Variations de fonctions de référence

I Généralités

Dans cette partie on considère une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ ainsi qu’un repère $(O;I,J)$.

Définition 1 : La fonction $f$ est dite croissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \le f(b)$.

Remarque : on constate donc que les images des nombres $a$ et $b$ sont rangées dans le même ordre que $a$ et $b$. Une fonction croissante conserve par conséquent l’ordre.

Définition 2 : La fonction $f$ est dite décroissante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$ tels que $a \le b$, on a $f(a) \ge f(b)$.

Remarque : La fonction $f$ change donc alors l’ordre.

Définition 3 : On fonction est dite constante sur l’intervalle $I$ si, pour tous réels $a$ et $b$ de l’intervalle $I$, on a $f(a) = f(b)$.

Remarque : Cela signifie donc que, sur l’intervalle $I$, les images de tous réels par la fonction $f$ sont égales.

Remarque : On parle souvent de fonction strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur un intervalle $I$. Cela signifie que pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ on a $f(a) < f(b)$ (respectivement $f(a) > f(b)$). On interdit donc que la fonction soit constante sur une partie de l’intervalle.

$\quad$

On synthétise les différentes variations d’une fonction sur son ensemble de définition à l’aide d’un tableau de variations.

Exemple :

Ce tableau nous fournit plusieurs informations :

L’ensemble de définition de $f$ est $\mathscr{D}_f = ]-\infty;+\infty[$ ou $\R$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;1[$
La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]1;+\infty[$
$f(1) = -4$

Par convention, on symbolisera la croissance d’une fonction sur un intervalle par une flèche “montante” et la décroissance par une flèche “descendante”. Dans la mesure du possible, on indique également les images des bornes des différents intervalles sur lesquels la fonction $f$ change de variations.

Définition 4 : On dit qu’une fonction $f$ est (strictement) monotone sur un intervalle $I$ si elle soit (strictement) croissante soit (strictement) décroissante sur l’intervalle $I$.

Définition 5 : On dit que la fonction $f$ admet un maximum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \le f(a)$.

Exemple :

La fonction $f$ admet pour maximum $3$; il est atteint pour $x = 2$.

Définition 6 : On dit que la fonction $f$ admet un minimum sur l’intervalle $I$ en $a$ si pour tout réel $x$ de $I$, on a $f(x) \ge f(a)$.

Exemple :

La fonction $f$ admet pour minimum $-2$; il est atteint pour $x=4$.

Définition 7 : On dit que la fonction $f$ admet un extremum sur l’intervalle $I$, si elle possède un minimum ou un maximum sur cet intervalle.

$\quad$

II Fonctions affines

Propriété 1 (Rappels) : On considère la fonction affine $f$, définie sur $\R$ par $f(x) = ax+b$.
Quel que soit les réels distincts $u$ et $v$, on a : $$a = \dfrac{f(u) – f(v)}{u – v}$$

Propriété 2 : Soit $f$ une fonction affine de coefficient directeur $a$.

Si $a > 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$
Si $a = 0$ alors la fonction $f$ est constante sur $\R$
Si $a < 0$ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$

Remarque : Il y a en fait équivalence entre le signe de $a$ et les variations de la fonction $f$.

Preuve Propriété 4

On considère la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = ax + b$ (où $b$ est un réel).
Soient $u$ et $v$ deux réels tels que $u < v$. Nous allons essayer de comparer $f(u)$ et $f(v)$ afin de déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Pour cela nous allons chercher le signe de $f(u)-f(v)$.
$$\begin{align*} f(u)-f(v) & = (au+b)-(av+b) \\
&= au + b-av-b \\
&= au-av \\
&= a(u-v)
\end{align*}$$
On sait que $u<v$. Par conséquent $u-v < 0$.

Ainsi

si $a > 0$ alors $a(u-v) <0$. Par conséquent $f(u)-f(v) <0$ soit $f(u) < f(v)$.
La fonction $f$ est donc bien croissante sur $\R$.
si $a = 0$ alors $a(u-v) = 0$. Par conséquent $f(u)-f(v) = 0$ soit $f(u) = f(v)$.
la fonction $f$ est donc bien constante sur $\R$.
si $a<0$ alors $a(u-v) >0$. Par conséquent $f(u)-f(v) > 0$ soit $f(u) > f(v)$.
La fonction $f$ est donc bien décroissante sur $\R$.
$\quad$

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$\quad$

Exemple :

Exemples d’étude de signes de fonctions affines :

On considère la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x-2$.
On cherche tout d’abord à résoudre
$\begin{align*} f(x) = 0 &\ssi 3x-2 = 0 \\
& \ssi 3x = 2 \\
& \ssi x = \dfrac{2}{3}
\end{align*}$
Le coefficient directeur de la fonction affine $f$ est $a = 3 > 0$.
On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :
On considère la fonction affine $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = -2x-4$.
On cherche tout d’abord à résoudre
$\begin{align*} g(x) = 0 &\ssi -2x-4 = 0 \\
& \ssi -2x = 4 \\
& \ssi x = \dfrac{4}{-2} \\
& \ssi x= -2
\end{align*}$
Le coefficient directeur de la fonction affine $g$ est $a = −2 < 0$
On est donc maintenant en mesure d’établir le tableau de signes suivant :

