Scratch – DNB 2022

Exercice 1 (Amérique du Nord – DNB juin 2022)

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

On a créé un jeu de hasard à l’aide d’un logiciel de programmation.
Lorsqu’on appuie sur le drapeau, le lutin dessine trois motifs côte à côte.
Chaque motif est dessiné aléatoirement : soit c’est une croix, soit c’est unrectangle.
Le joueur gagne si l’affichage obtenu comporte trois motifs identiques.
Au lancement du programme, le lutin est orienté horizontalement vers la droite :

En prenant pour échelle $1$ cm pour $20$ pas, représenter le motif obtenu par le bloc « rectangle ».
$\quad$
Voici un exemple d’affichage obtenu en exécutant le programme principal :Quelle est la distance $d$ entre les deux rectangles sur l’affichage, exprimée en pas ?
$\quad$
Quelle est la probabilité que le premier motif dessiné par le lutin soit une croix ?
$\quad$
Dessiner à main levée les $8$ affichages différents que l’on pourrait obtenir avec le programme principal.
$\quad$
On admettra que les $8$ affichages ont la même probabilité d’apparaître. Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?
$\quad$
On souhaite désormais que, pour chaque motif, il y ait deux fois plus de chances d’obtenir un rectangle qu’une croix. Pour cela, il faut modifier l’instruction dans la ligne
$\quad$
Sur la copie, recopier l’instruction suivante en complétant les cases : .
$\quad$

Correction Exercice 1

On obtient un rectangle de $60$ pas de large sur $80$ pas de haut soit $3$ cm sur $4$ cm.
$\quad$

$\quad$
On avance de $100-60=40$ pas entre chaque figure.
Donc $d=40$ pas.
$\quad$
Les seuls nombres entiers compris entre $1$ et $2$ sont $\acco{1;2}$.
Chaque nombre a la même probabilité d’apparaître.
La probabilité que le premier motif soit une croix est donc égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
On obtient les $8$ affichages suivants :

$\quad$
La probabilité que le joueur gagne est donc égale à $\dfrac{2}{8}$ soit $\dfrac{1}{4}$.
$\quad$
On peut écrire :

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2 (Centres étrangers – DNB juin 2022)

Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en pixel.

Partie A :

Un professeur donne à ses élèves un motif en forme de parallélogramme et le script, en partie rédigé, qui permet de tracer ce motif. On précise que le lutin est au point de départ, comme indiqué sur la figure ci-dessous, et qu’il est orienté vers la droite :

Recopier dans le bon ordre, sur votre copie, les instructions suivantes à insérer dans le script du motif permettant de tracer le parallélogramme ci-dessus :

Partie B

Le professeur demande ensuite à ses élèves d’intégrer ce script dans un programme de leur choix permettant de tracer des figures composées de plusieurs de ces motifs.

Voici les programmes écrits par deux élèves.

On rappelle que « s’orienter à $90$ » signifie que l’on est orienté vers la droite.

Quelle action au clavier permet de lancer le programme de l’élève B ?
$\quad$
Parmi les figures suivantes, indiquer, ici sans justifier :
a. laquelle est obtenue avec le programme de l’élève A ?
$\quad$
b. laquelle est obtenue avec le programme de l’élève B ?
$\quad$

Correction Exercice 2

Partie A

On obtient le bloc d’instructions suivant :

$\quad$

Partie B

Pour lancer le programme de l’élève B il faut appuyer sur la barre espace.
$\quad$
a. On obtient la figure $1$ avec le programme de l’élève A.
$\quad$
b. On obtient la figure $4$ avec le programme de l’élève B.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3 (Asie – DNB juin 2022)

Une boutique en ligne vend des photos et affiche les tarifs suivants :
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Nombre de photos commandées}&\text{Prix à payer}\\
\hline
\text{De $1$ à $100$ photos}&0,17 \text{ € par photo}\\
\text{Plus de $100$ photos}&17 \text{ € pour l’ensemble des $100$ premières photos et} \\
&0,17 \text{ € par photo supplémentaire}\\
\hline
\end{array}$$

a. Quel est le prix à payer pour $35$ photos ?
$\quad$
b. Vérifier que le prix à payer pour $150$ photos est $23,50$ €.
$\quad$
c. On dispose d’un budget de $10$ €. Combien de photos peut-on commander au maximum ?
$\quad$

