3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 7 – Fonctions (généralités)

Fonctions

Exercice 1

Traduire chacune des phrases suivantes avec une égalité du type $f(\ldots)=\ldots$ :

  1. L’image de $4$ par la fonction $f$ est $-2$.
    $\quad$
  2. $5$ est l’image par la fonction $f$ de $8$.
    $\quad$
  3. L’image par la fonction $f$ de $-4$ est $3$.
    $\quad$
  4. $7$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  5. L’antécédent de $0$ par la fonction $f$ est $-1$.
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. L’image de $4$ par la fonction $f$ est $-2$ : $f(4)=-2$.
    $\quad$
  2. $5$ est l’image par la fonction $f$ de $8$ : $f(8)=5$.
    $\quad$
  3. L’image par la fonction $f$ de $-4$ est $3$ : $f(-4)=3$.
    $\quad$
  4. $7$ est l’antécédent de $2$ par la fonction $f$ : $f(7)=2$.
    $\quad$
  5. L’antécédent de $0$ par la fonction $f$ est $-1$ : $f(-1)=0$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Une fonction $f$ est représentée par la courbe suivante :

3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex2

 

  1. Déterminer graphiquement les images par $f$ de $-1$, $0$ et $2$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement les antécédents par $f$ de $1$, $-2$ et $0$.
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement $f(3)$ et $f(-2)$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. L’image de $-1$ par $f$ est $1$.
    L’image de $0$ par $f$ est $2$.
    L’image de $2$ par pfp est $-2$.3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex2corr1
  2. Les antécédents de $1$ sont $-1$ et $1$.
    Les antécédents de $-2$ sont $-2$ et $2$.
    Les antécédents de $0$ sont approximativement $-1,4$ et $1,4$.
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex2corr2
  3. $f(3) = -7$ et $f(-2) = -2$
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex2corr3

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$\quad$

Exercice 3

Voici la représentation graphique d’une fonction $f$.

3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex3

  1. Déterminer graphiquement les image de $-2$ et $2$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement les antécédents de $3$, $-1$, $2$ et $4$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer $f(2)$ et $f(0)$.
    $\quad$
Correction Exercice 3

  1. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est $3$.
    L’image de $2$ par la fonction $f$ est $0$.
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex3corr1
  2. Les antécédents de $3$ par la fonction $f$ sont $-2$ et $4$.
    Les antécédents de $-1$ par la fonction $f$ sont $0$ et environ $1,3$.
    Les antécédents de $2$ par la fonction $f$ sont environ $-1,8$, $3$ et $5$.
    $4$ ne possède pas d’antécédent pas la fonction $f$.
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex3corr2
  3. $f(0)=-1$ et $f(2)=0$.
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex3corr3

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$\quad$

Exercice 4

Ecrire en utilisant les notations mathématiques.

  1. L’image de $x$ par la fonction $f$ est le triple du carré de $x$.
    $\quad$
  2. L’image de $x$ par la fonction $g$ est l’opposé de la somme de $x$ et $4$.
    $\quad$
  3. L’image de $x$ par la fonction $h$ est l’inverse de la somme de $x$ et $3$.
    $\quad$
Correction Exercice 4

  1. L’image de $x$ par la fonction $f$ est le triple du carré de $x$ : $f(x)=3x^2.
    $\quad$
  2. L’image de $x$ par la fonction $g$ est l’opposé de la somme de $x$ et $4$ : $g(x)=-(x+4)$.
    $\quad$
  3. L’image de $x$ par la fonction $h$ est l’inverse de la somme de $x$ et $3$ $h(x)=\dfrac{1}{x+3}$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 5

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$.

  1. Compléter le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&2&3\\
    \hline
    f(x)&&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. Pourquoi $1$ n’a-t-il pas d’image par $f$?
    $\quad$
Correction Exercice 5

  1. $\quad$
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0&2&3\\
    \hline
    f(x)&0,5&0&2&1,5\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. Si $x=1$ alors $x-1=0$. Or on ne peut pas diviser par $0$.
    Donc $1$ ne possède pas d’image par la fonction $f$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 6

On considère un rectangle dont les côtés mesurent $x$ et $2x$.

