Exercice 1    4 points

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.

1. La suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=400$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
   La somme $S=u_0+u_1+\ldots+u_{10}$ est égale à :
   a. $2\times \left(1-0,5^{10}\right)$
   b. $2\times \left(1-0,5^{11}\right)$
   c. $800\times \left(1-0,5^{10}\right)$
   d. $\quad $800\times \left(1-0,5^{11}\right)$
   $\quad$
2. On considère l’algorithme ci-dessous :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   n\leftarrow 0 \\
   U\leftarrow 50 \\
   \text{Tant que $U<120$ faire} \\
   \hspace{1cm} U \leftarrow 1,2\times U \\
   \hspace{1cm} n \leftarrow n+1 \\
   \text{Fin Tant que} \\
   \text{Afficher } n\\
   \hline
   \end{array}$$
   En fin d’exécution, cet algorithme affiche la valeur :
   a. $4$
   b. $124,416$
   c. $5$
   d. $96$
   $\quad$

Pour les questions 3. et 4., on a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d’abscisses $2$ et $4$.

3. $f$ est convexe sur l’intervalle :
   a. $]-\infty;2]$
   b. $]-\infty;0,5]$
   c. $[0;4]$
   d. $[2;5]$
   $\quad$
4. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est :
   a. $-0,1$
   b. $2,5$
   c. $2,9$
   d. $14,5$
   $\quad$

 

Exercice 2    5 points

Dans un quartier d’une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d’emploi chaque trimestre.
Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent tandis que $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes.
Au début du premier trimestre 2017 (1$\ier$ janvier 2017), le nombre de demandeurs d’emploi était de $490$.

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d’emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1$\ier$ janvier 2017.
Ainsi, $u_1 = 490$.

Dans tout l’exercice, les valeurs seront arrondies à l’unité.

1. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017.
   $\quad$
2. Justifier que l’on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier $n \in \N^*$ : $$u_{n+1} = 0,625u_n + 123$$
   $\quad$
3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n \in \N^*$, $v_n = u_n-328$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
   $\quad$
   b. Exprimer, pour tout entier $n \in \N^*$, $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier $n \in \N^*$, on a $u_n = 162 \times 0,625^{n-1} + 328$.
   $\quad$
4. Calculer le nombre de demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
   $\quad$
5. Le directeur de l’agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d’emploi de $30\%$ par rapport au premier trimestre 2017 ?
   Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse.
   $\quad$

 

Exercice 3    6 points

On désigne par $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2~;~4]$ par $$f(x) = (2x+1)\e^{-2x}+3$$

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in [-2;4]$, $$f'(x)=-4x\e^{-2x}$$
   $\quad$
2. Étudier les variations de $f$.
   $\quad$
3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2;0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
   $\quad$
4. On note $f”$ la fonction dérivée de $f’$. On admet que, pour tout $x\in [-2;4]$, $$f”(x)=(8x-4)\e^{-2x}$$
   a. Étudier le signe de $f”$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
   $\quad$
   b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
   $\quad$
5. On note $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2; 4]$ par $g(x) = (2x + 1)\e^{-2x}$.
   a. Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in [-2;4]$ par $G(x)=(-x-1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.
   $\quad$
   b. En déduire une primitive $F$ de $f$.
   $\quad$
6. On note $\mathscr{A}$ l’aire du domaine $\mathscr{D}$ compris entre la courbe $\mathscr{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.
   a. Hachurer le domaine $\mathscr{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
   $\quad$
   b. Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathscr{A}$, en unité d’aire, par deux entiers consécutifs.
   $\quad$
   c. Calculer la valeur exacte de $\mathscr{A}$, puis une valeur approchée au centième.
   $\quad$

Annexe

$\quad$

 

Exercice 4    5 points

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux événements d’un ensemble probabiliste, avec $A$ de probabilité non nulle, la probabilité de $B$ sachant $A$ est le réel noté $P_{A}(B)$.