On a commencé à construire un programme qui doit permettre de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées :

Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
Par quelles valeurs peut-on compléter les instructions des lignes $3$, $5$ et $8$ pour que le programme permette de calculer le prix à payer en fonction du nombre de photos commandées ?
Sur la copie, écrire le numéro de chaque ligne à compléter et la valeur correspondante.
$\quad$
En période des soldes, le site offre une réduction de $30 \%$ sur le prix à payer, pour toute commande supérieure à $20$ €.
a. Calculer le prix a payer pour $150$ photos en période des soldes.
$\quad$
b. Dans cette question, aucune justification n’est attendue.
$\quad$
On modifie le programme pour qu’il donne le prix à payer en période des soldes en insérant le bloc ci-dessous entre les lignes $8$ et $9$.
Dans la liste suivante, indiquer une proposition qui convient pour compléter la case vide :
Proposition 1 :
Proposition 2 :
Proposition 3 :
Proposition 4 :
$\quad$

Correction Exercice 3

a. $0,17\times 35=5,95$.
On paye donc $5,95$ € pour $35$ photos.
$\quad$
b. $17+0,13\times 50=23,5$.
On paye bien $23,50$ € pour $150$ photos.
$\quad$
c. On ne peut pas commander plus de $100$ photos.
On appelle $x$ le nombre de photos commandées.
$0,17x\pp 10$ donc $x\pp \dfrac{10}{0,17}$.
Or $\dfrac{10}{0,17}\approx 58,8$.
On peut donc commander au maximum $58$ photos avec un budget de $10$ €.
$\quad$
À la ligne $3$ on écrit la valeur $100$, à la ligne $4$ on écrit la valeur $0,17$ et à la ligne $7$ on écrit la valeur $17$.
$\quad$
a. Pour $150$ photos on doit payer, sans réduction $23,50$ € d’après la question 1.b.
$23,50\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=16,45$.
Après réduction on payera donc $16,45$ €.
$\quad$
b. Les propositions 2 et 4 conviennent puisqu’appliquer une réduction de $30\%$ à un nombre revient à multiplier ce nombre par $1-\dfrac{30}{100}=0,7$ ou à soustraire $30\%$ du nombre à lui-même.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 4 (Polynésie – DNB juin 2022)

Le centre Pompidou est un musée d’art contemporain à Paris. Pour accéder aux étages, il faut utiliser un ensemble d’escalators extérieurs appelé « chenille ».

La chenille est composée de $5$ escalators tous identiques (traits épais sur la figure ci-dessous) et de $6$ passerelles horizontales toutes identiques (traits fins horizontaux sur
la figure ci-dessous).

À l’aide de la figure ci-dessus :
a. Vérifier que la profondeur $p$ de chaque escalator est égale à $12$ m.
$\quad$
b. Calculer la hauteur h de chaque escalator.
$\quad$
À l’aide du triangle $RST$ ci-dessous :
$\quad$
$\quad$a. Prouver que la longueur $ST$ d’un escalator est de $13,6$ m.
$\quad$
b. Montrer que la mesure de l’angle formé par l’escalator
avec l’horizontale (c’est à dire l’angle $\widehat{RST}$ ) arrondie au degré est de $28$°.
$\quad$
Sabine veut représenter la chenille grâce au logiciel Scratch.
Elle a écrit le programme qui est donné sur l’ANNEXE. On précise que : $1$ pas du logiciel correspond à $1$ m dans la réalité.
Compléter les lignes 6, 7, 9, et 10, sur l’ANNEXE (à rendre avec la copie), afin d’obtenir le tracé ci-dessous de la chenille :
$\quad$

