Fiche méthode

Déterminer les coordonnées du 4ème sommet d’un parallélogramme

Le but : On connait les coordonnées de trois sommets d’un parallélogramme. On veut déterminer les coordonnées du dernier sommet.

Comment : On va déterminer les coordonnées du milieu des diagonales et les utiliser pour trouver celles du sommet manquant.
Pour cela on va utiliser la propriété suivante :

Exemple : Dans un repère $(O;I,J)$ on donne les points suivants :
$A(-1;1)$, $B(0;-2)$ et $C(4;-3)$. Le point $D$ est tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

On appelle $M\left(x_M;y_M\right)$ le milieu de la diagonale $[AC]$.

On a ainsi : $\begin{cases} x_M = \dfrac{-1 + 4}{2} = \dfrac{3}{2} \\\\y_M=\dfrac{1 + (-3)}{2} = -1 \end{cases}$

Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu.

Par conséquent $M$ est aussi le milieu de $[BD]$.
$\begin{cases} x_M = \dfrac{x_B+x_D}{2} \\\\y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2} \end{cases}$

On remplace les coordonnées connues par leur valeur.

$\begin{cases} \dfrac{3}{2} = \dfrac{0 + x_D}{2} \\\\-1 = \dfrac{-2 + y_D}{2} \end{cases}$

Il ne nous reste plus alors qu’à résoudre chacune des équations :
$$\begin{array}{rclcrcl}
\dfrac{3}{2} &=& \dfrac{0+x_D}{2} & \text{et} & -1& =& \dfrac{-2+y_D}{2} \\\\
3 &=& x_D & & -2 &=& -2 +y_D \\\\
& & & & 0 &=& y_D
\end{array}$$

Ainsi $D(3;2)$

On vérifie ensuite sur un graphique que les coordonnées trouvées, pour $M$ et $D$, sont correctes.

Retrouvez les cours de 2nd et d’autres fiches méthodes ici.

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