L’asthme est une maladie inflammatoire chronique des voies respiratoires en constante augmentation.
En France les statistiques font apparaître que, parmi les adultes, environ $4\%$ des hommes et $5\%$ des femmes sont asthmatiques.

Dans la population française, on considère l’ensemble des couples homme-femme.

Partie A : Étude de l’état d’asthme du couple

On note :

• $H$ l’événement : « L’homme est asthmatique »,
• et $F$ l’événement : « La femme est asthmatique ».

On note $\conj{E}$ l’événement contraire de l’événement $E$.

On admet que les événements $H$ et $F$ sont indépendants.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
   $\quad$
2. On note les événements :
   $A$ : « Aucun des deux adultes du couple n’est asthmatique »
   $B$ : «Un seul des deux adultes du couple est asthmatique »
   $C$ : « Les deux adultes du couple sont asthmatiques »
   Montrer que :
   $P(A) = 0,912 ; \quad P(B) = 0,086 \quad ; \quad P(C) = 0,002$.
   $\quad$

 

Partie B : Étude de la transmission de l’asthme au premier enfant

Les études actuelles sur cette maladie montrent que :

• Si aucun des parents n’est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,1$.
• Si un seul des parents est asthmatique, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,3$.
• Si les deux parents sont asthmatiques, la probabilité que leur enfant soit asthmatique est de $0,5$.

On note E l’événement:« Le premier enfant du couple est asthmatique ».

1. Reproduire sur votre copie puis compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
   $\quad$
2. Montrer que $P(E) = 0,118$.
   $\quad$
3. Calculer $P_{E}(A)$ et interpréter le résultat.
   Déduire $P_{E}\left(\overline{A}\right)$ et interpréter le résultat.
   $\quad$
4. Quelle est la probabilité qu’un enfant non asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques ?
   (Indication : on pourra chercher à calculer l’événement contraire)
   $\quad$

 

Exercice 4    5 points

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité 

Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme.
Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.

Partie A

1. Déterminer si le graphe est connexe.
   $\quad$
2. Déterminer si le graphe est complet.
   $\quad$
3. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.
   $\quad$

Partie B

Afin d’améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d’attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l’heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de $9$h à $16$h. On obtient le relevé suivant :

Ainsi, à $10$h, il y avait $14$ minutes d’attente à la billetterie. On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui à l’heure associe la durée d’attente en minutes. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente.
On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonction $f$ définie sur $[9;16]$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b$ et $c$ des réels et $a$ non nul telle que les trois points de coordonnées $(9;9)$ , $(11;20)$ et $(16;2)$ appartiennent à la représentation graphique de $f$.

1. Traduire l’énoncé par un système de trois équations à trois inconnues $a,b$ et $c$.
   $\quad$
2. Vérifier que ce système est équivalent à l’équation $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix} 81&9&1\\121&11&1\\256&16&1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}9\\20\\2\end{pmatrix}$.
   $\quad$
3. Résoudre le système.
   $\quad$
4. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l’attente peut être inférieure à dix minutes.
   $\quad$

 

Exercice 1

1. On a $S=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{1-0,5}=400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{0,5}=800\times \left(1-0,5^{11}\right)$
   Réponse d
   $\quad$
2. Voici les différentes valeurs prises par les $2$ variables :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   U&50&60&72&86,4&103,68&124,416 \\
   \hline
   \phantom{00}n\phantom{00}&\phantom{00}0\phantom{00}&\phantom{00}1\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}5\phantom{00}\\
   \hline
   \end{array}$$
   L’algorithme affiche la dernière valeur de $n$, c’est-à-dire $5$.
   Réponse c
   $\quad$
3. La courbe semble être au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle $[2;5]$. La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
   Réponse d
   $\quad$
4. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;5]$ est $m=\displaystyle \dfrac{1}{5-0} \int_0^5 f(x)\dx$.
   La fonction $f$ est positive et continue sur l’intervalle $[0;5]$.
   Par conséquent $\displaystyle \int_0^5 f(x)\dx$ est l’aire du domaine compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
   Ce domaine contient $13$ carrés entiers (en comptant comme entier $2$ carrés qui le sont presque) et est contenu dans un domaine de $17$ carrés entiers.
   Ainsi $\dfrac{13}{5} \pp m \pp \dfrac{17}{5}$.
   Donc $m \approx 2,9$.
   Réponse c
   $\quad$