$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice 4

a. $135-6\times 12,5=60$et$\dfrac{60}{5}=12$.
La profondeur de chaque escalator est égale à $12$ m.
$\quad$
b. $\dfrac{32}{5} = 6,4$.
Chaque escalator a une hauteur de $6,4$ m.
$\quad$
a. Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$ on applique le théorème de Pythagore.
$\begin{align*} ST^2&=RS^2+RT^2 \\
&=12^2+6,4^2\\
&=144+40,96 \\
&=184,96\end{align*}$
Ainsi $ST=\sqrt{184,96}=13,6$.
La longueur d’un escalator est égale à $13,6$ m.
$\quad$
b. Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$, on a $\tan\widehat{RST}=\dfrac{6,4}{12}$
Donc $\widehat{RST}\approx 28$°.
$\quad$
On peut écrire le programme suivant :
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5 (Métropole – DNB juin 2022)

Dans cet exercice, $x$ est un nombre strictement supérieur à $3$.
On s’intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous :

un rectangle dont les côtés ont pour longueurs $x-3$ et $x+7$ ;
un carré de côté $x$.

Quatre propositions sont écrites ci-dessous.
Recopier sur la copie celle qui correspond à l’aire du carré. On ne demande pas de justifier.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
~~~~~4x~~~~~&~~~~4+x~~~~&~~~~~x^2~~~~~&~~~~~2x~~~~~\\\hline\end{array}$$
$\quad$
Montrer que l’aire du rectangle est égale à : $x^2+4x-21$.
$\quad$
On a écrit le script ci-dessous dans Scratch.
On veut que ce programme renvoie l’aire du rectangle lorsque l’utilisateur a rentré une valeur de $x$ (strictement supérieure à $3$).
Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.$\quad$
On a pressé la touche espace puis saisi le nombre $8$. Que renvoie le programme ?
$\quad$
Quel nombre 𝑥 doit-on choisir pour que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du carré ?
Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.
$\quad$

Correction Exercice 5

L’aire du carré est $\mathscr{A}_c=x^2$.
$\quad$
L’aire du rectangle est :
$\begin{align*} \mathscr{A}_r&=(x-3)(x+7) \\
&=x^2+7x-3x-21 \\
&=x^2+4x-21\end{align*}$.
$\quad$
On obtient :
$\quad$
$8^2+4\times 8-21=75$.
Le programme renvoie donc la valeur $75$.
$\quad$
On veut résoudre l’équation $x^2=x^2+4x-21$ soit $4x-21=0$ ou encore $4x=21$.
Il faut donc que $x$ soit égal à $\dfrac{21}{4}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6 (Polynésie – DNB septembre 2022)

On utilise un logiciel de programmation.
On rappelle que « s’orienter à $0$° » signifie qu’on oriente le stylo vers le haut.
On considère les deux scripts suivants :

On exécute le script 1 ci-dessus.
Représenter le chemin parcouru par le stylo sur l’ANNEXE à rendre avec la copie.
$\quad$
Quel dessin parmi les trois ci-dessous correspond au script 2 ? On expliquera pourquoi les deux autres dessins ne correspondent pas au script 2.
Chaque côté de carreau mesure $20$ pixels.
$\quad$
$\quad$
On souhaite maintenant obtenir le motif représenté sur le dessin 4 :
$\quad$

$\quad$
Compléter sans justifier les trois cases du script 3 donné en ANNEXE à rendre avec la copie, permettant d’obtenir le dessin 4
$\quad$
À partir du motif représenté sur le dessin 4, on peut obtenir le pavage ci-dessous :
$\quad$
$\quad$
Répondre aux questions suivantes sur votre copie en indiquant le numéro du motif qui convient (on ne demande pas de justifier la réponse) :
a. Quelle est l’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ ?
$\quad$
b. Quelle est l’image du motif 1 par la symétrie de centre $B$ ?
$\quad$
c. Quelle est l’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ ?
$\quad$
d. Quelle est l’image du motif 2 par la symétrie d’axe ($CG)$ ?
$\quad$

ANNEXE

Question 1

Chaque côté de carreau mesure $20$ pixels.
La position de départ du stylo est indiquée sur la figure ci-dessus.

Question 3

$\quad$

Correction Exercice 6

On obtient le chemin suivant :
$\quad$

$\quad$
Dans le dessin 1, la distance parcourue n’augmente jamais.
