2nd – Géométrie dans le plan

Autour du théorème de Thalès

Exercice 1

Dans chaque cas, calculer la longueur $x$ indiquée sur le dessin.

Figure 1

fig1

$(AB)//(CD)$

$EA = 3$

$EC = 4,5 $

$ED = 10,5$

$\quad$

Figure 2
fig2

$(AB) //(CD) $

$EB = 4,5 $

$BC = 18 $

$ED = 12 $

$\quad$

Correction Exercice 1

Figure 1

Dans les triangles $EAB$ et $ECD$ :

– $(AB)//(CD)$

– les points $E, A, C$ et les points $E, B, D$ sont alignés dans le même ordre.

D’après le théorème de Thalès on a :

$\dfrac{EA}{EC} = \dfrac{EB}{ED} = \dfrac{AB}{CD}$

soit $\dfrac{3}{4,5} = \dfrac{x}{10,5}$

Par conséquent $x = \dfrac{3 \times 10,5}{4,5} = 7$

$\quad$

Figure 2

Dans les triangles $EAB$ et $ECD$ :

– $(AB)//(CD)$

– les points $A,E,D$ et les points $B,E,C$ sont alignés dans le même ordre.

D’après le théorème de Thalès on a :

$\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{EB}{EC} = \dfrac{AB}{CD}$

soit $\dfrac{x}{12} = \dfrac{4,5}{18-4,5}$ d’où $\dfrac{x}{12} = \dfrac{4,5}{13,5}$

Par conséquent $x = \dfrac{4,5 \times 12}{13,5} = 4$

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$\quad$

Exercice 2

  1. Construire un triangle $ABC$ dont les côtés sont, en cm : $AB = 9$; $AC = 6$ et $BC = 7,5$.
    $\quad$
    Placer le point $R$ du segment $[AB]$ tel que $BR = 6$ et le point $S$ du segment $[AC]$ tel que $AS = 2$.
    $\quad$
  2. Démontrer que les droites $(RS)$ et $(BC)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. Déterminer la longueur $RS$.

$\quad$

Correction Exercice 2

  1. $\quad$ex2cor (1)$\quad$
  2. Dans les triangles $ASR$ et $ABC$ :
    – Les points $A,S,C$ et $A,R,B$ sont alignés dans le même ordre.
    – $\dfrac{AS}{AC}$ $=\dfrac{2}{6}$ $=\dfrac{1}{3}$
    – $\dfrac{AR}{AB} = \dfrac{9 – 6}{9}$ $=\dfrac{3}{9}$ $ =\dfrac{1}{3}$
    Par conséquent $\dfrac{AS}{AC} = \dfrac{AR}{AB}$.
    D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(RS)$ et $(BC)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. On a de plus que $\dfrac{AS}{AC} = \dfrac{AR}{AB}=\dfrac{RS}{BC}$ soit $\dfrac{1}{3} = \dfrac{RS}{7,5}$.
    Donc $RS = \dfrac{7,5}{3} = 2,5$.

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$\quad$

Autour du théorème de Pythagore

Exercice 3

$ABC$ est un triangle tel que $AB=1$ cm, $AC = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ cm et $BC = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ cm.

Quelle est la nature du triangle $ABC$.

$\quad$

Correction Exercice 3

Dans le triangle $ABC$ le plus grand côté est $[AB]$.

D’une part $AB^2 = 1$

D’autre part $AC^2 + BC^2 = \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{2}$ $=1$

Donc $AB^2=AC^2+BC^2$

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est donc rectangle en $C$.

$\quad$

De plus $AC= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
et $BC=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Donc $AC=BC$ et le triangle $ABC$ est également isocèle en $C$.

$\quad$

De plus $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} ^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Donc le triangle $ABC$ est également isocèle en $C$.

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$\quad$

Exercice 4

Soit un rectangle $ABCD$ tel que $AB = 7$ et $AD = 6$. On place le point $E$ sur $[AB]$ tel que $AE = 3$ et le point $M$ sur $[AD]$ tel que $EM = \sqrt{13}$.

Le triangle $EMC$ est-il rectangle?