  1. On appelle $p$ la fonction qui à tout réel $x$ associe le périmètre du rectangle.
    Exprimer $p(x)$ et simplifier son expression.
    $\quad$
  2. Calculer $p(3)$ et $p(15)$.
    Interpréter ces résultats.
    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $p(x)=24$.
    Que signifie ce résultat?
    $\quad$
Correction Exercice 6

  1. On a donc $p(x)=2(x+2x) = 6x$.
    $\quad$
  2. $p(3) = 18$ et $p(15) = 90$.
    Si la largeur du rectangle mesure $3$ alors le périmètre du rectangle mesure $18$.
    Si la largeur du rectangle mesure $15$ alors le périmètre du rectangle mesure $90$.
    $\quad$
  3. $p(x)=24$
    revient à $6x=24$
    soit $x=\dfrac{24}{6}$
    D’où $x=4$.
    La solution de l’équation $p(x)=24$ est $4$.
    Cela signifie que pour obtenir un périmètre de $24$ il faut que la largeur mesure $4$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre $x$ par $f(x)=x^2+5x+4$.

  1. Calculer l’image de $0,5$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f(-5)$.
    $\quad$
  3. Représenter graphiquement la fonction $f$ pour les nombres $x$ compris entre $-6$ et $1$.
    $\quad$
  4. Déterminer graphiquement les antécédents de $-2$ par la fonction $f$.
    Vérifier ces résultats par le calcul.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f(0,5) = 0,5^2 + 5\times 0,5 + 4 = 0,25 + 2,5+4 = 6,75$
    L’image de $0,5$ par la fonction $f$ est $6,75$.
    $\quad$
  2. $f(-5)=(-5)^2+5\times (-5)+4 = 25-25+4=4$.
    $\quad$
  3. On détermine les images de plusieurs nombres (à coordonnées entières par exemple).
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex7
    $\quad$
  4. Les antécédents de $-2$ semblent être $-3$ et $-2$.
    On vérifie :
    $f(-3)=(-3)^2+5\times (-3)+4=9-15+4=-2$
    $f(-2)=(-2)^2+5\times (-2)+4=4-10+4=-2$

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$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre $x$ différent de $3$ par $g(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$.

  1. Compléter le tableau suivant:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-2&-1&0&1&2\\
    \hline
    g(x)&&&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. A l’aide du tableau ou d’un calcul, déterminer :
    – l’image de $0$
    – un antécédent de $0$
    – l’image de $-3$
    – un antécédent $-3$
    $\quad$
  3. On considère la représentation graphique de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
    Le point de coordonnées $\left(-2;\dfrac{1}{5}\right)$ appartient-il à la courbe représentant la fonction $g$?
    Même question avec le point de coordonnées $(0;-1)$.
    $\quad$
  4. Représenter cette courbe pour les valeurs de $x$ comprises entre $-2$ et $2$.
    $\quad$
Correction Exercice 8

  1. Compléter le tableau suivant:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-2&-1&0&1&2\\
    \hline
    g(x)&0,2&0&-\dfrac{1}{3}&-1&-3\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. – l’image de $0$ est $-\dfrac{1}{3}$ : $f(0)=-\dfrac{1}{3}$
    – un antécédent de $0$ est $-1$ : $f(-1)=0$
    – l’image de $-3$ est $\dfrac{1}{3}$: $f(-3)=\dfrac{-3+1}{-3-3}=\dfrac{1}{3}$
    – un antécédent $-3$ est $2$ : $f(2)=-3$
    $\quad$
  3. $f(-2)=0,2=\dfrac{1}{5}$ donc le point de coordonnées $\left(-2;\dfrac{1}{5}\right)$ appartient à la courbe représentant la fonction $g$.
    $f(0)=-\dfrac{1}{3}\neq -1$ donc le point de coordonnées $(0;-1)$ n’appartient pas à la courbe représentant la fonction $g$.
    $\quad$
  4. $\quad$
    3ème - fiche 7 - généralités fonctions - ex8

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