Bac Blanc ES/L – Février 2018

Bac Blanc – Mathématiques

Février 2018 – Série ES/L

Énoncé

Exercice 1    5 points

La courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ;10]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$, et $f^{\prime\prime}$ sa dérivée seconde.
La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses.
Le domaine $S$ grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe des abscisses, la droite d’équation $x = 2$ et la droite d’équation $x = 4$.

Partie A

  1. Déterminer, en la justifiant, la valeur de $f'(-2)$.
    $\quad$
  2.  Par une lecture graphique, quel semble être le signe de $f'(4)$ ?
    $\quad$
  3. Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de $\ds \int_2^4 f(x)\dx$.
    $\quad$

Partie B

La fonction $f$ précédente est définie sur l’intervalle $[-4;10]$ par $f (x) = (x +4)\e^{-0,5x}$.

  1. Montrer que $f'(x) = (-0,5x-1)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$.
    $\quad$
  3. Montrer que sur l’intervalle $[1;6]$ l’équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution.
    On notera $\alpha$ cette unique solution.
    $\quad$
  4. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction $F$ définie par $F(x) = (-2x-12)\e^{-0,5x}$ sur $\R$ ?
    Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. En déduire la valeur exacte de $S$.
    $\quad$

Exercice 2    5 points

Les parties A et B sont indépendantes

Notations :
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième

Une agence Pôle Emploi étudie l’ensemble des demandeurs d’emploi selon deux critères, le sexe et l’expérience professionnelle.
Cette étude montre que :

  • $52\%$ des demandeurs d’emploi sont des femmes et $48\%$ sont des hommes ;
  • $18\%$ des demandeurs d’emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience ;
  • parmi les hommes qui sont demandeurs d’emploi, on sait que $17,5\%$ sont sans expérience.

Partie A

On prélève au hasard la fiche d’un demandeur d’emploi de cette agence. On note :

  • $S$ : l’événement “le demandeur d’emploi est sans expérience” ;
  • $F$ : l’événement “le demandeur d’emploi est une femme”.
  1. Préciser $p(S)$ et $p_{\conj{F}}(S)$.
    $\quad$
  2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.

    $\quad$
  3. Démontrer que $p\left(\conj{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  4. La fiche prélevée est celle d’un demandeur d’emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.
    $\quad$
  5. Sachant que la fiche prélevée est celle d’une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans expérience.
    $\quad$

Partie B

La responsable de l’agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d’emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d’emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins deux fiches de demandeur d’emploi sans expérience.
$\quad$

 

Exercice 3    5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Depuis le 1er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre service. La société Bicycl’Aime est chargée de l’exploitation et de l’entretien du parc de vélos. La commune disposait de $200$ vélos au 1er janvier 2015. La société estime que, chaque année, $15\%$ des vélos sont retirés de la circulation à cause de dégradations et que $42$ nouveaux vélos sont mis en service.
On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de vélos de cette commune au 1er janvier de l’année 2015 $+ n$

  1. Déterminer le nombre de vélos au 1er janvier 2016.
    $\quad$
  2. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$est définie par $u_0=200$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=0,85u_n+42$.
    $\quad$
  3. On donne l’algorithme suivant :
    Variables:
    $\quad$ $N$ entier
    $\quad$ $U$ réel
    Initialisation :
    $\quad$ $N$ prend la valeur $0$
    $\quad$ $U$ prend la valeur $200$
    Traitement :
    $\quad$ Tant que $N<4$
    $\qquad$ $U$ prend la valeur $0,85\times U+42$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\qquad$ Fin tant que
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $U$
    $\quad$
    Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l’unité. Quel nombre obtient-on à l’arrêt de l’algorithme ?
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U & 200 & &&&\\
    \hline
    N&0&1&2&3&4 \\
    \hline
    \text{Condition } N < 4 & \text{Vrai}&&&& \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Interpréter la valeur du nombre $U$ obtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-280$. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=-80$.
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  7. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-80\times 0,85^n+280$.
    $\quad$
  8. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter ce résultat.
    $\quad$
  9. La société Bicycl’Aime facture chaque année à la commune $300$ € par vélo en circulation au 1er janvier. Déterminer le coût total pour la période du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun des termes utilisés de la suite $\left(u_n\right)$ étant exprimé avec un nombre entier.
    $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Étude d’un graphe.

