Additions et soustractions

Les fractions

Exercice 1

Effectuer les additions suivantes, puis simplifier le résultat quand c’est possible.

$\dfrac{13}{15}+\dfrac{14}{15}$
$\quad$
$\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{4}$
$\quad$
$\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}$
$\quad$

Correction Exercice 1

$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{13}{15}+\dfrac{14}{15}&=\dfrac{13+14}{15}\\
&=\dfrac{27}{15} \\
&=\dfrac{3\times 9}{3 \times 5} \\
&=\dfrac{9}{5}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{4}&=\dfrac{3+7}{4} \\
&=\dfrac{10}{4} \\
&=\dfrac{2\times 5}{2\times 2} \\
&=\dfrac{5}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}&=\dfrac{2+7}{3} \\
&=\dfrac{9}{3} \\
&=3\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Effectuer les additions suivantes, puis simplifier le résultat quand c’est possible.

$\dfrac{25}{3}-\dfrac{17}{3}$
$\quad$
$\dfrac{37}{25}-\dfrac{32}{25}$
$\quad$
$\dfrac{45}{8}-\dfrac{37}{8}$
$\quad$

Correction Exercice 2

$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{25}{3}-\dfrac{17}{3}&=\dfrac{25-17}{3} \\
&=\dfrac{8}{3}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{37}{25}-\dfrac{32}{25}&=\dfrac{37-32}{25} \\
&=\dfrac{5}{25} \\
&=\dfrac{5\times 1}{5\times 5} \\
&=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{45}{8}-\dfrac{37}{8}&=\dfrac{45-37}{8} \\
&=\dfrac{8}{8} \\
&=1\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Compléter : $\dfrac{2}{5}=\dfrac{\ldots}{15}$ donc $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{7}{15}=\dfrac{\ldots}{15}+\dfrac{7}{15}=\dfrac{\ldots}{15}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\dfrac{2}{5}=\dfrac{2\times 3}{5\times 5}=\dfrac{6}{15}$ donc $$\dfrac{2}{5}+\dfrac{7}{15}=\dfrac{6}{15}+\dfrac{7}{15}=\dfrac{13}{15}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Écrire $\dfrac{7}{3}$ sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est $6$.
$\quad$
Utiliser la question précédente pour calculer $\dfrac{7}{3}+\dfrac{8}{6}$ et simplifier le résultat si c’est possible.
$\quad$

Correction Exercice 4

On a :
$\begin{align*} \dfrac{7}{3}&=\dfrac{7\times 2}{3\times 2}\\
&=\dfrac{14}{6} \end{align*}$
$\quad$
Par conséquent :
$\begin{align*} \dfrac{7}{3}+\dfrac{8}{6}&=\dfrac{14}{6}+\dfrac{8}{6} \\
&=\dfrac{14+8}{6} \\
&=\dfrac{22}{6} \\
&=\dfrac{2\times 11}{2\times 3} \\
&=\dfrac{11}{3}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Écrire $\dfrac{7}{4}$ sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est $12$.
$\quad$
Utiliser la question précédente pour calculer $\dfrac{29}{12}-\dfrac{7}{4}$ et simplifier le résultat si c’est possible.
$\quad$

Correction Exercice 5

On a :
$\begin{align*} \dfrac{7}{4}&=\dfrac{7\times 3}{4\times 3} \\
&=\dfrac{21}{12}\end{align*}$
$\quad$
Ainsi :
$\begin{align*} \dfrac{29}{12}-\dfrac{7}{4}&=\dfrac{29}{12}-\dfrac{21}{12} \\
&=\dfrac{29-21}{12} \\
&=\dfrac{8}{12} \\
&=\dfrac{4\times 2}{4\times 3} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée.

