Synthèse

Les fractions

Exercice 1

Compléter : $$\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{\ldots}=\dfrac{\ldots}{20}=\dfrac{42}{\ldots}=\dfrac{\ldots}{80}$$

$\quad$

Correction Exercice 1

$$\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{42}{70}=\dfrac{48}{80}$$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 2

Comment appelle-t-on une fraction qui ne peut plus être simplifiée ?

$\quad$

Correction Exercice 2

On dit que la fraction est irréductible.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 3

Simplifier les fractions suivantes : $$\dfrac{21}{28} \quad;\quad \dfrac{18}{36} \quad;\quad \dfrac{80}{16}$$

$\quad$

Correction Exercice 3

$\begin{align*} \dfrac{21}{28}&=\dfrac{3\times 7}{4\times 7} \\
&=\dfrac{3}{4}\end{align*}$

$\begin{align*} \dfrac{18}{36}&=\dfrac{18\times 1}{18\times 2} \\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$

$\begin{align*}\dfrac{80}{16}&=\dfrac{16\times 5}{16\times 1} \\
&=\dfrac{5}{1} \\
&=5\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 4

Comparer :

$\dfrac{9}{5}$ et $\dfrac{9}{7}$
$\quad$
$\dfrac{8}{5}$ et $\dfrac{5}{8}$
$\quad$
$\dfrac{14}{3}$ et $\dfrac{17}{3}$
$\quad$
$\dfrac{4}{3}$ et $\dfrac{19}{15}$

$\quad$

Correction Exercice 4

$\dfrac{9}{5}>\dfrac{9}{7}$ car $5<7$.
$\quad$
$\dfrac{8}{5}=\dfrac{8\times 8}{5\times 8} =\dfrac{64}{40}$ et $\dfrac{5}{8}=\dfrac{5\times 5}{8\times 5}=\dfrac{25}{40}$
Or $64>25$ donc $\dfrac{8}{5}>\dfrac{5}{8}$
$\quad$
$\dfrac{14}{3}<\dfrac{17}{3}$ car $14<17$.
$\quad$
$\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\times 5}{3\times 5}=\dfrac{20}{15}$ et $\dfrac{19}{15}$
Or $20>19$ donc $\dfrac{4}{3}>\dfrac{19}{15}$.
$\quad$

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$\quad$

Exercice 5

Calculer :

$A=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}$
$\quad$
$B=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}$
$\quad$
$C=1-\dfrac{3}{4}$
$\quad$
$D=\dfrac{24}{100}+\dfrac{26}{100}$
$\quad$
$E=2\times \dfrac{3}{4}$
$\quad$
$F=3\times \dfrac{5}{6}$
$\quad$
$G=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{4}{5}$
$\quad$
$H=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4}$
$\quad$
$I=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{7}{4}$

$\quad$

Correction Exercice 5

$\begin{align*}A&=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3} \\
&=\dfrac{2+1}{3} \\
&=\dfrac{3}{3} \\
&=1\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4} \\
&=\dfrac{1+2}{4} \\
&=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=1-\dfrac{3}{4} \\
&=\dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4} \\
&=\dfrac{4-3}{4} \\
&=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\dfrac{24}{100}+\dfrac{26}{100} \\
&=\dfrac{24+26}{100} \\
&=\dfrac{50}{100} \\
&=\dfrac{50\times 1}{50\times 2} \\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=2\times \dfrac{3}{4}\\
&=\dfrac{2\times 3}{4}\\
&=\dfrac{2\times 3}{2\times 2} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=3\times \dfrac{5}{6} \\
&=\dfrac{3\times 5}{6} \\
&=\dfrac{3\times 5}{3\times 2} \\
&=\dfrac{5}{2} \end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{4}{5} \\
&=\dfrac{3\times 4}{4\times 5} \\
&=\dfrac{3}{5}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4} \\
&=\dfrac{2\times 3}{3\times 4} \\
&=\dfrac{2}{4} \\
&=\dfrac{2\times 1}{2\times 2} \\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}I&=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{7}{4} \\
&=\dfrac{4\times 7}{7\times 4} \\
&=1\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Exercice 6

Ce weekend, Gabin s’est rendu au bord de la mer en voiture. À l’aller, il a utilisé $\dfrac{5}{12}$ de l’essence du réservoir et au retour les $\dfrac{11}{24}$.

Quelle fraction de la quantité d’essence a-t-il utilisée pour ce voyage ?
$\quad$
Quelle fraction de la quantité d’essence reste-t-il dans le réservoir ?