Exercice 2

1. $u_1=490$ Donc $u_2=(1-0,375)u_1+123 \approx 429$ et $u_3=(1-0,375)u_2+123 \approx 391$
   Ainsi il y avait $429$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre et $391$ au début du troisième trimestre 2017.
   $\quad$
2. $37,5\%$ des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. Il en reste donc $62,5\%$ d’un trimestre sur l’autre. Cela représente donc $0,625u_n$.
   Chaque trimestre $123$ nouveaux demandeurs d’emploi s’inscrivent.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=0,625u_n+123$.
   $\quad$
3. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=u_n-328$ soit $u_n=v_n+328$.
   Ainsi :
   $$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-328 \\
   &=0,625u_n+123-328 \\
   &=0,625u_n-205 \\
   &=0,625\left(v_n+328\right)-205\\
   &=0,625v_n+205-205\\
   &=0,625v_n
   \end{align*}$$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,625$ et de premier terme $v_1=u_1-328=162$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $v_n=162\times 0,625^{n-1}$.
   $\quad$
   c. Ainsi pour tout entier naturel $n$ non nul on a : $u_n=v_n+328=162\times 0,625^{n-1}+328$.
   $\quad$
4. Au début du deuxième trimestre 2019 on a $n=10$ : $u_{10}=162\times 0,625^9+328\approx 330$
   Il y aura donc environ $330$ demandeurs d’emploi au début du deuxième trimestre 2019.
   $\quad$
5. On veut donc qu’il y ait au plus $0,7\times 490=343$ demandeurs d’emploi.
   On veut ainsi déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $$u_n\pp 343 \ssi 162\times 0,625^{n-1}+328 \pp 343 $$
   On a $u_6\approx 343,45$ et $u_7 \approx 337,66$
   C’est donc à partir de $n=7$ que $u_n \pp 343$.
   Son objectif sera donc atteint à partir du troisième trimestre 2018.
   $\quad$

Exercice 3

1. Pour tout réel $x$ on a :
   $$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-2x}-2(2x+1)\e^{-2x} \\
   &=(2-4x-2)\e^{-2x} \\
   &=-4x\e^{-2x}
   \end{align*}$$
   $\quad$
2. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$. Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-4x$.
   Ainsi, $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-2;0[$, $f'(0)=0$ et $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]0;4]$.
   Donc la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;0]$ et décroissante sur l’intervalle $[0;4]$.
   $\quad$
3. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[-2;0]$.
   $f(-2) \approx -160,8<0$ et $f(0)=4>0$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2;0]$.
   De plus $\alpha\approx -0,8$.
   $\quad$
4. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $[-2;4]$.
   Le signe de $f\dsec (x)$ ne dépend donc que de celui de $8x-4$.
   Or $8x-4=0 \ssi x=0,5$
   $8x-4>0 \ssi x>0,5$.
   $8x-4<0\ssi x<0,5$.
   La fonction $f\dsec$ est donc négative sur l’intervalle $[-2;0,5[$, nulle en $0,5$ et positive sur l’intervalle $]0,5;4]$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[-2;0,5]$ et convexe sur l’intervalle $[0,5;4]$.
   $\quad$
5. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;4]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
   Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;4]$ on a :
   $$\begin{align*} G'(x)&=-\e^{-2x}-2(-x-1)\e^{-2x} \\
   &=(-1+2x+2)\e^{-2x} \\
   &=(2x+1)\e^{-2x} \\
   &=g(x)
   \end{align*}$$
   La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-2;4]$.
   $\quad$
   b. Une primitive de $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[-2;4]$ par $F(x)=(-x-1)\e^{-2x}+3x$.
   $\quad$
6. a. On obtient le graphique suivant :
   $\quad$
   b. Graphiquement on peut dire que $3< \mathscr{A} < 4$.
   En effet la partie hachurée est incluse dans un rectangle de dimension $1\times 4$ et contient un rectangle de dimension $1\times 3$.
   $\quad$
   c. On a :
   $$\begin{align*} \mathscr{A}&=\ds \int_0^1 f(x)\dx \\
   &=F(1)-F(0) \\
   &=-2\e^{-2}+3+1\\
   &=4-2\e^{-2} \\
   &\approx 3,73 \text{u.a.}
   \end{align*}$$
   $\quad$

