Le symbole $\ssi$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.

1. $4x-3=2x+9$
   $\ssi 4x-3-2x=9$
   $\ssi 2x=9+3$
   $\ssi 2x=12$
   $\ssi x=\dfrac{12}{2}$
   $\ssi x=6$
   La solution de cette équation est $6$.
   $\quad$
2. $5x-9=3x+4$
   $\ssi 5x-9-3x=4$
   $\ssi 2x=4+9$
   $\ssi 2x=13$
   $\ssi x=\dfrac{13}{2}$
   La solution de cette équation est $\dfrac{13}{2}$.
   $\quad$
3. $8-(3x+2)=5x-5$
   $\ssi 8-3x-2=5x-5$
   $\ssi 6-3x=5x-5$
   $\ssi 6=5x-5+3x$
   $\ssi 6=8x-5$
   $\ssi 6+5=8x$
   $\ssi 11=8x$
   $\ssi x=\dfrac{11}{8}$
   La solution de cette équation est $\dfrac{11}{8}$.
   $\quad$
4. $7+2(3-x)=4x-1$
   $\ssi 7+6-2x=4x-1$
   $\ssi 13-2x=4x-1$
   $\ssi 13=4x-1+2x$
   $\ssi 13=6x-1$
   $\ssi 13+1=6x$
   $\ssi 14=6x$
   $\ssi x=\dfrac{14}{6}$
   $\ssi x=\dfrac{7}{3}$
   La solution de cette équation est $\dfrac{7}{3}$.
   $\quad$

Le symbole $\ssi$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.

1. $4x-5(3-2x)=4-(2x-7)$
   $\ssi 4x-15+10x=4-2x+7$
   $\ssi 14x-15=11-2x$
   $\ssi 14x-15+2x=11$
   $\ssi 16x-15=11$
   $\ssi 16x=11+15$
   $\ssi 16x=26$
   $\ssi x=\dfrac{26}{16}$
   $\ssi x=\dfrac{13}{8}$
   La solution de cette équation est $\dfrac{13}{8}$.
   $\quad$
2. $9x-3(4-3x)=2-\left[35-3(4-2x)\right]$
   $\ssi 9x-12+9x=2-(35-12+6x)$
   $\ssi 18x-12=2-35+12-6x$
   $\ssi 18x-12=-21-6x$
   $\ssi 18x-12+6x=-21$
   $\ssi 24x-12=-21$
   $\ssi 24x=-21+12$
   $\ssi 24x=-9$
   $\ssi x=-\dfrac{9}{24}$
   $\ssi x=-\dfrac{3}{8}$
   La solution de cette équation est $- \dfrac{3}{8}$.
   $\quad$
3. $5x-3\left[7-4(3-2x)\right]=5(3-x)-4$
   $\ssi 5x-21+36-24x=15-5x-4$
   $\ssi 15-19x=11-5x$
   $\ssi 15=11-5x+19x$
   $\ssi 15=11+14x$
   $\ssi 15-11=14x$
   $\ssi 4=14x$
   $\ssi x=\dfrac{4}{14}$
   $\ssi x=\dfrac{2}{7}$
   La solution de cette équation est $\dfrac{2}{7}$.
   $\quad$
4. $3x-5(3-2x)=6x-15$
   $\ssi 3x-15+10x=6x-15$
   $\ssi 13x-15=6x-15$
   $\ssi 13x-15-6x=-15$
   $\ssi 7x-15=-15$
   $\ssi 7x=-15+15$
   $\ssi 7x=0$
   $\ssi x=0$
   La solution de cette équation est $0$.
   $\quad$

Le symbole $\ssi$ signifie qu’il y a équivalence, c’est-à-dire qu’on a ni ajouté ni supprimé d’informations, entre les deux expressions qui l’encadrent.

1. $\dfrac{3x}{2}=\dfrac{1}{5}$
   $\ssi \dfrac{3}{2}x=\dfrac{1}{5}$
   $\ssi x=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{3}{2}}$
   $\ssi x=\dfrac{1}{5} \times \dfrac{2}{3}$
   $\ssi x=\dfrac{2}{15}$
   La solution de cette équation est $\dfrac{2}{15}$.
   $\quad$
2. $0=-3-2x$
   $\ssi 2x=-3$
   $\ssi $x=-\dfrac{3}{2}$
   La solution de cette équation est $- \dfrac{3}{2}$.
   $\quad$
3. $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
   On multiplie les deux membres de cette équation par $3\times 4$.
   $\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{x+3}{4}$
   $\ssi 4(x-4)=3(x+3)$
   $\ssi 4x-16=3x+9$
   $\ssi 4x-16-3x=9$
   $\ssi x-16=9$
   $\ssi x=9+16$
   $\ssi x=25$
   La solution de cette équation est $25$.
   $\quad$

