5ème – Exercices – Multiplications

Multiplications

Les fractions

Exercice 1

Calculer :

  1. $\dfrac{4}{5}\times \dfrac{2}{3}$
    $\quad$
  2. $\dfrac{3}{11}\times \dfrac{6}{7}$
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{5}\times \dfrac{2}{3}$
    $\quad$
  4. $\dfrac{6}{7}\times \dfrac{5}{7}$
    $\quad$
Correction Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{4}{5}\times \dfrac{2}{3}&=\dfrac{4\times 2}{5\times 3} \\
    &=\dfrac{8}{15}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{3}{11}\times \dfrac{6}{7}&=\dfrac{3\times 6}{11\times 7} \\
    &=\dfrac{18}{77}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{1}{5}\times \dfrac{2}{3}&=\dfrac{1\times 2}{5\times 3} \\
    &=\dfrac{2}{15}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $\quad$
    $\begin{align*}\dfrac{6}{7}\times \dfrac{5}{7}&=\dfrac{6\times 5}{7\times 7} \\
    &=\dfrac{30}{49}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2

Calculer en simplifiant :

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A=\dfrac{21}{5}\times \dfrac{8}{7}&B=\dfrac{13}{6}\times \dfrac{12}{5}&C=\dfrac{2}{12}\times \dfrac{3}{9} \\
\hline
D=\dfrac{4}{10}\times \dfrac{5}{8}&E=\dfrac{14}{18}\times \dfrac{9}{14}&F=\dfrac{32}{3}\times \dfrac{6}{16} \\
\hline
G=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{5}{2}&H=\dfrac{14}{21}\times \dfrac{18}{4}&\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 2

$\begin{align*}A&=\dfrac{21}{5}\times \dfrac{8}{7} \\
&=\dfrac{21\times 8}{5\times 7} \\
&=\dfrac{3\times 7\times 8}{5\times 7} \\
&=\dfrac{3\times 8}{5} \\
&=\dfrac{24}{5}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}B&=\dfrac{13}{6}\times \dfrac{12}{5}\\
&=\dfrac{13\times 12}{6\times 5} \\
&=\dfrac{13\times 2\times 6}{6\times 5} \\
&=\dfrac{13\times 2}{5} \\
&=\dfrac{26}{5}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}C&=\dfrac{2}{12}\times \dfrac{3}{9} \\
&=\dfrac{2\times 3}{12\times 9}\\
&=\dfrac{2\times 3\times 1}{2\times 3\times 2\times 9} \\
&=\dfrac{1}{2\times 9}\\
&=\dfrac{1}{18}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}D&=\dfrac{4}{10}\times \dfrac{5}{8}\\
&=\dfrac{4\times 5}{10\times 8}\\
&=\dfrac{4\times 5\times 1}{5\times 2\times 2\times 4} \\
&=\dfrac{1}{2\times 2} \\
&=\dfrac{1}{4}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}E&=\dfrac{14}{18}\times \dfrac{9}{14} \\
&=\dfrac{14\times 9}{18\times 14} \\
&=\dfrac{14\times 9\times 1}{9\times 2\times 14}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}F&=\dfrac{32}{3}\times \dfrac{6}{16} \\
&=\dfrac{32\times 6}{3\times 16} \\
&=\dfrac{2\times 16\times 2\times 3}{3\times 16\times 1} \\
&=\dfrac{2\times 2}{1} \\
&=4\end{align*}$

$\begin{align*}G&=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{5}{2}\\
&=\dfrac{2\times 5}{5\times 2} \\
&=\dfrac{2\times 5\times 1}{5\times 2\times 1} \\
&=\dfrac{1}{1} \\
&=1\end{align*}$

$\begin{align*}H&=\dfrac{14}{21}\times \dfrac{18}{4}\\
&=\dfrac{14\times 18}{21\times 4} \\
&=\dfrac{2\times 7\times 3\times 6}{3\times 7\times 2\times 2} \\
&=\dfrac{6}{2} \\
&=3\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3

Calculer en simplifiant quand c’est possible :

