3ème – Révisions pour entrer en 2nd – Fiche 8 – Fonctions linéaires

Fonctions linéaires

Exercice 1

Déterminer le coefficient directeur de chacune des fonctions linéaires suivantes.

  1. $x\mapsto 3x$
    $\quad$
  2. $x \mapsto -7x$
    $\quad$
  3. $x \mapsto \dfrac{1}{4}x$
    $\quad$
  4. $x \mapsto -2,4x$
    $\quad$
  5. $x \mapsto 0$
    $\quad$
  6. $x \mapsto -x$
    $\quad$
  7. $x\mapsto x$
    $\quad$
  8. $x \mapsto -\dfrac{5x}{7}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $x\mapsto 3x$ : le coefficient directeur est $3$.
    $\quad$
  2. $x \mapsto -7x$ : le coefficient directeur est $-7$.
    $\quad$
  3. $x \mapsto \dfrac{1}{4}x$ : le coefficient directeur est $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  4. $x \mapsto -2,4x$ : le coefficient directeur est $-2,4$.
    $\quad$
  5. $x \mapsto 0$ : le coefficient directeur est $0$.
    $\quad$
  6. $x \mapsto -x$ : le coefficient directeur est $-1$ car $-x=-1 \times x$.
    $\quad$
  7. $x\mapsto x$ : le coefficient directeur est $1$ car $x= 1\times x$.
    $\quad$
  8. $x \mapsto -\dfrac{5x}{7}$ : le coefficient directeur est $-\dfrac{5}{7}$ car $-\dfrac{5x}{7}=-\dfrac{5}{7}x$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 2

On considère une fonction linéaire $f$ telle que $15$ ait pour image $5$.

  1. Déterminer le coefficient directeur de la fonction $f$. Le résultat sera donné sous la forme d’une fraction irréductible.
    Fournir ensuite l’expression algébrique de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Calculer les images de $2$, $-9$, $-3$ et $\dfrac{2}{5}$ par la fonction $f$.
    $\quad$
  3. Déterminer les antécédents de $1$, $-\dfrac{4}{3}$, $9$ et $-12$ par la fonction $f$.
    $\quad$
Correction Exercice 2

  1. $f$ est une fonction linéaire. On appelle $a$ son coefficient directeur.
    On sait que $f(15)=5$ donc $15a=5$.
    Par conséquent $a=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    Donc, pour tout nombre $x$ on a $f(x)=\dfrac{1}{3}x$.
    $\quad$
  2. $f(2)=\dfrac{1}{3}\times 2 = \dfrac{2}{3}$
    $f(-9)=\dfrac{1}{3}\times (-9)=-\dfrac{9}{3}=-3$
    $f(-3)=\dfrac{1}{3} \times (-3)=\dfrac{3}{3}=1$
    $f\left(\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}$
    $\quad$
  3. Antécédents de $1$ : on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=1$.
    Donc $\dfrac{1}{3}x=1$ soit $x=\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}} = 3$
    L’antécédent de $1$ est $3$.
    $\quad$
    Antécédents de $-\dfrac{4}{3}$ : on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=-\dfrac{4}{3}$.
    Donc $\dfrac{1}{3}x=-\dfrac{4}{3}$ soit $x=\dfrac{-\dfrac{4}{3}}{\dfrac{1}{3}} = -4$
    L’antécédent de $-\dfrac{4}{3}$ est $-4$.
    $\quad$
    Antécédents de $9$ : on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=9$.
    Donc $\dfrac{1}{3}x=9$ soit $x=\dfrac{9}{\dfrac{1}{3}} = 27$
    L’antécédent de $9$ est $27$.
    $\quad$
    Antécédents de $-12$ : on cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=-12$.
    Donc $\dfrac{1}{3}x=-12$ soit $x=\dfrac{-12}{\dfrac{1}{3}} = -36$
    L’antécédent de $-12$ est $-36$.
    $\quad$

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$\quad$

Exercice 3

On sait que l’image de $-3$ est $5,1$ par une fonction linéaire $f$.
Quelle est l’image de $-12$ par $f$?
$\quad$