$\quad$

III Les autres fonctions de référence

1. La fonction carré

Proprité 3 : La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

Preuve Propriété 3

On appelle $f$ la fonction carré.
On considère deux réels $u$ et $v$. On a alors $f(u)-f(v) =u^2-v^2 = (u-v)(u + v)$

Montrons tout d’abord que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$.
Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $u < v \pp 0$.
Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs, $u+v <0$.
Par conséquent $(u-v)(u+v) >0$.
Donc $f(u)-f(v) > 0$ et $f(u) > f(v)$.
La fonction $f$ est bien strictement décroissante sur $]-\infty;0]$.
Montrons maintenant que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $0 \pp u < v$ .
Puisque $u<v$ cela signifie que $u-v < 0$.
Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux positifs, $u+v >0$.
Par conséquent $(u-v)(u+v) <0$.
Donc $f(u)-f(v) < 0$ et $f(u) < f(v)$.
La fonction $f$ est bien strictement croissante sur $]-\infty;0]$.
$\quad$

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$\quad$

On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$

2. La fonction inverse

Propriété 4 : La fonction inverse $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.

On résume ces informations dans le tableau de variations suivant dans lequel la double barre verticale indique que la fonction inverse n’est pas définie en $0$.

Preuve Propriété 3

On considère deux réels non nuls $u$ et $v$.
$$\begin{align*} f(u)-f(v) & = \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{v} \\
&=\dfrac{v-u}{uv}
\end{align*}$$

Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $u<v<0$.
Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux négatifs. Par conséquent $uv > 0$.
Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$.
Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $0<u<v$.
Puisque $u<v$ on a alors $v-u>0$.
Les réels $u$ et $v$ sont tous les deux positifs. Par conséquent $uv > 0$.
Ainsi $\dfrac{v-u}{uv} > 0$.
Par conséquent $f(u)-f(v)>0$ et $f(u)>f(v)$.
La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$

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$\quad$

3. La fonction racine carrée

Propriété 5 : La fonction racine carrée $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.

On obtient ainsi le tableau de variations suivant.

Preuve Propriété 5

\begin{preuve}
On considère deux réels positifs $u$ et $v$ tels que $u<v$.
$$\begin{align*}
f(u)-f(v)&=\sqrt{u}-\sqrt{v} \\
&=\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right) \times \dfrac{\sqrt{u}+\sqrt{v}}{\sqrt{u}+\sqrt{v}} \qquad (*) \\
&=\dfrac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}
\end{align*}$$
Puisque $u<v$ on a alors $u-v<0$.
De plus, par définition, on a $\sqrt{u}+\sqrt{v}>0$.
Ainsi $f(u)-f(v)<0$ c’est-à-dire $f(u)<f(v)$.
La fonction racine carrée est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.

$(*)$ On a multiplié $\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)$ par $1$, écrit sous une forme très particulière. Cette quantité qu’on retrouve au numérateur et dénominateur de la fraction est appelée la quantité conjuguée de $\left(\sqrt{u}-\sqrt{v}\right)$.
$\quad$

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$\quad$

4. La fonction cube

Propriété 6 : La fonction cube $f$ est strictement croissante sur $\R$.

On obtient ainsi le tableau de variations suivant.

$\quad$

IV Fonctions paires et impaires

Définition 8 : On considère une fonction $f$ définie sur un ensemble $I$.

On dit que la fonction $f$ est paire si, pour tout $x\in I$ on a $-x\in I$ et $f(-x)=f(x)$.
On dit que la fonction $f$ est impaire si, pour tout $x\in I$ on a $-x\in I$ et $f(-x)=-f(x)$

Exemples :

La fonction carré est paire;
Les fonctions inverse et cube sont impaires.

Propriété 7 :

Si une fonction est paire alors l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour sa représentation graphique.
Si une fonction est impaire alors l’origine du repère est un centre de symétrie pour sa représentation graphique.

$\quad$

$\bigstar$ Comment montrer qu’une fonction est paire ?

Exemple : Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3x^2+5$ est paire.
La fonction $f$ est définie sur $\R$. Ainsi, pour tout réel $x$ le réel $-x$ appartient également à $\R$.
De plus :
$$\begin{align*}
f(-x)&=3(-x)^2+5 \\
&=3x^2+5\\
&=f(x)
\end{align*}$$
La fonction $f$ est donc paire.

$\quad$
$\bigstar$ Comment montrer qu’une fonction est impaire ?

Exemple : Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R^*$ par $g(x)=5x^3-\dfrac{2}{x}$
La fonction $g$ est définie sur $\R^*$. Ainsi pour tout réel $x$ non nul le réel $-x$ appartient également à $\R^*$.
De plus :
$$\begin{align*}
g(-x)&=5(-x)^3-\dfrac{2}{-x} \\
&=5\times \left(-x^3\right)+\dfrac{2}{x} \\
&=-5x^3+\dfrac{2}{x} \\
&=-\left(5x^3-\dfrac{2}{x}\right) \\
&=-g(x)
\end{align*}$$
La fonction $g$ est donc impaire.

$\quad$
Remarque : Il existe des fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires. C’est le cas par exemple de la fonction racine carrée.