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
A=\dfrac{5}{3}\times 2&B=\dfrac{7}{25}\times 5&C=12\times \dfrac{7}{15}\\
\hline
D=3\times \dfrac{5}{9}&E=\dfrac{12}{8}\times 0&F=\dfrac{5}{9}\times 1\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*}A&=\dfrac{5}{3}\times 2\\
&=\dfrac{5\times 2}{3}\\
&=\dfrac{10}{3}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}B&=\dfrac{7}{25}\times 5\\
&=\dfrac{7\times 5}{25} \\
&=\dfrac{7\times 5}{5\times 5} \\
&=\dfrac{7}{5}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}C&=12\times \dfrac{7}{15}\\
&=\dfrac{12\times 7}{15} \\
&=\dfrac{3\times 4\times 7}{3\times 5} \\
&=\dfrac{4\times 7}{5} \\
&=\dfrac{28}{5}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}D&=3\times \dfrac{5}{9}\\
&=\dfrac{3\times 5}{9} \\
&=\dfrac{3\times 5}{3\times 3} \\
&=\dfrac{5}{3}\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}E&=\dfrac{12}{8}\times 0 \\
&=0 \end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*}F&=\dfrac{5}{9}\times 1 \\
&=\dfrac{5}{9}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Exercice 4

Calculer (en simplifiant) :

$A=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{10}{3}\times \dfrac{33}{25}$ $\qquad$ $B=\dfrac{8}{5}\times 2\times \dfrac{45}{32}$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\begin{align*}A&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{10}{3}\times \dfrac{33}{25} \\
&=\dfrac{1\times 10\times 33}{2\times 3\times 25} \\
&=\dfrac{1\times 2\times 5\times 3\times 11}{2\times 3\times 5\times 5} \\
&=\dfrac{1\times 11}{5} \\
&=\dfrac{11}{5}\end{align*}$

$\qquad$

$\begin{align*}B&=\dfrac{8}{5}\times 2\times \dfrac{45}{32} \\
&=\dfrac{8\times 2\times 45}{5\times 32} \\
&=\dfrac{8\times 2\times 9\times 5}{5\times 2\times 2\times 8} \\
&=\dfrac{9}{2}\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Exercice 5

Compléter le tableau et simplifier le résultat lorsque c’est possible.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\times &3&\dfrac{4}{5}&\dfrac{3}{2}&\dfrac{7}{4}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{5}{2} \\
\hline
4 &12&&&\phantom{\dfrac{1}{2}}&& \\
\hline
\dfrac{2}{3}&&&&&& \\
\hline
\dfrac{6}{7}&&&&&& \\
\hline
\end{array}$$

 

Correction Exercice 5

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\times &3&\dfrac{4}{5}&\dfrac{3}{2}&\dfrac{7}{4}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{5}{2} \\
\hline
4 &12&\dfrac{16}{5}&6&7&\dfrac{2}{3}&10 \\
\hline
\dfrac{2}{3}&2&\dfrac{8}{15}&1&\dfrac{7}{6}&\dfrac{1}{9}&\dfrac{5}{3} \\
\hline
\dfrac{6}{7}&\dfrac{18}{7}&\dfrac{24}{35}&\dfrac{9}{7}&\dfrac{3}{2}&\dfrac{1}{7}&\dfrac{15}{7} \\
\hline
\end{array}$$

Détails :

$\begin{align*} 4\times \dfrac{4}{5}&=\dfrac{4\times 4}{5} \\
&=\dfrac{16}{5} \end{align*}$

$\begin{align*}4\times \dfrac{3}{2}&=\dfrac{4\times 3}{2} \\
&=\dfrac{2\times 2\times 3}{2}\\
&=2\times 3 \\
&=6\end{align*}$

$\begin{align*}4\times \dfrac{7}{4}&=\dfrac{4\times 7}{4} \\
&=7\end{align*}$

$\begin{align*}4\times \dfrac{1}{6}&=\dfrac{4\times 1}{6} \\
&=\dfrac{2\times 2\times 1}{2\times 3}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$

