Exercice 1    6 points

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l’hebdomadaire littéraire “La lecture”. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et elle demande ou non l’avis du bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l’hebdomadaire “La lecture”.
Son souhait de demander un avis change d’une semaine sur l’autre selon le plaisir qu’elle a eu à lire le livre et selon la pertinence du conseil donnée par le bibliothécaire la semaine précédente.
La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demander un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis la $n$-ième semaine. On a ainsi $a_1=0$.
On admet que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a $a_{n+1}=0,5a_n+0,4$.

1. Calculer la probabilité $a_2$ que Claudine demande un avis la deuxième semaine.
   $\quad$
2. Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=a_n-0,8$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$. Préciser son premier terme.
   $\quad$
   b. Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : $a_n=0,8-0,7\times 0,7^{n-1}$.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter ce résultat.
   $\quad$
3. On considère l’algorithme suivant :
   Variables :
   $\quad$ $A$ est un réel
   $\quad$ $N$ est un entier naturel
   $\quad$ $L$ est un réel strictement compris entre $0,1$ et $0,8$.
   Initialisation :
   $\quad$ $A$ prend la valeur $0,1$
   $\quad$ $N$ prend la valeur $1$
   Traitement :
   $\quad$ Tant que $A \pp L$
   $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
   $\qquad$ $A$ prend la valeur $0,5\times A+0,4$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $N$
   $\quad$
   a. Pour la valeur $L=0,7$, recopier et compléter le tableau suivant en ajoutant autant de colonnes que nécessaire :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de } N&1&2&\ldots& \\
   \hline
   \text{Valeur de } A&0,1&&\ldots&\\
   \hline
   \text{Condition } A\pp L&\text{vraie}&\phantom{\text{vraie}}&\ldots&\text{vraie} \\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. En déduire l’affichage de $N$ obtenu en sortie d’algorithme quand la valeur de $L$ est $0,7$.
   $\quad$
   c. Dans le contexte de l’exercice, expliquer comment on peut interpréter le nombre $N$ obtenu en sortie de l’algorithme quand le nombre $L$ est compris strictement entre $0,1$ et $0,8$.
   $\quad$
   d. Proposer une modification de l’algorithme pour qu’il affiche à l’écran les valeurs successives de $N$ et des probabilités que Claudine demande un avis $(N\pg 2)$.
   $\quad$
4. Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis est supérieur à $0,799$.
   $\quad$

Exercice 2    6 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité de mathématiques et candidats de L.

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.
Dans un pays, il y a $2\%$ de la population contaminée par un virus.
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

• La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
• La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).

On fait passe un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $V$ l’événement “la personne est contaminée par le virus” et $T$ l’événement “le test est positif”.
$\conj{V}$ et $\conj{T}$ désignent respectivement les événements contraires de $V$ et de $T$.

1. a. Préciser les valeurs des probabilités $P(V)$, $P_V(T)$ et $P_{\conj{V}}\left(\conj{T}\right)$.
   Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
   $\quad$
   b. En déduire la probabilité de l’événement $V\cap T$. Interpréter cette probabilité.
   $\quad$
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est $0,049~2$.
   $\quad$
3. a. Justifier par un calcul la phrase :
   “Si le test est positif, il n’y a qu’environ $40\%$ de “chances” que la personne soit contaminée”.
   $\quad$
   b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
   $\quad$
4. On choisit $10$ personnes de la population au hasard, indépendamment les unes des autres.
   a. Calculer la probabilité qu’il y ait exactement $8$ personnes contaminées parmi les $10$.
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins trois personnes contaminées parmi les $10$.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité mathématiques

Les graphes dont il est question dans cet exercice, dans les deux parties représentent les places de deux tournées différentes d’une troupe de théâtre. Les sommets représentent les différentes villes où ont lieu les représentations et les arêtes représentent les autoroutes reliant ces villes.

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A :

On a ci-dessous la matrice d’adjacence d’un graphe non orienté représentant le plan d’une tournée de la troupe. On donne également les matrices $M^2$ et $M^3$.

$M=\begin{pmatrix} 0&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&0\\1&0&1&0&0&1\\0&1&1&0&0&1\\0&0&0&1&1&0\end{pmatrix}$ $\quad$ $M^2=\begin{pmatrix}3&1&2&1&2&1\\1&3&2&2&1&1\\2&2&4&1&1&2\\1&2&1&3&2&0\\2&1&1&2&3&0\\1&1&2&0&0&2\end{pmatrix}$ $\quad$ $M^3=\begin{pmatrix}4&7&7&6&4&3\\7&4&7&4&6&3\\7&7&6&8&8&2\\6&4&8&2&3&5\\4&6&8&3&2&5\\3&3&2&5&5&0\end{pmatrix}$