$\dfrac{5}{77}+\dfrac{4}{7}$
$\quad$
$\dfrac{5}{10}-\dfrac{1}{2}$
$\quad$
$\dfrac{4}{33}+\dfrac{6}{11}$
$\quad$
$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}$
$\quad$
$\dfrac{25}{7}-\dfrac{61}{21}$
$\quad$
$\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3}$
$\quad$

Correction Exercice 6

$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{5}{77}+\dfrac{4}{7}&=\dfrac{5}{77}+\dfrac{4\times 11}{7\times 11} \\
&=\dfrac{5}{77}+\dfrac{44}{77} \\
&=\dfrac{5+44}{77} \\
&=\dfrac{49}{77} \\
&=\dfrac{7\times 7}{7\times 11} \\
&=\dfrac{7}{11}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{5}{10}-\dfrac{1}{2}&=\dfrac{5}{10}-\dfrac{1\times 5}{2\times 5} \\
&=\dfrac{5}{10}-\dfrac{5}{10} \\
&=\dfrac{5-5}{10} \\
&=\dfrac{0}{10} \\
&=0\end{align*}$
Remarque : on pouvait également simplifier au départ $\dfrac{5}{10}$ en $\dfrac{1}{2}$ et obtenir évidemment le même résultat.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{4}{33}+\dfrac{6}{11}&=\dfrac{4}{33}+\dfrac{6\times 3}{11\times 3} \\
&=\dfrac{4}{33}+\dfrac{18}{33} \\
&=\dfrac{4+18}{33} \\
&=\dfrac{22}{33} \\
&=\dfrac{11\times 2}{11\times 3} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}&=\dfrac{2\times 2}{3\times 2}+\dfrac{5}{6} \\
&=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6} \\
&=\dfrac{4+5}{6} \\
&=\dfrac{9}{6} \\
&=\dfrac{3\times 3}{3\times 2}\\
&=\dfrac{3}{2} \end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{25}{7}-\dfrac{61}{21}&=\dfrac{25\times 3}{7\times 3}-\dfrac{61}{21} \\
&=\dfrac{75}{21}-\dfrac{61}{21} \\
&=\dfrac{75-61}{21} \\
&=\dfrac{14}{21} \\
&=\dfrac{7\times 2}{7\times 2} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{3}&=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1\times 2}{3\times 2} \\
&=\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{6} \\
&=\dfrac{5+2}{6} \\
&=\dfrac{7}{6} \end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Calculer $A=\dfrac{31}{8}+\dfrac{7}{8}+\dfrac{2}{8}$

$\quad$

Correction Exercice 7

$\begin{align*}A&=\dfrac{31}{8}+\dfrac{7}{8}+\dfrac{2}{8} \\
&=\dfrac{31+7+2}{8} \\
&=\dfrac{40}{8} \\
&=\dfrac{8\times 5}{8} \\
&=5\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 8

Calculer $B=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{2}$ et $C=\dfrac{31}{8}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}$.

$\quad$

Correction Exercice 8

$\begin{align*} B&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{2} \\
&=\dfrac{1\times 2}{2\times 2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7\times 2}{2\times 2} \\
&=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{14}{4} \\
&=\dfrac{2+1+14}{4}\\
&=\dfrac{17}{4}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}C&=\dfrac{31}{8}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{31}{8}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1\times 2}{4\times 2} \\
&=\dfrac{31}{8}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8} \\
&=\dfrac{31-1+2}{8} \\
&=\dfrac{32}{8} \\
&=4\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 9

Compléter :

$\begin{align*} A&=3+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{3}{\ldots}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{\ldots}{4}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{\ldots}{4}\end{align*}$

$\quad$

Correction Exercice 9

$\begin{align*} A&=3+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{3}{1}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{12}{4}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{13}{4}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10

Calculer $B=2+\dfrac{8}{5}$, $C=\dfrac{15}{2}-3$, $D=\dfrac{1}{2}+1$.

$\quad$

Correction Exercice 10

$\begin{align*}B&=2+\dfrac{8}{5} \\
&=\dfrac{2}{1}+\dfrac{8}{5} \\
&=\dfrac{10}{5}+\dfrac{8}{5} \\
&=\dfrac{18}{5}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}C&=\dfrac{15}{2}-3 \\
&=\dfrac{15}{2}-\dfrac{3}{1} \\
&=\dfrac{15}{2}-\dfrac{6}{2} \\
&=\dfrac{9}{2}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}D&=\dfrac{1}{2}+1 \\
&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1} \\
&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 11

Calculer :