$\begin{align*}4\times \dfrac{5}{2}&=\dfrac{4\times 5}{2} \\
&=\dfrac{2\times 2\times 5}{2}\\
&=2\times 5 \\
&=10\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{2}{3}\times 3&=\dfrac{2\times 3}{3} \\
&=2\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}&=\dfrac{2\times 4}{3\times 5} \\
&=\dfrac{8}{15}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{2}&=\dfrac{2\times 3\times 1}{3\times 2\times 1} \\
&=\dfrac{1}{1} \\
&=1\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{2}{3}\times \dfrac{7}{4}&=\dfrac{2\times 7}{3\times 4} \\
&=\dfrac{2\times 7}{3\times 2\times 2} \\
&=\dfrac{7}{3\times 2} \\
&=\dfrac{7}{6}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{6}&=\dfrac{2\times 1}{3\times 6} \\
&=\dfrac{2\times 1}{3\times 2\times 3} \\
&=\dfrac{1}{3\times 3} \\
&=\dfrac{1}{9}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{2}&=\dfrac{2\times 5}{3\times 2} \\
&=\dfrac{5}{3}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{6}{7}\times 3&=\dfrac{6\times 3}{7} \\
&=\dfrac{18}{7} \end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{6}{7}\times \dfrac{4}{5}&=\dfrac{6\times 4}{7\times 5} \\
&=\dfrac{24}{35}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{6}{7}\times \dfrac{3}{2}&=\dfrac{6\times 3}{7\times 2} \\
&=\dfrac{2\times 3\times 3}{7\times 2}\\
&=\dfrac{3\times 3}{7} \\
&=\dfrac{9}{7}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{6}{7}\times \dfrac{7}{4}&=\dfrac{6\times 7}{7\times 4} \\
&=\dfrac{2\times 3}{2\times 2}\\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{6}{7}\times \dfrac{1}{6}&=\dfrac{6\times 1}{7\times 6} \\
&=\dfrac{1}{7}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{6}{7}\times \dfrac{5}{2}&=\dfrac{6\times 5}{7\times 2} \\
&=\dfrac{2\times 3\times 5}{7\times 2}\\
&=\dfrac{3\times 5}{7}\\
&=\dfrac{15}{7}\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 6

Dans une classe de $30$ élèves, $\dfrac{2}{5}$ d’entre eux sont des garçons. Combien y a -t-il de garçons ? Combien y a-t-il de filles ?

$\quad$

Correction Exercice 6

$\begin{align*}\dfrac{2}{5}\times 30&=\dfrac{2\times 30}{5} \\
&=\dfrac{2\times 6\times 5}{5\times 1} \\
&=2\times 6 \\
&=12\end{align*}$

Il y a donc $12$ garçons dans cette classe.

$30-12=18$. II y a $18$ filles dans cette classe.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Un napperon rectangulaire a une largeur de $18$ cm. Sa longueur est les $\dfrac{5}{3}$ de sa largeur. Calculer son aire.

$\quad$

Correction Exercice 7

$\begin{align*} \dfrac{5}{3}\times 18&=\dfrac{5\times 18}{3} \\
&=\dfrac{5\times 6\times 3}{3} \\
&=5\times 6 \\
&30\end{align*}$

Le napperon a une longueur de $30$ cm.

Son aire est donc égale à $18\times 30=540$ cm$^2$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Dans une classe de $5$ième, chaque cours dure $\dfrac{3}{4}$ d’heure.
Combien de temps durent $5$ cours ? Donner la réponse en quarts d’heure puis en heure.

$\quad$

Correction Exercice 8

$\begin{align*} 5\times \dfrac{3}{4}&=\dfrac{5\times 3}{4} \\
&=\dfrac{15}{4}\end{align*}$

$5$ cours durent donc $15$ quarts d’heure c’est-à-dire $3$h et $3$ quarts d’heure ($3h$ et $45$ minutes).

$\quad$

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$\quad$

Exercice 9

J’achète à crédit une moto valant $7~500$ €.
Je paye $\dfrac{8}{15}$ de sa valeur au comptant. Quelle est le montant de la somme empruntée ?

$\quad$

Correction Exercice 9

$\begin{align*} \dfrac{8}{15}\times 7~500 &=\dfrac{8\times 7~500}{15} \\
&=4~000\end{align*}$

Je paye donc $4~000$ euros au comptant.