$\quad$

Correction Exercice 4

ex4cor

Nous allons calculer les longueurs $EC$ et $MC$

Dans le triangle $BCE$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore :

$EC^2 = BE^2 + BC^2$ $=4^2+6^2 = 16 + 36 = 52$

$\quad$

Pour calculer la longueur $MC$ nous avons besoin de connaître $DM$ et donc $AM$

Dans le triangle $AME$ rectangle en $A$ on applique le théorème de Pythagore :

$ME^2 = AM^2 + AE^2$ soit $13 = 3^2 + MA^2$ d’où $MA^2 = 13 – 9 = 4$ et $MA = 2$

Par conséquent $DM = 6 – 2 = 4$.

$\quad$

Dans le triangle $DMC$ rectangle en $D$ on applique le théorème de Pythagore :

$MC^2 = MD^2+DC^2$ $=4^2+7^2 = 16 + 49$ $=65$

$\quad$

Dans le triangle $EMC$ le plus grand côté est $[MC] $.

D’une part $MC^2 = 65$

D’autre part $ME^2+EC^2 = 13 + 52 = 65$

Donc $MC^2=ME^2+EC^2$

D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $EMC$ est rectangle en $E$.

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$\quad$

Droites particulières d’un triangle

Exercice 5

Les droites $(AM)$ et $(BM)$ sont respectivement perpendiculaires aux droites $(OB)$ et $(OA)$.

  1. Démontrer que les droites $(OM)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  2. Que représente le point $B$ pour le triangle $OAM$?

fig3

$\quad$

Correction Exercice 5

  1. Les droites $(AM)$ et $(BM)$ sont des hauteurs du triangle $OAB$.
    Elles sont sécantes en $M$. Il s’agit donc de l’orthocentre de ce triangle.
    Par conséquent la troisième hauteur $(OM)$ est perpendiculaire au côté $(AB)$.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $OAM$ :
    – $(BM)$ est perpendiculaire à $(AO)$. $(BM)$ est donc une hauteur du triangle.
    – $(BO)$ est perpendiculaire à $(AM)$. $(BO)$ est donc  également une hauteur du triangle.
    Le point $B$ intersection de deux hauteurs du triangle $OAM$ est donc l’orthocentre de ce triangle.

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$\quad$

Exercice 6

Les médiatrices des segments $[PM]$ et $[MN]$ se coupent en $O$.

  1. Que représente $O$ pour le triangle $PMN$?
    $\quad$
  2. Que peut-on dire de la médiatrice du segment $[PN]$?

fig4

$\quad$

Correction Exercice 6

  1. Le point $O$ est le point d’intersection de deux médiatrices du triangles $MNP$. Il s’agit donc du centre du cercle circonscrit au triangle $MNP$
    $\quad$
  2. La médiatrice de $[PN]$ passera donc également par $O$.

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$\quad$

Exercice 7

$ABC$ est un triangle isocèle en $B$. $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$.

Démontrer que le triangle $ACD$ est rectangle.

$\quad$

Correction Exercice 7

Puisque $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ cela signifie donc que $AB=BD$.

$B$ est par conséquent le milieu de $[AD]$ et $[CB]$ est une médiane du triangle $ACD$.

Or $CB = AB$ donc $CB = \dfrac{AD}{2}$.

La médiane issue de $C$ a donc une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé.

Le triangle $ACD$ est rectangle en $C$.

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$\quad$

Exercice 8

On considère le cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ circonscrit à un triangle $ABC$.

On appelle $M$, $N$ et $P$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.

Quel rôle joue le point $O$ pour le triangle $MNP$.

$\quad$

Correction Exercice 8

Dans le triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$.

D’après le théorème des milieux, la droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

La médiatrice de $[BC]$ est perpendiculaire à $[BC]$ et passe par $P$ et $O$. Par conséquent $(OP)$ est également perpendiculaire à $[MN]$.

De la même manière on montrer que $(MO)$ est perpendiculaire à $[NP]$ et que $(NO)$ est perpendiculaire à $[MP]$.

$O$ est donc le point de concours des trois hauteurs du triangle $MNP$. Il s’agit donc de son orthocentre.

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