$\dfrac{4}{9}+\dfrac{20}{27}$
$\quad$
$\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{15}$
$\quad$
$7+\dfrac{2}{3}$
$\quad$
$5-\dfrac{1}{5}$
$\quad$
$3-\dfrac{2}{10}$
$\quad$
$\dfrac{7}{9}-\dfrac{2}{45}$
$\quad$

Correction Exercice 11

$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{4}{9}+\dfrac{20}{27}&=\dfrac{12}{27}+\dfrac{20}{27} \\
&=\dfrac{32}{27}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{15}&=\dfrac{9}{15}-\dfrac{4}{15} \\
&=\dfrac{5}{15} \\
&=\dfrac{5\times 1}{5\times 3} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}7+\dfrac{2}{3}&=\dfrac{21}{3}+\dfrac{2}{3} \\
&=\dfrac{23}{3}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}5-\dfrac{1}{5}&=\dfrac{25}{5}-\dfrac{1}{5} \\
&=\dfrac{24}{5}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}3-\dfrac{2}{10}&=\dfrac{30}{10}-\dfrac{2}{10} \\
&=\dfrac{28}{10} \\
&=\dfrac{2\times 14}{2\times 5} \\
&=\dfrac{14}{5}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*}\dfrac{7}{9}-\dfrac{2}{45}&=\dfrac{35}{45}-\dfrac{2}{45} \\
&=\dfrac{33}{45} \\
&=\dfrac{3\times 11}{3\times 15} \\
&=\dfrac{11}{15}\end{align*}$
$\quad$

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$\quad$

Exercice 12

Calculer $\dfrac{2}{10}+\dfrac{6}{15}$.

Aide : simplifie d’abord chaque fraction.

$\quad$

Correction Exercice 12

$\begin{align*} \dfrac{2}{10}+\dfrac{6}{15}&=\dfrac{2\times 1}{2\times 5}+\dfrac{3\times 2}{3\times 5} \\
&=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5} \\
&=\dfrac{3}{5}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 13

Arthur a mangé $\dfrac{1}{6}$ d’un gâteau au petit-déjeuner et sa petite sœur $\dfrac{1}{12}$.
Au goûter, Arthur en prend $\dfrac{1}{4}$ et sa petite sœur à nouveau $\dfrac{1}{12}$.
Quelle fraction du gâteau a été mangée au total ?

$\quad$

Correction Exercice 13

On doit calculer :

$\begin{align*} \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}&=\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12} \\
&=\dfrac{7}{12}\end{align*}$

Ils ont mangé $\dfrac{7}{12}$ du gâteau.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 14

Dans une famille, on a bu $\dfrac{2}{3}$ de litre de lait au petit déjeuner et utilisé $\dfrac{1}{6}$ de litre pour la cuisine du déjeuner.
Une bouteille d’un litre a-t-elle été suffisante ?

$\quad$

Correction Exercice 14

On doit calculer :

$\begin{align*} \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6} \\
&=\dfrac{5}{6}\end{align*}$

Or $\dfrac{5}{6}<1$.

Par conséquent, une bouteille d’un litre a été suffisante.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 15

Lucas a perdu $\dfrac{3}{8}$ de ses billes au cours de la partie. Quelle fraction de ses billes lui reste-t-il ?

$\quad$

Correction Exercice 15

$\begin{align*}1-\dfrac{3}{8}&=\dfrac{8}{8}-\dfrac{3}{8} \\
&=\dfrac{5}{8}\end{align*}$

Il lui reste donc $\dfrac{5}{8}$ de ses billes.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 16

On partage des bonbons en plusieurs parts : $\dfrac{1}{5}$ pour Clara, $\dfrac{7}{15}$ pour Lola et $\dfrac{1}{3}$ pour Mélodie. Quelle part de bonbons reste-t-il ?

$\quad$

Correction Exercice 16

On a :

$\begin{align*} \dfrac{1}{5}+\dfrac{7}{15}+\dfrac{1}{3}&=\dfrac{3}{15}+\dfrac{7}{15}+\dfrac{5}{15} \\
&=\dfrac{15}{15} \\
&=1\end{align*}$

Par conséquent l’intégralité des bonbons a été partagé. Il n’en reste donc plus.

$\quad$

[collapse]

$\quad$