Exercice 4

Exercice 4

Dans chacun des cas, déterminer, si c’est possible, par le calcul , le ou les antécédents des différents réels indiqués par les fonctions dont une expression algébrique est fournie.

  1. $f(x)= -2x$ $\qquad$ antécédents de $2$; $-1$; $0$
    $\quad$
  2. $f(x) = 5x + 1$ $\quad$ antécédents de $2$; $-1$; $0$
    $\quad$
  3. $f(x) = 2x^2 +1$ $\quad$ antécédents de $2$; $0$
    $\quad$
  4. $f(x) = \dfrac{2x + 1}{3x – 2}$ pour $x \ne \dfrac{2}{3}$ $\quad$ antécédents de $2$; $-1$; $0$
    $\quad$
  5. $f(x) = x^2 + 4x + 5$ $\quad$ antécédents de $5$; $1$

Correction

  1. On doit résoudre des équations de la forme $-2x = a$.
    $\quad$
    $-2x = 2$ $\Leftrightarrow x = -\dfrac{2}{2} = -1$.
    L’antécédent de $2$ est $-1$.
    $\quad$
    $-2x=-1$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$.
    L’antécédent de $-1$ est $0,5$.
    $\quad$
    $-2x=0$ $\Leftrightarrow x= 0$.
    L’antécédent de $0$ est $0$.
    $\quad$
  2. On doit résoudre des équations de la forme $5x + 1 = 0$
    $\quad$
    $5x+1 = 2$ $\Leftrightarrow 5x = 1$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{5}$
    L’antécédent de $2$ est $\dfrac{1}{5}$.
    $\quad$
    $5x+1 = -1$ $\Leftrightarrow 5x = -2$ $\Leftrightarrow x = – \dfrac{2}{5}$.
    L’antécédent de $-1$ est $-\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
    $5x+1 = 0$ $\Leftrightarrow 5x = -1$ $\Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{5}$.
    L’antécédent de $0$ est $-\dfrac{1}{5}$.
    $\quad$
  3. On doit résoudre des équations de la forme $2x^2 + 1 = a$.
    $\quad$
    $2x^2+1 = 2$ $\Leftrightarrow 2x^2 = 1$ $ \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = \sqrt{\dfrac{1}{2}}$ ou $x=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
    $2$ possède deux antécédents : $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ et $-\sqrt{\dfrac{1}{2}}$.
    $\quad$
    $2x^2+1 = 0$ $\Leftrightarrow 2x^2=-1$ $\Leftrightarrow x^2 = – \dfrac{1}{2}$. C’est impossible car un carré ne peut pas être négatif.
    $0$ n’a pas d’antécédent.
    $\quad$
  4. On doit résoudre des équations de la forme $\dfrac{2x + 1}{3x – 2} = a$.
    $\quad$
    $\dfrac{2x + 1}{3x – 2} = 2$ $\Leftrightarrow 2x + 1 = 2(3x – 2)$ $\Leftrightarrow 2x + 1= 6x – 4$ $\Leftrightarrow 5 = 4x$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}$.
    L’antécédent de $2$ est $\dfrac{5}{4}$.
    $\quad$
    $\dfrac{2x + 1}{3x – 2} = -1$ $\Leftrightarrow 2x + 1 = -(3x – 2)$ $\Leftrightarrow 2x + 1 = -3x + 2$ $\Leftrightarrow 5x = 1$ $\leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}$.
    L’antécédent de $-1$ est $\dfrac{1}{5}$.
    $\quad$
    $\dfrac{2x + 1}{3x – 2} = 0$ $\Leftrightarrow 2x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2x = -1$ $\Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{2}$.
    L’antécédent de $0$ est $-\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  5. On doit résoudre des équations de la forme $x^2 + 4x + 5 = a$
    $\quad$
    $x^2 + 4x + 5 = 5$ $\Leftrightarrow x^2 + 4x = 0$ $\Leftrightarrow x(x + 4) = 0$ $\Leftrightarrow x=0$ ou $x=-4$.
    Les antécédents de $5$ sont $0$ et $-4$.
    $\quad$
    $x^2 + 4x + 5 = 1$ $\Leftrightarrow x^2 + 4x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow (x+2)^2 = 0$ $\Leftrightarrow x = -2$.
    L’antécédent de $1$ est $-2$.