Correction Exercice 3

On peut procéder de plusieurs façons :

en utilisant la proportionnalité
On cherche le nombre manquant dans ce tableau de proportionnalité :
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
-3&-12 \\
\hline
5,1&x \\
\hline
\end{array}$
Par conséquent $x=\dfrac{5,1 \times (-12)}{-3} = 20,4$

en calculant le coefficient directeur
On appelle $a$ le coefficient directeur de la fonction linéaire $f$. Ainsi $-3a=5,1$ soit $a=\dfrac{5,1}{-3}=-1,7$
Ainsi $f(x)=-1,7x$ pour tout nombre $x$.
Donc $f(-12)=-1,7 \times (-12)=20,4$

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$\quad$

Exercice 4

On considère une fonction linéaire $g$ telle que $g(2)=9$.
Déterminer $g(10)$.
$\quad$

Correction Exercice 4

Déterminons le coefficient directeur $a$ de la fonction $g$.
On sait que $g(2)=9$.
Par conséquent $2a=9$.
Donc $a=\dfrac{9}{2}$

On en déduit alors que $g(10)=\dfrac{9}{2}\times 10 = 45$.

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$\quad$

Exercice 5

On considère une fonction linéaire $h$ telle que $h(7)=63$.
Exprimer $h(x)$ en fonction de $x$.
$\quad$

Correction Exercice 5

On sait que $h(7) = 63$.
Par conséquent le coefficient directeur de la fonction affine $h$ est $\dfrac{63}{7}=9$.

Donc, pour tout nombre $x$, on a $h(x)=9x$.

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$\quad$

Exercice 6

Sur le graphique suivant, on a représenté les fonctions linéaires suivantes :
$f:x \mapsto \dfrac{1}{2}x$
$g:x \mapsto -x$
Quelle courbe représente chacune de ces fonctions?
3ème - fiche 8 - généralités fonctions - ex6

Correction Exercice 6

La fonction $f$ est représentée par la droite $e$ et la fonction $g$ par la droite $c$.

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$\quad$

Exercice 7

On considère la fonction linéaire $f$ de coefficient directeur $-2$.

  1. Représenter graphiquement la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement l’image de $-2$ et $3$.
    $\quad$
  3. Déterminer graphiquement les antécédents de $10$ et de $-8$.
    $\quad$
Correction Exercice 7

  1. $f$ est une fonction linéaire. Elle est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère.
    Pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x$.
    On sait que la droite passe par l’origine du repère. Pour la tracer, il faut donc trouver un deuxième point appartenant à cette droite.
    On choisit une abscisse au hasard : $x=3$.
    $f(-3)=-2 \times (-3) = 6$.
    La droite passe donc par le point de coordonnées $(-3;6)$.
    $\quad$
  2. Graphiquement :
    – l’image de $-2$ est $4$;
    – l’image de $3$ est $-6$.
    $\quad$
  3. Graphiquement :
    – l’antécédent de $10$ est $-5$;
    – l’antécédent de $8$ est $-4$.
    3ème - fiche 8 - généralités fonctions - ex7

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$\quad$

Exercice 8

On considère la fonction $g$ définie pour tout nombre $x$ par $g(x)=-3x$.

Les points suivants appartiennent-ils à la droite représentant la fonction $g$?

$$A(3;1),B(2;-6),C(1;3),D\left(\dfrac{2}{3};-2\right)$$

Correction Exercice 8

$g(3)=-3 \times 3 = -9 \neq 1$ donc $A$ n’appartient pas à la représentation graphique de la fonction $g$.

$g(2)=-3\times 2 = -6$ donc $B$ appartient à la représentation graphique de la fonction $g$.

$g(1)=-3 \times 1 = -3 \neq 3$ donc $C$ n’appartient pas à la représentation graphique de la fonction $g$.

$g\left(\dfrac{2}{3}\right) = -3 \times \dfrac{2}{3}=-2$ donc $D$ appartient à la représentation graphique de la fonction $g$.

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