Fiche méthode

Déterminer la nature d’un triangle à l’aide des coordonnées

Le but : déterminer si le triangle est quelconque, isocèle, rectangle, rectangle isocèle ou équilatéral

Comment : on va déterminer la longueur des côtés à l’aide de la propriété suivante :

Propriété : Dans un plan munit d’un repère orthonormé $(O;I,J)$, on considère les points $A\left(x_A,y_A\right)$ et $B\left(x_B,y_B\right)$.
La longueur du segment $[AB]$ est alors définie par $AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}$.

Exemple : Dans un repère $(O;I,J)$ on donne les points suivants :
$A(-8;0)$, $B(3;3)$ et $C(2;-2)$
Quelle est la nature du triangle $ABC$?

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle.

$\begin{align*} AB^2 &= \left(3-(-8)\right)^2 + (3-0)^2 \\\\
&=11^2+3^2 \\\\
&=121+9\\\\
& = 130\\\\
AB&=\sqrt{130}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} AC^2 &= \left((2-(-8)\right)^2 + (-2-0)^2 \\\\
&= 10^2 + (-2)^2\\\\
&= 100+4\\\\
&=104\\\\
AC&=\sqrt{104}
\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} BC^2&=(2-3)^2+(-2-3)^2 \\\\
&= (-1)^2+(-5)^2\\\\
&=1+25\\\\
&=26\\\\
BC&=\sqrt{26}
\end{align*}$

$\quad$

On constate donc qu’aucun côté n’a la même longueur. Le triangle $ABC$ n’est donc ni isocèle ni équilatéral. Regardons s’il est rectangle.

Le plus grand côté est $[AB]$.
D’une part $AB^2 = 130$
D’autre part $AC^2+BC^2 = 104 + 26 = 130$
Par conséquent $AB^2=AC^2+BC^2$
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Retrouvez les cours de 2nd et d’autres fiches méthodes ici.

$\quad$