$7~500-4~000=3~500$. J’ai donc emprunté $3~500$ euros.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 10

Pierre a $264$ €. Il en dépense les $\dfrac{2}{3}$ puis les $\dfrac{3}{4}$ du reste.
Combien a-t-il dépensé ? Combien lui reste-t-il encore ?

$\quad$

Correction Exercice 10

$\begin{align*} \dfrac{2}{3}\times 264&=\dfrac{2\times 264}{3} \\
&=176\end{align*}$

Lors de la première dépense il a utilisé $176$ €.

Il reste donc =264-176=88$ €.

$\begin{align*} \dfrac{3}{4}\times 88&=\dfrac{3\times 88}{4} \\
&=66\end{align*}$

Lors de la seconde dépense il a utilisé $66$ €.

$176+66=242$. Il a dépense $242$ €.

$264-242=22$. Il lui reste $22$ €.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 11

Un rouleau de fil de fer mesure $50$ m. On en a utilisé le quart puis les $\dfrac{2}{5}$ du reste.
Quelle longueur de fil reste-t-il ?

$\quad$

Correction Exercice 11

$\begin{align*} \dfrac{1}{4}\times 50&=\dfrac{1\times 50}{4} \\
&=12,5\end{align*}$

On a donc utilisé $12,5$ m de fil de fer lors de la première utilisation.

Il reste alors $50-12,5=37,5$ m de fil de fer.

$\begin{align*} \dfrac{2}{5}\times 37,5&=\dfrac{2\times 37,5}{5} \\
&=15\end{align*}$

On a donc utilisé $15+12,5=27,5$ m de fil de fer.

Il reste alors $50-27,5=22,5$ m de fil de fer.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 12

Une grand-mère offre un paquet de $80$ bonbons à ses petits enfants. Louis en mange les $\dfrac{3}{8}$, Margot en mange $\dfrac{1}{4}$ et Jean en mange $\dfrac{1}{5}$.

  1. Combien de bonbons mange chaque enfant ?
    $\quad$
  2. Combien reste-t-il de bonbons ?
    $\quad$
  3. Exprimer le reste du paquet de bonbons sous forme de fraction.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice 12

  1. $\dfrac{3}{8}\times 80=30$ : Louis mange $30$ bonbons.
    $\dfrac{1}{4}\times 80=20$ : Margot mange $20$ bonbons.
    $\dfrac{3}{5}\times 80=16$ : Jean mange $16$ bonbons.
    $\quad$
  2. $30+20+16=66$. Ils ont mangé $66$ bonbons.
    $80-66=14$ : il reste donc $14$ bonbons.
    $\quad$
  3. $\quad$
    $\begin{align*} \dfrac{14}{80} &=\dfrac{2\times 7}{2\times 40} \\
    &=\dfrac{7}{40}\end{align*}$
    Le reste représente donc $\dfrac{7}{40}$ du paquet.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 13

Julian et Valentine ont fait un gâteau aux fraises.
Valentine en prend le tiers de la moitié et Julian prend la moitié du tiers du gâteau.
Quelle est la part du chacun ?

$\quad$

Correction Exercice 13

Le tiers de la moitié est égal à :
$\begin{align*}\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}&=\dfrac{1\times 1}{3\times 2} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$

La moitié du tiers est égal à :
$\begin{align*}\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}&=\dfrac{1\times 1}{2\times 3} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$

Valentine et Julian ont tous les deux $\dfrac{1}{6}$ du gâteau.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 14

Dans une serre, les $\dfrac{3}{4}$ des plantes sont des fleurs et les $\dfrac{2}{5}$ des fleurs sont des roses, le quart sont des tulipes, le tiers sont des chrysanthèmes.

Quelle fraction du nombre de plantes représente :

  1. le nombre de roses ;
    $\quad$
  2. le nombre de tulipes ;
    $\quad$
  3. le nombre de chrysanthèmes ?
    $\quad$
Correction Exercice 14

  1. $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{10}$ : les roses représentent $\dfrac{3}{10}$ des plantes.
    $\quad$
  2. $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{16}$ : les tulipes représentent $\dfrac{3}{10}$ des plantes.
    $\quad$
  3. $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$ : les chrysanthèmes représentent $\dfrac{1}{4}$ des plantes.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$