1. Construire le graphe associé. On nommera les sommets dans l’ordre alphabétique.
   $\quad$
2. a. Sans calculatrice, en utilisant les matrices, déterminer, le coefficient de la deuxième ligne et de la troisième colonne de $M^5$.
   $\quad$
   b. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Partie B :

1. Ci-dessous, on a représenté le plan d’une autre tournée de la troupe.
   
   a. Montrer qu’il est possible d’organiser la tournée en passant au moins une fois par chaque ville tout en empruntant une et une seule fois chaque tronçon d’autoroute.
   $\quad$
   b. Entre quelles villes faudrait-il construire une autoroute pour pouvoir démarrer la tournée de n’importe quelle ville et passer au moins une fois par chaque ville tout en empruntant une et une seule fois chaque tronçon d’autoroute?
   Expliquer la réponse.
   $\quad$
2. Des contraintes de calendrier imposent en fait une représentation dans la ville $F$ immédiatement après une représentation dans la ville $A$. Le graphe est complété par les longueurs en kilomètres de chaque tronçon.
   
   Déterminer en utilisant un algorithme dont on précisera le nom le trajet autoroutier le plus court (en kilomètres) pour aller de $A$ à $F$. Donner la longueur de ce trajet.
   $\quad$

 

Exercice 3     6 points

L’évolution de la population d’une station balnéaire pour l’été 2015 a été modélisée par une fonction $f$, définie sur l’intervalle $[0;70]$, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1$^{\text{er}}$ juillet, $f(x)$ désigne la population en milliers d’habitants.
Ainsi $x=30$ correspond au 31 juillet et $f(30)$ représente la population qu’il est prévu d’accueillir le 31 juillet.
On estime qu’un habitant utilisera chaque jour entre $45$ et $55$ litres d’eau par jour.

Partie A : Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique.

1. a. Estimer le nombre maximal d’habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l’été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint.
   $\quad$
   b. La commune est en capacité de fournir $600~000$ litres d’eau par jour. Est-ce suffisant?
   $\quad$
2. Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d’habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à $80\%$ du nombre maximal prévu.
   $\quad$

Partie B :

On admet que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0;70]$ par : $f(x)=2+0,2x\e^{-0,025x+1}$.

1. Calculer $f(9)$ puis vérifier que la consommation d’eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de $324~890$ litres.
   $\quad$
2. a. Démontrer que $f'(x)=(0,2-0,005x)\e^{-0,025x+1}$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
   $\quad$
   b. Étudier le signe de $f’$ sur l’intervalle $[0;70]$.
   $\quad$
   c. En déduire la date de la consommation maximale.
   $\quad$

Partie C :

On note $g$ la fonction définie sur $[0;70]$ par $g(x)=55\times f(x)=110+11x\e^{-0,025x+1}$.
Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1$^{\text{er}}$ juillet, $g(x)$ représente la consommation maximale d’eau prévue ce jour là et exprimée en $\text{m}^3$.

Soit la fonction $G$ définie sur l’intervalle $[0;70]$ par $G(x)=110x-(440x+17~600)\e^{-0,025x+1}$.
On admet que $G$ est une primitive de la fonction $g$.
La somme $S=g(10)+g(11)+g(12)+\ldots+g(20)$ représente la consommation maximale d’eau du 10$^{\text{e}}$ au 20$^{\text{e}}$ jour exprimée en $\text{m}^3$.

1. En illustrant sur la courbe $C_g$ de l’annexe à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d’aires de la somme $S$.
   $\quad$
2. En déduire une valeur approximative de cette quantité d’eau consommée du 10$^{\text{e}}$ au 20$^{\text{e}}$ jour.
   $\quad$

Exercice 4    3 points

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(10x-5)\e^{-x}$, définie et dérivable sur l’intervalle $[0;6]$.
La courbe ci-dessous est la courbe représentative de cette fonction $f$.
$ABCD$ est un rectangle, le point $D$ a pour coordonnées $(2;0)$ et le point $C$ a pour coordonnées $(4;0)$.

1. Montrer que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;6]$ par $F(x)=(-10x-5)\e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.
   $\quad$
2. On souhaiterait que l’aire du rectangle $ABCD$ soit égale à l’aire du domaine grisé sur la figure. Déterminer à $0,01$ près la hauteur $AD$ de ce rectangle.
   La réponse devra être soigneusement justifiée. Toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
   $\quad$