On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous.

  1. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est complet.
    $\quad$
  2. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ est connexe.
    $\quad$
  3. Déterminer en justifiant si le graphe $\Gamma$ admet un cycle ou une chaîne eulérienne.
    $\quad$
  4. Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ .
    $\quad$
  5. On donne $M^2=\begin{pmatrix}
    4&2&2&1&2&2&2&1&1\\
    2&5&1&3&1&1&1&2&0\\
    2&1&4&2&1&1&1&2&2\\
    1&3&2&4&1&1&0&1&0\\
    2&1&1&1&2&2&0&0&0\\
    2&1&1&1&2&2&0&0&0\\
    2&1&1&0&0&0&3&2&1\\
    1&2&2&1&0&0&2&4&0\\
    1&0&2&0&0&0&1&1&2\\ \end{pmatrix}$
    $\quad$
    Montrer, par le calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice $M^3$ est égal à $3$.
    $\quad$

Partie B : Applications

Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s’aidant de la partie A.

On donne ci-dessous le plan simplifié d’un lycée.

  1. Le graphe $\Gamma$ donné en partie A modélise cette situation. Recopier et compléter le tableau suivant :
    Sommet du graphe $\mathscr{G}$ A B C D E F G H I
    Lieu correspondant dans le lycée

    $\quad$

  2. Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment I. A la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez-vous avec ses parents. Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l’élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins.
    $\quad$
  3. Le lycée organise une journée portes-ouvertes. Déterminer, en justifiant, s’il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux. Si oui, déterminer ce chemin.
    $\quad$

Exercice 4    5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. L’aire hachurée sur le graphique ci-dessous est :
    a. $\e-\dfrac{1}{2}$
    b. $\e-\dfrac{3}{2}$
    c. $\e-1$
    d. $\e+\dfrac{1}{2}$

    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2$ sur $[1;3]$ est :
    a. $3$
    b. $\dfrac{13}{3}$
    c. $\dfrac{26}{3}$
    d. $\dfrac{4}{3}$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[-10;10]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

    On note $I=\ds \int_{-10}^{-5} g(x)\dx$. On peut affirmer que :
    a. $-10\pp I \pp -5$
    b. $2\pp I \pp 7$
    c. $10\pp I \pp 35$
    d. $4\pp I \pp 8$
  4. $A$ et $B$ sont deux événement d’une expérience aléatoire. On note $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$. On sait que $p(A)=0,6$ ; $p(B)=0,5$ et $p(A\cap B)=0,42$. On peut affirmer que :
    a. $p_A(B)=0,3$
    b. $p(A\cup B)=0,58$
    c. $p_B(A)=0,84$
    d. $p\left(A\cap \conj{B}\right)=0,28$
    $\quad$
  5. Si le prix d’un produit avait augmenté de $3,4\%$ par an durant $6$ ans, le taux global d’augmentation pour ces six années aurait été de :
    a. $20,4\%$
    b. $23,1\%$
    c. $22,21\%$
    d. $24,21\%$
    $\quad$

 