Dans le dessin 3, le premier déplacement est horizontal à la place d’être vertical.
C’est donc le dessin 2 qui correspond au script 2.
$\quad$
On obtient le script suivant :
$\quad$

$\quad$
a. L’image du motif 1 par la translation qui transforme le point $B$ en $E$ est le motif 5.
$\quad$
b. L’image du motif 1 par symétrie de centre $B$ est le motif 9.
$\quad$
c. L’image du motif 16 par la symétrie de centre $G$ est le motif 12.
$\quad$
d. L’image du motif 2 par la symétrie d’axe $(CG)$ est le motif 5.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 7 (Métropole – DNB septembre 2022)

La figure ci-dessous est un pavage constitué de cerfs-volants.
Les triangles $SLP$ et $PLA$ ainsi formés sont des triangles équilatéraux.

PARTIE A :

Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{PSL}$.
$\quad$
Quelle est l’image du cerf-volant $2$ par la symétrie d’axe $(PL)$ ? On ne demande pas de justification.
$\quad$
Déterminer par quelle transformation du plan le cerf-volant 1 devient le cerf-volant $6$ ?
On ne demande pas de justification.
$\quad$

PARTIE B :

Dans cette partie, on se propose de construire le cerf-volant ci-dessous.
Essya, Nicolas et Tiago souhaitent construire cette figure à l’aide d’un logiciel de programmation.

Ils écrivent tous un programme « Cerf-volant » différent.

Tracer le programme « Cerf-Volant » de Nicolas, en prenant $1$ cm pour $100$ pas.
$\quad$
Un élève a écrit le script correct. Donner le nom de cet élève en justifiant la réponse.
$\quad$

Correction Exercice 7

Partie A

Le triangle $SLP$ est équilatéral. Par conséquent $\widehat{PSL}=60$°.
$\quad$
L’image du cerf-volant 2 par la symétrie d’axe $(PL)$ est le cerf-volant 5.
$\quad$
L’image du cerf-volant 1 par la symétrie de centre $J$ est le cerf-volant $6$.
$\quad$

Partie B

On obtient le cerf-volant suivant :
$\quad$

$\quad$
Seul le script d’Essya possède deux rotations de $90$°.
C’est donc celui-ci qui est correct.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8 (Amérique du Sud – DNB décembre 2022)

Dans cet exercice. aucune justification n’est attendue.
On souhaite réaliser le logo ci-dessous avec le logiciel Scratch à partir du script incomplet ci- dessous.

On rappelle que l’instruction consiste à orienter le lutin et le stylo horizontalement vers la droite.

Le bloc permet de réaliser la figure ci-contre :

En mathématiques, comment appelle-t-on la transformation géométrique qui permet de passer d’un motif du logo au suivant ?
$\quad$
Ici, le stylo est orienté horizontalement vers la droite au départ. Parmi les trois propositions suivantes, quelle est celle qui permet d’obtenir le motif souhaité ?
$\quad$

$\quad$
Compléter le script principal en recopiant sur la copie uniquement la boucle « répéter» (c’est-à-dire les instructions 4, 5, 6 et 7).
$\quad$
On veut placer l’instruction de façon à changer de couleur à chaque motif.
Sur la copie, indiquer un numéro d’instruction du script principal après laquelle on peut placer cette instruction.
$\quad$

Correction Exercice 8

On effectue une rotation de centre le point de coordonnées $(0;0)$ et d’angle $\dfrac{360}{5}=72$°.
$\quad$
La troisième proposition permet d’obtenir le motif souhaité.
$\quad$
On obtient le script suivant :
$\quad$

$\quad$
On peut ajouter cette instruction indifféremment après les instructions 5, 6 ou 7 ou juste avant l’instruction 5.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 9 (Nouvelle-Calédonie décembre 2022)

Dessiner sur la copie le motif correspondant au script Scratch ci-contre, le stylo étant en position d’écriture. On prendra $1$ cm pour $10$ pas.
$\quad$

$\quad$
Sur l’annexe, compléter les informations manquantes du script n° 2 qui permet d’obtenir la figure ci-dessous.
$\quad$

$\quad$

Annexe :

$\quad$

Correction Exercice 9

On obtient :
$\quad$

$\quad$
On obtient :
$\quad$

$\quad$

[collapse]

$\quad$