Exercice 1

1. $a_2=0,5a_1+0,4=0,5\times 0,1+0,4=0,45$
   $\quad$
2. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-0,8 \\
   &=0,5a_n+0,4-0,8 \\
   &=0,5a_n-0,4 \\
   &=0,5\left(v_n+0,8\right)-0,4\\
   &=0,5v_n+0,4-0,4\\
   &=0,5v_n
   \end{align*}$
   Ainsi la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_1=0,1-0,8=-0,7$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a donc $v_n=-0,7\times 0,5^{n-1}$.
   Or $a_n=v_n+0,8=0,8-0,7\times 0,5^{n-1}$.
   $\quad$
   c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^{n-1}=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$.
   $\quad$
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,8$.
   La probabilité que Claudine demande un avis au bout d’un grand nombre de semaine est de $0,8$.
   $\quad$
3. a.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de } N&1&2&3&4\\
   \hline
   \text{Valeur de } A&0,1&0,45&0,625&0,7125\\
   \hline
   \text{Condition } A \ge L & \text{vraie}& \text{vraie}& \text{vraie}& \text{faux} \\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. L’algorithme affichera donc $4$.
   $\quad$
   c. Le nombre $N$ affiché correspond au nombre de semaines nécessaires pour que la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieur à $L$.
   $\quad$
   d. On peut utiliser l’algorithme suivant :
   On considère l’algorithme suivant :
   Variables :
   $\quad$ $A$ est un réel
   $\quad$ $N$ est un entier naturel
   $\quad$ $L$ est un réel strictement compris entre $0,1$ et $0,8$.
   Initialisation :
   $\quad$ $A$ prend la valeur $0,1$
   $\quad$ $N$ prend la valeur $1$
   $\quad$ Afficher $N$
   $\quad$ Afficher $A$
   Traitement :
   $\quad$ Tant que $A \pp L$
   $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
   $\qquad$ $A$ prend la valeur $0,5\times A+0,4$
   $\quad$ Afficher $N$
   $\quad$ Afficher $A$
   $\quad$ Fin Tant que
   $\quad$
4. $\bullet$ Si la fonction $\ln$ a été vue :
   On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que :
   $\begin{align*} a_n > 0,799 &\ssi 0,8-0,7\times 0,5^{n-1} > 0,799 \\\\
   &\ssi -0,7\times 0,5^{n-1} > -0,001 \\
   &\ssi 0,5^{n-1} < \dfrac{1}{700} \\
   &\ssi (n-1)\ln 0,5 < \ln \dfrac{1}{700} \\
   &\ssi (n-1)\ln 0,5 < -\ln 700\\
   &\ssi n-1 > \dfrac{-\ln 700}{\ln 0,5} \\
   &\ssi n > 1 +\dfrac{-\ln 700}{\ln 0,5} \\
   &\ssi n \ge 11
   \end{align*}$
   $\bullet$ Si la fonction $\ln$ n’a pas été vue :
   On utilise la calculatrice :
   On trouve $a_{10} \approx 0,772$ et $a_{11}\approx 0,556$.
   $\quad$
   C’est donc au bout de $11$ semaines que la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieur à $0,799$.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité de mathématiques et candidats de L.

1. a. On a $P(V)=0,02$, $P_V(T)=0,99$ et $P_{\conj{V}}\left(\conj{T}\right)=0,97$.
   $\quad$
   
   b. D’après l’arbre de probabilités on a :
   $P(V\cap T)=0,02\times 0,99 = 0,019~8$.
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(T)&=P(T\cap V)+P\left(T\cap \conj{V}\right) \\
   &=0,019~8+0,98\times 0,03 \\
   &=0,049~2
   \end{align*}$
   $\quad$
3. a. On veut calculer
   $\begin{align*} P_T(V)&=\dfrac{P(T\cap V)}{P(T)} \\
   &=\dfrac{0,019~8}{0,049~2} \\
   &\approx 0,402~4
   \end{align*}$
   Si le test est positif, il n’y a qu’environ $40\%$ de “chances” que la personne soit contaminée.
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{\conj{T}}\left(\conj{V}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{T}\cap \conj{V}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
   &=\dfrac{0,98\times 0,97}{1-0,049~2} \\
   &\approx 0,999~8
   \end{align*}$
   $\quad$
4. a. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de personnes contaminées.
   Il y a $10$ tirages identiques, aléatoires et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues $V$ et $\conj{V}$. De plus $P(V)=0,02$.
   La variable aléatoire suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,02$.
   On a alors $P(X=8)=\displaystyle \binom{10}{8} \times 0,02^8\times 0,98^2 \approx 0$.
   $\quad$
   b. $P(X \pg 3)=1-P(X\pp 2) \approx 0,984~7$.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité de mathématiques et candidats de L.