$\quad$

Correction Exercice 6

On a :
$\begin{align*} \dfrac{5}{12}+\dfrac{11}{24}&=\dfrac{10}{24}+\dfrac{11}{24} \\
&=\dfrac{10+11}{24} \\
&=\dfrac{21}{24} \\
&=\dfrac{3\times 7}{3\times 8} \\
&=\dfrac{7}{8}\end{align*}$
Il a donc utilisé $\dfrac{7}{8}$ de l’essence du réservoir.
$\quad$
Par conséquent :
$\begin{align*}1-\dfrac{7}{8}&=\dfrac{8}{8}-\dfrac{7}{8} \\
&=\dfrac{8-7}{8} \\
&=\dfrac{1}{8} \end{align*}$
Il reste donc $\dfrac{1}{8}$ de l’essence du réservoir.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 7

Deux tiers d’une tarte ont été mangés à midi et $\dfrac{1}{9}$ au goûter.
Que reste-t-il pour le dîner ?

$\quad$

Correction Exercice 7

On a :
$\begin{align*} \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9}&=\dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{9} \\
&=\dfrac{7}{9}\end{align*}$

$\dfrac{7}{9}$ de la tarte ont été mangés.

$\begin{align*}1-\dfrac{7}{9}&=\dfrac{9}{9}-\dfrac{7}{9} \\
&=\dfrac{2}{9}\end{align*}$

Il reste donc $\dfrac{2}{9}$ de la tarte pour le dîner.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 8

Lors d’un contrôle, les $\dfrac {4}{5}$ d’une classe de $30$ élèves ont obtenu la moyenne. Parmi les élèves qui ne l’ont pas eue, $\dfrac{1}{3}$ a eu moins de $8$.

Combien d’élèves ont eu la moyenne ? ont eu moins de $8$ ? ont eu entre $8$ et $10$ ?

$\quad$

Correction Exercice 8

Méthode 1
$\begin{align*} \dfrac{4}{5}\times 30&=\dfrac{4\times 30}{5} \\
&=4\times \dfrac{30}{5} \\
&=4\times 6\\
&=24\end{align*}$

Méthode 2
$\begin{align*} \dfrac{4}{5}\times 30&=\dfrac{4\times 30}{5} \\
&=\dfrac{4\times 5\times 6}{5\times 1} \\
&=\dfrac{24}{1} \\
&=24\end{align*}$

$24 élèves ont eu la moyenne.

$30-24=6$ : $6$ élèves n’ont pas eu la moyenne.

$\begin{align*}\dfrac{1}{3}\times 6&=\dfrac{6}{3} \\
&=2\end{align*}$

$2$ élèves ont eu moins de $8$.

$6-2=4$ : $4$ élèves ont eu entre $8$ et $10$.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 9

Dans un collège, $\dfrac{3}{5}$ des élèves sont des filles. Les $\dfrac{2}{3}$ des filles s’habillent en jupe.

Quelle fraction d’élèves portent des jupes ?

$\quad$

Correction Exercice 9

$\begin{align*}\dfrac{3}{5}\times \dfrac{2}{3}&=\dfrac{3\times 2}{5\times 3} \\
&=\dfrac{2}{5}\end{align*}$

$\dfrac{2}{5}$ des élèves portent des jupes.

$\quad$

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$\quad$

Exercice 10

Dans une classe de $30$ élèves, $\dfrac{2}{3}$ des élèves pratiquent le football, $\dfrac{1}{6}$ des élèves pratiquent l’athlétisme, $\dfrac{3}{5}$ des élèves pratiquent la natation.

Compléter le tableau suivant : $$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Sport}&\textbf{Nombre} \\
\hline
\textbf{Football}& \\
\hline
\textbf{Athlétisme}& \\
\hline
\textbf{Natation}& \\
\hline
\textbf{Total}& \\
\hline
\end{array}$$

Ce résultat est-il possible ? Pourquoi ?

$\quad$

Correction Exercice 10

$\begin{align*} \dfrac{2}{3}\times 30&=\dfrac{2\times 30}{3} \\
&=\dfrac{2\times 3\times 10}{3} \\
&=\dfrac{20}{1} \\
&=20\end{align*}$

$\begin{align*} \dfrac{1}{6}\times 30&=\dfrac{1\times 30}{6} \\
&=\dfrac{30}{6} \\
&=5\end{align*}$

$\begin{align*} \dfrac{3}{5}\times 30&=\dfrac{3\times 30}{5} \\
&=\dfrac{3\times 6\times 5}{5} \\
&=\dfrac{18}{1} \\
&=18\end{align*}$

Ainsi:

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textbf{Sport}&\textbf{Nombre} \\
\hline
\textbf{Football}& 20\\
\hline
\textbf{Athlétisme}& 5\\
\hline
\textbf{Natation}& 18\\
\hline
\textbf{Total}& 43\\
\hline
\end{array}$$

Des élèves pratiquent plusieurs sports. C’est pourquoi le total du tableau est supérieur à $30$.

$\quad$

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$\quad$