Figure 1

Dans les triangles $EAB$ et $ECD$ :

– $(AB)//(CD)$

– les points $E, A, C$ et les points $E, B, D$ sont alignés dans le même ordre.

D’après le théorème de Thalès on a :

$\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{EB}{ED} = \dfrac{AB}{CD}$

soit $\dfrac{3}{4,5} = \dfrac{x}{10,5}$

Par conséquent $x = \dfrac{3 \times 10,5}{4,5} = 7$

$\quad$

Figure 2

Dans les triangles $EAB$ et $ECD$ :

– $(AB)//(CD)$

– les points $A,E,D$ et les points $B,E,C$ sont alignés dans le même ordre.

D’après le théorème de Thalès on a :

$\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{EB}{EC} = \dfrac{AB}{CD}$

soit $\dfrac{x}{12} = \dfrac{4,5}{18-4,5}$ d’où $\dfrac{x}{12} = \dfrac{4,5}{13,5}$

Par conséquent $x = \dfrac{4,5 \times 12}{13,5} = 4$

1. $\quad$$\quad$
2. Dans les triangles $ASR$ et $ABC$ :
   – Les points $A,S,C$ et $A,R,B$ sont alignés dans le même ordre.
   – $\dfrac{AS}{AC}$ $=\dfrac{2}{6}$ $=\dfrac{1}{3}$
   – $\dfrac{AR}{AB} = \dfrac{9 – 6}{9}$ $=\dfrac{3}{9}$ $ =\dfrac{1}{3}$
   Par conséquent $\dfrac{AS}{AC} = \dfrac{AR}{AB}$.
   D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(RS)$ et $(BC)$ sont parallèles.
   $\quad$
3. On a de plus que $\dfrac{AS}{AC} = \dfrac{AR}{AB}=\dfrac{RS}{BC}$ soit $\dfrac{1}{3} = \dfrac{RS}{7,5}$.
   Donc $RS = \dfrac{7,5}{3} = 2,5$.

Dans le triangle $ABC$ le plus grand côté est $[AB]$.

D’une part $AB^2 = 1$

D’autre part $AC^2 + BC^2 = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2}$ $=1$

Donc $AB^2=AC^2+BC^2$

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est donc rectangle en $C$.

$\quad$

De plus $AC= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
et $BC=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Donc $AC=BC$ et le triangle $ABC$ est également isocèle en $C$.

$\quad$

De plus $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} ^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Donc le triangle $ABC$ est également isocèle en $C$.

Nous allons calculer les longueurs $EC$ et $MC$

Dans le triangle $BCE$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore :

$EC^2 = BE^2 + BC^2$ $=4^2+6^2 = 16 + 36 = 52$

$\quad$

Pour calculer la longueur $MC$ nous avons besoin de connaître $DM$ et donc $AM$

Dans le triangle $AME$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore :

$ME^2 = AM^2 + AE^2$ soit $13 = 3^2 + MA^2$ d’où $MA^2 = 13 – 9 = 4$ et $MA = 2$

Par conséquent $DM = 6 – 2 = 4$.

$\quad$

Dans le triangle $DMC$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore :

$MC^2 = MD^2+DC^2$ $=4^2+7^2 = 16 + 49$ $=65$

$\quad$

Dans le triangle $EMC$ le plus grand côté est $[MC] $.

D’une part $MC^2 = 65$

D’autre part $ME^2+EC^2 = 13 + 52 = 65$

Donc $MC^2=ME^2+EC^2$

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $EMC$ est rectangle en $E$.

1. Les droites $(AM)$ et $(BM)$ sont des hauteurs du triangle $OAB$.
   Elles sont sécantes en $M$. Il s’agit donc de l’orthocentre de ce triangle.
   Par conséquent la troisième hauteur $(OM)$ est perpendiculaire au côté $(AB)$.
   $\quad$
2. Dans le triangle $OAM$ :
   – $(BM)$ est perpendiculaire à $(AO)$. $(BM)$ est donc une hauteur du triangle.
   – $(BO)$ est perpendiculaire à $(AM)$. $(BO)$ est donc  également une hauteur du triangle.
   Le point $B$ intersection de deux hauteurs du triangle $OAM$ est donc l’orthocentre de ce triangle.

1. Le point $O$ est le point d’intersection de deux médiatrices du triangles $MNP$. Il s’agit donc du centre du cercle circonscrit au triangle $MNP$
   $\quad$
2. La médiatrice de $[PN]$ passera donc également par $O$.

Puisque $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ cela signifie donc que $AB=BD$.

$B$ est par conséquent le milieu de $[AD]$ et $[CB]$ est une médiane du triangle $ACD$.

Or $CB = AB$ donc $CB = \dfrac{AD}{2}$.

La médiane issue de $C$ a donc une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé.

Le triangle $ACD$ est rectangle en $C$.

Dans le triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$.

D’après le théorème des milieux, la droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

La médiatrice de $[BC]$ est perpendiculaire à $[BC]$ et passe par $P$ et $O$. Par conséquent $(OP)$ est également perpendiculaire à $[MN]$.

De la même manière on montrer que $(MO)$ est perpendiculaire à $[NP]$ et que $(NO)$ est perpendiculaire à $[MP]$.

$O$ est donc le point de concours des trois hauteurs du triangle $MNP$. Il s’agit donc de son orthocentre.