2nd – inéquations – Ex 3

Exercice 3

Résoudre les inégalités suivantes :

  1. $x^2 \le 1$
    $\quad$
  2. $\dfrac{2}{x – 2} < \dfrac{3}{x + 1}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{2x + 1}{x + 2} \ge 3$
    $\quad$
  4. $\dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2x – 1}$

Correction

  1. $x^2 \le 1 \Leftrightarrow x^2 – 1 \le 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x + 1) \le 0$.
    $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
    $\quad$
    $x + 1 >  0 \Leftrightarrow x > -1$
    2nd - ineq - ex3.1

    On cherche à résoudre l’inéquation $(x – 1)(x + 1) \le 0$.
    Par conséquent la solution est $[-1;1]$.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align} \dfrac{2}{x – 2} < \dfrac{3}{x + 1} & \Leftrightarrow \dfrac{2}{x – 2} – \dfrac{3}{x + 1} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2(x + 1)}{(x – 2)(x + 1)} – \dfrac{3(x – 2)}{(x – 2)(x + 1)} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 2}{(x – 2)(x + 1)} – \dfrac{3x – 6}{(x – 2)(x + 1)} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{-x + 8}{(x – 2)(x + 1)} < 0
    \end{align}$
    $-x + 8 > 0 \Leftrightarrow -x > -8 \Leftrightarrow x < 8$
    $\quad$
    $x – 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$
    $\quad$
    $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$
    2nd - ineq - ex3.2
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{-x + 8}{(x – 2)(x + 1)} < 0$
    Par conséquent la solution est $]-1;2[\cup]8;+\infty[$.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align}\dfrac{2x + 1}{x + 2} \ge 3 & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x + 2} – 3 \ge 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x + 2} – \dfrac{3(x + 2)}{x + 2} \ge 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x + 1}{x + 2} – \dfrac{3x + 6}{x + 2} \ge 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{-x – 5}{x + 2} \ge 0
    \end{align}$
    $-x – 5 > 0 \Leftrightarrow -x > 5 \Leftrightarrow x < -5$
    $\quad$
    $x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2$2nd - ineq - ex3.3
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{-x – 5}{x + 2} \ge 0 $
    Par conséquent la solution est $[-5;2[$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align} \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2x – 1} & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{2x – 1} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{2x – 1}{x(2x – 1)} – \dfrac{x}{x(2x – 1)} < 0 \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{x – 1}{x(2x – 1)} < 0
    \end{align}$
    $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$
    $\quad$
    $2x – 1 > 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}$
    $\quad$
    Ne pas oublier de prendre en compte le signe de $x$, dont l’étude est triviale, dans le tableau de signes.
    2nd - ineq - ex3.4
    On cherche à résoudre l’inéquation $\dfrac{x – 1}{x(2x – 1)} < 0$.
    Par conséquent la solution est $]-\infty;0[\cup\left]1;+\infty\right[$.