Partie A :

1. On obtient le graphe suivant :
   
2. a. On a $M^5=M^2\times M^3$
   Le coefficient cherché est donc :
   $1\times 7+3\times 7+2\times 6+2\times 8+1\times 8+1 \times 2=66$
   $\quad$
   b. Cela signifie qu’il existe $66$ chemins allant de la ville $B$ à la ville $C$ en $5$ étapes.
   $\quad$

Partie B

1. a. Déterminons le degré des sommets :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G&H\\
   \hline
   \text{Degré}&2&3&4&4&3&2&2&4\\
   \hline
   \end{array}$
   Ce graphe connexe possède exactement $2$ sommets de degrés impairs. Il existe donc une chaîne eulérienne.
   Il est par conséquent possible d’organiser la tournée en passant au mois une fois par chaque ville tout en empruntant une et une seule fois chaque tronçon d’autoroute.
   $\quad$
   b. Les sommets $B$ et $E$ sont de degré impair.
   On peut donc utiliser l’algorithme d’Euler avec ces deux sommets.
   On obtient la chaîne eulérienne :
   $B-A-C-B-D-F-H-D-C-E-H-G-E$
   $\quad$
2. On va utiliser l’algorithme de Dijkstra.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&C&D&E&F&G&H&\text{sommet}\\
   \hline
   0&&&&&&&&A\\
   \hline
   &300(A)&500(A)&&&&&&B\\
   \hline
   &&500(A)&700(D)&&&&&C\\
   \hline
   &&&600(C)&700(C)&&&&D\\
   \hline
   &&&&700(C)&1~300(D)&&1~300(D)&E\\
   \hline
   &&&&&1~300(D)&900(E)&1~000(E)&G\\
   \hline
   &&&&&1~300(D)&&1~000(E)&H\\
   \hline
   &&&&&1~200(G)&&&F\\
   \hline
   \end{array}$
   Le trajet le plus court pour aller de $A$ à $F$ est donc : $A-C-E-G-F$. Il mesure $1~200$ kilomètres.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. a. Le maximum semble être atteint sur la courbe pour $x=40$ et $f(40) \approx  10$.
   Il y a donc au maximum $10~000$ habitants dans la station balnéaire durant cet été. Il est atteint le $10$ août.
   $\quad$
   b. Au maximum, ils consommeront $55 \times 10~000=550~000$ litres d’eau.
   La commune sera donc en capacité de fournir la quantité d’eau nécessaire.
   $\quad$
2. On cherche donc le nombre de jour pour lesquels $f(x)\ge 8$.
   Cela se produit $53$ jours.
   $\quad$

Partie B

1. $f(9) = 2 + 0,2\times 9\e^{-0,025\times 9 + 1} = 2+1,8\e^{0,775}$.
   La consommation sera donc au plus de $55f(9)\times 1~000 \approx 324~888 < 324~890$.
   $\quad$
2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;70]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*}f'(x) &= 0,2\e^{-0,025x+1}+0,2x\times (-0,025)\e^{-0,025x+1} \\
   &=(0,2-0,005x)\e^{-0,025x+1}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $0,2-0,005x$.
   $\begin{align*} 0,2-0,005x \ge 0 &\ssi -0,005x \ge -0,2 \\
   &\ssi x \le \dfrac{-0,2}{-0,005} \\
   &\ssi x \le 40
   \end{align*}$
   Ainsi $f'(x) \ge0$ sur $[0;40]$ et $f'(x) \le 0$ sur $[40;70]$.
   $\quad$
   c. La consommation maximale a donc lieu le $40^{\text{ème}}$ jour soit le $10$ août.
   $\quad$

Partie C

1. La somme $S$ correspond à la somme des aires des rectangles de hauteur $g(i)$ et de largeur $1$ pour $i$ allant de $10$ à $20$.
   
   $\quad$
2. La fonction $g$ est continue et positive sur $[10;20]$
   Par conséquent, la quantité cherchée correspond à :
   $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_{10}^{21} g(x)\mathrm{dx} \\\\
   &= G(21)-G(10) \\\\
   &=2~310-26~840\e^{0,475}-\left(1~100-22~000\e^{0,75}\right) \\\\
   &\approx 4~625
   \end{align*}$
   $4~625$ m$^3$ d’eau environ ont été consommé du $10^{\e}$ eu $20^{\e}$ jour.
   $\quad$

Exercice 4

1. La fonction $F$ est dérivable sur l’intervalle $[0;6]$ par produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} F'(x)&=-10\e^{-x}-(-10x-5)\e^{-x} \\
   &=(-10+10x+5)\e^{-x} \\
   &=(10x-5)\e^{-x} \\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   La fonction $F$ est donc bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;6]$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;4]$ donc l’aire du domaine grisé est égale à :
   $\begin{align*} \mathscr{A}_1&=\displaystyle \int_2^4 f(x)\dx \\
   &=F(4)-F(2) \\
   &=-45\e^{-4}+25\e^{-2}
   \end{align*}$
   L’aire du rectangle $ABCD$ est égale à $\mathscr{A}_2=(4-2)AD=2AD$
   On veut donc que :
   $2AD=25\e^{-2}-45\e^{-4} \ssi AD = \dfrac{25\e^{-2}-45\e^{-4}}{2}$
   Soit $AD \approx 1,28$.
   $\quad$