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $-2$ est parallèle à l’axe des abscisses.
    Par conséquent $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. Graphiquement, $f'(4)$ semble être négatif (fonction décroissante sur l’intervalle $[-2;10]$).
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[2;4]$. Calculer $\ds\int_2^4 f(x)\dx$ revient donc à calculer l’aire du domaine grisé.
    L’aire $\mathscr{A}$ du domaine grisé peut être encadré par l’aire d’un trapèze (grande base =$2$, petite base=$1$, hauteur=$2$) et l’aire d’un carré de côté $2$.
    Donc $\dfrac{(2+1)\times 2}{2} <\mathscr{A}<2^2$ soit $3<\mathscr{A}<4$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f$ est dérivable sur $[-4;10]$ comme composée et produit de fonctions dérivables.
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-0,5x}-0,5(x+4)\e^{-0,5x} \\
    &=(1-0,5x-2)\e^{-0,5x} \\
    &=(-0,5x-1)\e^{-0,5x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-0,5x-1$
    $-0,5x-1=0\ssi -0,5x=1\ssi x=-2$
    $-0,5x-1>0\ssi -0,5x>1\ssi x<-2$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[-4;-2]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[-2;10]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$.
    $f(1)=5\e^{-0,5}\approx 3,03>1,5$ et $f(6)=10\e^{-3}\approx 0,50<1,5$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;6]$.
    $\quad$
  4. À l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha\approx 3,11$.
    $\quad$
  5. Pour montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-4;10]$ on montre que $F'(x)=f(x)$.
    $\begin{align*} F'(x)&=-2\e^{-0,5x}+(-2x-12)\times (-0,5\e^{-0,5x} \\
    &=(-2+x+6)\e^{-0,5x} \\
    &=(x+4)\e^{-0,5x}\\
    &=f(x)
    \end{align*}$
    La fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} S&=\displaystyle \int_2^4 f(x)\dx \\
    &=F(4)-F(2) \\
    &=-20\e^{-2}+16\e^{-1} \\
    &\approx 3,18 \text{ u.a}
    \end{align*}$
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. D’après l’énoncé on a $p(S)=0,18$ et $p_{\conj{F}}(S)=0,175$.
    $\quad$
  2. $\quad$
  3. D’après l’arbre précédent on a :
    $p\left(\conj{F}\cap S\right)=0,48\times 0,175=0,084$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*}p_S\left(\conj{F}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{F}\cap S\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,084}{0,18} \\
    &\approx 0,467
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)=p(F\cap S)+p\left(\conj{F}\cap S\right) &\ssi 0,18=p(F\cap S)+0,084 \\
    &\ssi p(F\cap S)=0,096
    \end{align*}$
    On veut déterminer :
    $\begin{align*} p_F(S)&=\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)} \\
    &=\dfrac{0,096}{0,52}\\
    &\approx 0,185
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie B

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fiches de demandeur d’emploi sans expérience.

On répète $5$ fois une expérience aléatoire, avec remise. Les expériences sont indépendantes les unes des autres et à chaque tirage il y a deux issues : $S$ et $\conj{S}$. On sait que $p(S)=0,18$.

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,18$.

On veut calculer :
$\begin{align*}P(X\pg 2)&=1-P(X=1)-P(X=0) \\
&\approx 0,222
\end{align*}$

La probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience est $0,629$.
$\quad$

Ex 3 obl

Exercice 3

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

  1. Au $1^{\text{er}}$ janvier 2016, il y aura $200 \times 0,85 + 42 = 212$ vélos.
    $\quad$
  2. Chaque année $85\%$ des vélos restent en service. Cela représente donc $0,85u_n$.
    On rajoute $42$ nouveaux vélos chaque année.
    On obtient ainsi la relation de récurrence $u_{n+1} = 0,85u_n + 42$.
    $\quad$
  3. a. 
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    U & 200 & 212 &222&231&238\\
    \hline
    N&0&1&2&3&4 \\
    \hline
    \text{Condition } N < 4 & \text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Vrai}&\text{Faux} \\
    \hline
    \end{array}$$
    L’algorithme affiche donc $238$.
    b. L’algorithme affiche donc $u_4$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} v_{n+1} & =u_{n+1} – 280 \\\\
    &=0,85u_n + 42 – 280 \\\\
    &= 0,85u_n – 238 \\\\
    &= 0,85u_n – 0,85 \times 280 \\\\
    &=0,85(u_n – 280) \\\\
    &=0,85v_n
    \end{align*}$
    La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,85$.
    De plus son premier terme est $v_0 = u_0 – 280 = 200 – 280 = -80$.
    $\quad$
    b. Ainsi $v_n = -80 \times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. On a $u_n = v_n + 280 = -80 \times 0,85^n+ 280$
    $\quad$
    d. Puisque $0 < 0,85 <1$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 280$.
    Au bout d’un grand nombre d’année, le nombre de vélo en circulation se stabilisera à $280$.
    $\quad$
  5. On doit donc calculer le nombre de vélo mis en service sur les cinq années :
    $\begin{align*} S &= u_0+u_1+u_2+u_3+u_4 \\\\
    &= 200 + 212 +222+231+238 \\\\
    & = 1~103
    \end{align*}$
    Le coût total est donc de $1~103 \times 300 = 330~900$ euros sur cette période.
    $\quad$

