point d’intersection de $(AF)$ avec $\mathscr{C}$. On veut montrer que les droites $(AB)$, $(EF’)$ et $(E’F)$ sont concourantes en un point $K$.
a. Que représente la droite $(AB)$ pour le triangle $AEF$?
$\quad$
b. Montrer que le $(FE’)$ est perpendiculaire à $(AE)$ et que $(EF’)$ est perpendiculaire à $(AF)$.
$\quad$
c. En déduite la conclusion cherchée.

$\quad$

Correction Exercice 3

a. Les triangles $ABE$ et $ABF$, étant inscrit dans des cercles dont un côté est un diamètre, sont rectangles en $B$.
Par conséquent $(AB)$ est perpendiculaire à $(EB)$ et à $(BF)$.
$\quad$
b. Les droites $(EB)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires à une même droite. Elles sont donc parallèles entre elles.
Puisqu’elles ont un point commun, elles sont confondues et les points $B$, $E$ et $F$ sont alignés.
$\quad$
Dans le triangle $AEF$ :
– $O$ est le milieu de $[AE]$, diamètre du cercle $\mathscr{C}$
– $O’$ est le milieu de $[AF]$, diamètre du cercle $\mathscr{C}’$
D’après le théorème des milieux, les droites $(OO’)$ et $(EF)$ sont parallèles.
$\quad$
a. $(AB)$ est perpendiculaires à la droite $(EF)$. Il s’agit donc de la hauteur issue de $A$ du triangle $AEF$.
$\quad$
b. Les triangles $AE’F$ et $AEF’$ sont inscrits dans des cercles dont un côté est un diamètre.
Par conséquent ils sont respectivement rectangles en $E’$ et en $F’$.
Donc $(FE’)$ est perpendiculaire à $(AE)$ et $(EF’)$ est perpendiculaire à $(AF)$.
$\quad$
c. Les droites $(E’F)$, $(EF’)$ et $(AB)$ sont donc les trois hauteurs du triangle $AEF$. Elles sont par conséquent concourantes en point $K$ qui est l’orthocentre.

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$\quad$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle $\mathscr{C}$ et $H$ son orthocentre. La droite $(AH)$ recoupe le cercle $\mathscr{C}$ en $D$.

a. Montrer que les points $L$ et $K$, pieds des hauteurs issues de $A$ et $C$, appartiennent à un cercle passant par $A$ et $C$.
$\quad$
b. En déduire que $\widehat{BAL}= \widehat{KCB}$.
$\quad$
a. Démontrer que $(BC)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{KCD}$.
$\quad$
b. Comparer $LD$ et $LH$.

$\quad$

Correction Exercice 4

a. Les triangle $ABC$ et $ALC$ sont respectivement rectangles en $K$ et $L$. Ils sont donc tous les deux inscrits dans le cercle $\mathscr{C}’$ de diamètre $[AC]$.
$\quad$
b. Les angles inscrits$\widehat{BAL}$ et$ \widehat{KCB}$ interceptent le même arc $\overset{\displaystyle\frown}{KL}$ du cercle $\mathscr{C}’$.
Par conséquent $\widehat{BAL}= \widehat{KCB}$.
$\quad$
a. Les angles inscrits $\widehat{BCD}$ et $\widehat{BAD}$ interceptent le même arc $\overset{\displaystyle\frown}{BD}$ du cercle $\mathscr{C}$. On a donc $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}$.
De plus $\widehat{BAD} = \widehat{BAL}$.
Par conséquent $\widehat{KCB} = \widehat{BCD}$. De plus, ces deux angles sont adjacents. Cela signifie donc que $(BC)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{KCD}$.
$\quad$
b. $(CL)$ est à la fois une hauteur et une bissectrice du triangle $HCD$. Celui-ci est par conséquent isocèle en $C$. Donc $(CL)$ est également la médiatrice de $[HD]$ et $L$ est le milieu de $[DH]$.
On a ainsi $LD = LH$.

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$\quad$

Exercice 5

L’unité est le centimètre.

$ABCD$ est un trapèze isocèle tel que $AB = 3$, $AD = BC = 5$ et $CD = 9$.

Soit $H$ le point de $(CD)$ tel que $(AH)$ soit perpendiculaire à $(CD)$. $\Delta$ est l’axe de symétrie de $ABCD$ et $K$ est le symétrique de $H$ par rapport à $\Delta$.

Calculer $HK$, $DH$ et $AH$.
$\quad$
Construire $ABCD$ et tracer $\Delta$.
$\quad$
Tracer la médiatrice $(d)$ de $[AD]$.
Montrer que $(d)$ et $\Delta$ sont sécantes en un point $E$.
Aide : Montrer que $(d)$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle $\mathscr{C}$ dont on précisera le centre.

$\quad$

Correction Exercice 5

$(AH)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
$B$ et $K$ sont les symétriques respectifs de $A$ et $K$ par rapport à $\Delta$. Ainsi $(BK)$ et $(DC)$ sont aussi perpendiculaires et $AH = BK$.
Le quadrilatère $ABKH$ est donc un rectangle et $HK = AB = 3$.
$\quad$
Du fait de la symétrie axiale, on a $DH = KC$
Or $CK + KH + HD = CD$ donc $2DH + 3 = 9$ et $DH = 3$.
$\quad$
Dans le triangle $AHD$ rectangle en $H$ on applique le théorème de Pythagore :
$$AD^2 = AH^2 + HD^2$$
Par conséquent $25 = AH^2 + 9$ soit $AH^2 = 16$ et $AH = 4$.
$\quad$
$\quad$
$(AD)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles. Par conséquent leur médiatrices respectives $(d)$ et $\Delta$ ne le sont pas non plus. Elles ont donc un point en commun $E$.
$\quad$
$E$ est un point de $\Delta$, médiatrice de $[AB]$. Par conséquent $EA = EB$.
$\Delta$ étant également la médiatrice de $[AC]$ on a $EC = ED$.
$E$ est un point de $(d)$, médiatrice de $[AD]$. Par conséquent $EA = ED$.
On a ainsi $EA =EB=EC=ED$.
Donc $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent tous les quatre au cercle de centre $E$ et de rayon $EA$.

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