1. $(7x-1)(-2x-5)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $7x-1=0$ ou $-2x-5=0$
   Soit $7x=1$ ou $-2x=5$
   D’où $x=\dfrac{1}{7}$ ou $x=-\dfrac{5}{2}$
   Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{7}$ et $- \dfrac{5}{2}$.
   $\quad$
2. $(4x+3)(-5x+1)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $4x+3=0$ ou $-5x+1=0$
   Soit $4x=-3$ ou $-5x=-1$
   D’où $x=- \dfrac{3}{4}$ ou $x=\dfrac{1}{5}$
   Les solutions de cette équation sont $- \dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{5}$.
   $\quad$
3. $(-5x+2)(3x-7)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $-5x+2=0$ ou $3x-7=0$
   Soit $-5x=-2$ ou $3x=7$
   D’où $x=\dfrac{2}{5}$ ou $x=\dfrac{7}{3}$
   Les solutions de cette équation sont $\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{7}{3}$.
   $\quad$
4. $(4x-1)(-7x+2)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $4x-1=0$ ou $-7x+2=0$
   Soit $4x=1$ ou $-7x=-2$
   D’où $x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=\dfrac{2}{7}$
   Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{2}{7}$.
   $\quad$
5. $(4x-1)(x+5)-(4x-1)(2x+3)=0$
   $\ssi (4x-1)\left[(x+5)-(2x+3)\right]=0$
   $\ssi (4x-1)(x+5-2x-3)=0$
   $\ssi (4x-1)(-x+2)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $4x-1=0$ ou $-x+2=0$
   Soit $4x=1$ ou $-x=-2$
   D’où $x=\dfrac{1}{4}$ ou $x=2$
   Les solutions de cette équation sont $\dfrac{1}{4}$ et $2$.
   $\quad$
6. $(5x+2)(-2x+3)+4(-2x+3)-7x(-2x+3)=0$
   $\ssi (-2x+3)\left[(5x+2)+4-7x\right]=0$
   $\ssi (-2x+3)(-2x+6)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $-2x+3=0$ ou $-2x+6=0$
   Soit $-2x=-3$ ou $-2x=-6$
   D’où $x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=3$
   Les solutions de cette équation sont $\dfrac{3}{2}$ et $3$.
   $\quad$

Dans cet exercice on utilise l’identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ pour factoriser les expressions et obtenir ainsi une équation produit.

1. $(2x-3)^2-(4x+2)^2=0$
   $\ssi \left[(2x-3)-(4x+2)\right]\left[(2x-3)+(4x+2)\right]=0$
   $\ssi (2x-3-4x-2)(2x-3+4x+2)=0$
   $\ssi (-2x-5)(6x-1)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $-2x-5=0$ ou $6x-1=0$
   Soit $-2x=5$ ou $6x=1$
   D’où $x=-\dfrac{5}{2}$ ou $x=\dfrac{1}{6}$
   Les solutions de cette équation sont $-\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
2. $(5x+7)^2-(-2x+5)^2=0$
   $\ssi \left[(5x+7)-(2x+5)\right]\left[(5x+7)+(-2x+5)\right]=0$
   $\ssi (5x+7+2x-5)(5x+7-2x+5)=0$
   $\ssi (7x+2)(3x+12)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $7x+2=0$ ou $3x+12=0$
   Soit $7x=-2$ ou $3x=-12$
   D’où $x=-\dfrac{2}{7}$ ou $x=-4$
   Les solutions de cette équation sont $-\dfrac{2}{7}$ et $-4$.
   $\quad$
3. $(7x-5)^2=(-2x+3)^2$
   $\ssi (7x-5)^2-(-2x+3)^2=0$
   $\ssi \left[(7x-5)-(-2x+3)\right]\left[(7x-5)+(-2x+3)\right]=0$
   $\ssi (7x-5+2x-3)(7x-5-2x+3)=0$
   $\ssi (9x-8)(5x-2)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $9x-8=0$ ou $5x-2=0$
   Soit $9x=8$ ou $5x=2$
   D’où $x=\dfrac{8}{9}$ ou $x=\dfrac{2}{5}$
   Les solutions de cette équation sont $\dfrac{8}{9}$ et $\dfrac{2}{5}$.
   $\quad$
4. $(-4x-3)^2=(-5x+6)^2$
   $\ssi (-4x-3)^2-(-5x+6)^2=0$
   $\ssi \left[(-4x-3)-(-5x+6)\right]\left[(-4x-3)+(-5x+6)\right]=0$
   $\ssi (-4x-3+5x-6)(-4x-3-5x+6)=0$
   $\ssi (x-9)(-9x+3)=0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs, au moins, est nul.
   Donc $x-9=0$ ou $-9x+3=0$
   Soit $x=9$ ou $-9x=-3$
   D’où $x=9$ ou $x=\dfrac{1}{3}$
   Les solutions de cette équation sont $9$ et $\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$