1. Graphiquement :
   – l’image de $4$ par la fonction $f$ est $3$
   – l’antécédent par la fonction $f$ de $-1$ est $-4$ et celui de $1$ est $0$.
   $\quad$
2. $f(4) = 4 \times 0,5 + 1 = 2 + 1 = 3$ $\checkmark$
   l’image de $4$ par la fonction $f$ est $3$
   $\quad$
   Pour déterminer les antécédents de $-1$ on résout l’équation suivant :
   $0,5x+1=-1$ soit $0,5x=-2$ et donc $x=-\dfrac{2}{0,5}$ d’où $x=-4$ $\checkmark$
   l’antécédent par la fonction $f$ de $-1$ est $-4$
   $\quad$
   Pour déterminer les antécédents de $1$ on résout l’équation suivant :
   $0,5x+1=1$ soit $0,5x=0$ et donc $x=-\dfrac{0}{0,5}$ d’où $x=0$ $\checkmark$
   l’antécédent par la fonction $f$ de $1$ est $0$

Pour savoir si un point de coordonnées $(x;y)$ appartient à la représentation graphique d’une fonction $f$ on regarde si $f(x)=y$.

$f(2)=-2\times 2 + 4 = -4+4=0 \neq -1$ donc le point $A$ n’appartient pas à la droite $(d)$.

$f(0)=-2\times 0 + 4=4$ donc le point $B$ appartient à la droite $(d)$.

Pour savoir si un point de coordonnées $(x;y)$ appartient à la représentation graphique d’une fonction $f$ on regarde si $f(x)=y$.

$g\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{19}{5}=\dfrac{5}{10}-\dfrac{38}{10}$ $=-\dfrac{33}{10} \neq 0$ donc le point $C$ n’appartient pas à la droite $\Delta$.

$g(3)=3-\dfrac{19}{5}=\dfrac{15}{5}-\dfrac{19}{5}$ $=-\dfrac{4}{5}$ donc le point $D$ appartient à la droite $\Delta$.

1. $h(0) = -2 \times 0 + 3 = 3$ et $h(2)=-2\times 2 + 3 = -1$
   On obtient ainsi le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|}
   \hline
   x&0&2 \\
   \hline
   h(x)&3&-1\\
   \hline
   \end{array}$$
2. Ainsi les points de $A(0;3)$ et $B(2;-1)$ appartiennent à la représentation graphique de la fonction $h$.
   $\quad$
3. La fonction $h$ est une fonction affine.
   Elle est donc représentée par une droite passant par les points $A$ et $B$.
   

1. L’expression algébrique de la fonction $f$ est du type $f(x)=ax$. Il s’agit donc d’une fonction linéaire.
   L’expression algébrique de la fonction $g$ est du type $g(x)=ax+b$. Il s’agit donc d’une fonction affine.
   $\quad$
2. $f$ est une fonction linéaire. Elle est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère.
   $f(4)=\dfrac{1}{4}\times 4 = 1$
   Cette droite passe également par le point $A(4;1)$.
   $\quad$
   $g$ est une fonction affine. Elle est donc représentée par une droite.
   $g(-2)=\dfrac{1}{2}\times (-2)+1=-1+1=0$
   $g(4)=\dfrac{1}{2} \times 4+1=2+1=3$
   Cette droite passe donc par les points $B(-2;0)$ et $C(4;3)$.
   
3. L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites vérifie :
   $\dfrac{1}{4}x=\dfrac{1}{2}x+1$ soit $\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{2}x=1$
   Donc $-\dfrac{1}{4}x=1$ et $x=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{4}}$ c’est-à-dire $x=-4$.
   De plus $f(-4)=\dfrac{1}{4}\times (-4)=-1$.
   Ainsi le point d’intersection de ces deux droites à pour coordonnées $(-4;-1)$.
   On constate, graphiquement, qu’on obtient les mêmes coordonnées.

$f$ est une fonction affine. Il existe donc deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, $f(x)=ax+b$.

On a donc $f(3)=3a+b=5$ et $f(8)=8a+b=10$

On résout ainsi le système suivant :

$\begin{cases} 3a+b=5\\8a+b=10 \end{cases}$ soit $\begin{cases} b=5-3a\\8a+(5-3a)=10\end{cases}$ ou encore $\begin{cases}b=5-3a\\8a+5-3a=10\end{cases}$
Donc $\begin{cases}b=5-3a\\5a=10-5 \end{cases}$ c’est-à-dire $\begin{cases}b=5-3a\\5a=5\end{cases}$ d’où $\begin{cases} a=1\\b=5-3\times 1\end{cases}$
Par conséquent $\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}$

Ainsi le coefficient directeur est $1$ et l’ordonnée à l’origine $2$.

On sait que $g(3)=-7$ et $g(0)=-9$.

$g$ est une fonction affine. Il existe donc deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, $g(x)=ax+b$.

Ainsi $g(3)=3a+b=-7$ et $g(0)=0 \times a + b = -9$ ainsi $b=-9$.

On a alors $3a-9=-7$ soit $3a=-7+9$ c’est-à-dire $3a=2$ donc $a=\dfrac{2}{3}$

Par conséquent, pour tout nombre $x$, $g(x)=\dfrac{2}{3}x-9$.

Ainsi $g(9)=\dfrac{2}{3} \times 9-9 = 6-9=-3$

On veut également résoudre l’équation suivante pour trouver l’antécédent de $1$ :
$\dfrac{2}{3}x-9=1$ soit $\dfrac{2}{3}x=10$ d’où $x=\dfrac{10}{\dfrac{2}{3}}$ et $x=15$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&3&0&9&15\\
\hline
g(x)&-7&-9&-3&1 \\
\hline
\end{array}$$

1. L’ordonnée à l’origine d’une fonction affine correspond, graphiquement, à l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
   On ne peut pas lire avec précision cette valeur.
   $\quad$
2. Graphiquement $f(-2)=0$ et $f(5)=1$.
   $\quad$
3. $f$ est une fonction affine. Il existe donc deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre $x$, $f(x)=ax+b$.
   Ainsi $f(-2)=-2a+b=0$ et $f(5)=5a+b=1$
   On doit donc résoudre le système suivant :
   $\begin{cases} -2a+b=0\\5a+b=1 \end{cases}$ soit $\begin{cases} b=2a \\5a +2a=1 \end{cases}$ c’est-à-dire $\begin{cases} b=2a\\7a=1\end{cases}$
   Donc $\begin{cases} a=\dfrac{1}{7} \\b=\dfrac{2}{7}\end{cases}$.
   Ainsi, pour tout nombre $x$, $f(x)=\dfrac{1}{7}x+\dfrac{2}{7}$

On constate que la droite coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $3$.
Ainsi l’ordonnée à l’origine de la fonction $f$ est $3$.

Pour déterminer le coefficient directeur, on choisit deux points de la droite à coordonnées entières (c’est plus facile 😉 ).

Le coefficient directeur vaut donc $\dfrac{+6}{+3}=2$.

Par conséquent, pour tout nombre $x$, $f(x)=2x+3$.