Ex 3 Spé

Exercice 3

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Etude d’un graphe

  1. Les sommets A et E, par exemple, ne sont pas adjacents. Le graphe $\Gamma$ n’est donc pas complet.
    $\quad$
  2. On peut toujours passer d’un sommet à un autre par une chaîne : le graphe $\mathscr{G}$ est donc connexe.
    $\quad$
  3. $\quad$
    sommet A B C D E F G H I
    degré $4$ $5$ $4$ $4$ $2$ $2$ $3$ $4$ $2$

    $\quad$
    Il y a donc $1$ sommets de degré impair. Le graphe $\mathscr{G}$ ne possède pas de cycle eulérien mais possède une chaîne eulérienne.
    $~$

  4. La matrice associée est :
    $$M = \begin{pmatrix}
    0&1&1&1&0&0&0&1&0 \\
    1&0&1&1&1&1&0&0&0 \\
    1&1&0&0&0&0&1&1&0 \\
    1&1&0&0&1&1&0&0&0 \\
    0&1&0&1&0&0&0&0&0 \\
    0&1&0&1&0&0&0&0&0 \\
    0&0&1&0&0&0&0&1&1 \\
    1&0&1&0&0&0&1&0&1 \\
    0&0&0&0&0&0&1&1&0
    \end{pmatrix}$$
    $\quad$
  5. On a $M^3 = M \times M^2$
    On multiplie donc la $7^\text{ème}$ ligne de $M$ avec la $4^\text{ème}$ colonne de $M^2$
    $\begin{array}{c|c} &  \begin{pmatrix} 1\\3\\2\\4\\1\\1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \\
    \hline
    \begin{pmatrix} 1&0&1&0&0&0&1&0&1 \end{pmatrix}  & 1 + 2 = 3 \end{array}$

$\quad$

Partie B : Applications

  1. $\quad$
    Sommet du graphe $\mathscr{G}$ A B C D E F G H I
    Lieu correspondant dans le lycée
    administration
    Hall $1$
    Hall $2$
    Salle des professeurs
    CDI
    Cantine
    Bâtiment $1$
    Vie scolaire et infirmerie
    Bâtiment $2$
  2. L’élève veut donc aller du sommet G au sommet D en $3$ étapes. D’après la question 4 de la partie A, il existe $3$ chemins pour ce trajet :
    G-C-B-D $\quad$ G-C-A-D $\quad$G-H-A-D
    $\quad$
  3. Puisque le graphe $\Gamma$ possède une chaîne eulérienne, on peut visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On veut calculer $\ds \int_0^1 \e^x \dx =\left[\e^x\right]_0^1=\e^1-\e^0=\e-1$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{3-1}\ds \int_1^3 x^2\dx \\
    &=\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^3 \\
    &=\dfrac{27-1}{6} \\
    &=\dfrac{13}{3}\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. Il correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-10$ et $x=-5$.
    Ce domaine contient donc un rectangle dont les dimensions sont $2$ et $-5-(-10)=5$ dont l’aire est $2\times 5=10$.
    Ce domaine est contenu donc un rectangle dont les dimensions sont $7$ et $-5-(-10)=5$ dont l’aire est $7\times 5=35$.
    Par conséquent $10 \pp I\pp 35$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. On a $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{0,42}{0,5}=0,84$
    Réponse c
    $\quad$
  5. Le coefficient multiplicateur global est $\left(1+\dfrac{3,4}{100}\right)^6\approx 1,222~146$.
    Le taux global d’augmentation pour ces six années aurait été d’environ $22,21\%$.
    Réponse c
    $\quad$