Exercice 4

Élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et élèves de L

Partie A : Étude de l’état d’asthme du couple

1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   $\quad$
2. $P(A)=P\left(\conj{H}\cap\conj{F}\right)=0,96\times 0,95=0,912$.
   $P(C)=P(H\cap F)=0,04\times 0,05=0,002$.
   $P(B)=1-P(A)-P(C)=0,086$
   $\quad$

Partie B : Étude de la transmission de l’asthme au premier enfant

1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
   
   $\quad$
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $$\begin{align*}
   P(E)&=P(A\cap E)+P(B\cap E)+P(C\cap E) \\
   &=0,912\times 0,1+0,086\times 0,3+0,002\times 0,5 \\
   &=0,091~2+0,025~8,+0,001\\
   &=0,118\end{align*}$$
   $\quad$
3. $P_{E}(A)=\dfrac{P(E\cap A)}{P(E)}=\dfrac{0,0912}{0,118} \approx 0,773$
   La probabilité qu’un enfant asthmatique ait ses deux parents non asthmatiques est environ égale à $0,773$.
   $\quad$
   $P_E\left(\conj{A}\right)=1-P_E(A)\approx 0,227$
   La probabilité qu’un enfant asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est environ égale à $0,227$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $$\begin{align*} P_{\conj{E}}\left(\conj{A}\right)&=1-P_{\conj{E}}(A) \\
   &=1-\dfrac{P\left(A\cap \conj{E}\right)}{P\left(\conj{E}\right)} \\
   &=1-\dfrac{0,9\times 0,912}{1-0,118} \\
   &=1-\dfrac{0,820~8}{0,882} \\
   &\approx 0,069
   \end{align*}$$
   La probabilité qu’un enfant asthmatique ait au moins un de ses parents asthmatiques est environ égale à $0,069$.
   $\quad$

Exercice 4

Élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. La chaîne $A-B-F-G-H-C-D-E$ passe par tous les sommets du graphes donc toute paire de sommets peut être reliée par une chaîne.
   Ce graphe est donc connexe.
   $\quad$
2. Ce graphe n’est pas complet car tous les sommets ne son pas reliés aux autres par une arête. Par exemple, les sommets $A$ et $C$ ne sont pas reliés par une arête.
   $\quad$
3. Cette question se traduit par l’existence ou non d’une chaîne eulérienne dans ce graphe.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G&H\\
   \hline
   \text{Degré}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}4\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}3\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}&\phantom{00}2\phantom{00}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Ce graphe est connexe et contient exactement $2$ sommets de degré impair. D’après le théorème d’Euler, ce graphe contient une chaîne eulérienne.
   $\quad$
   Appliquons l’algorithme d’Euler :
   Étape 1 : Former une chaîne qui relier les deux sommets de degré impair. Ici $A$ et $F$ :
   On obtient par exemple : $A-B-F$.
   $\quad$
   Étape 2 : À partir du sommet $A$ on construit un cycle $A-E-D-A$.
   On obtient donc $A-E-D-A-B-F$.
   $\quad$
   Étape 3 : On recommence à partir du sommet $B$ : $B-D-C-B$.
   On obtient $A-E-D-A-B-D-C-B-F$.
   $\quad$
   Étape 4 : On recommence à partir du sommet $F$ : $F-C-H-G-F$.
   On obtient $A-E-D-A-B-D-C-B-F-C-H-G-F$.
   $\quad$

Partie B

1. On a $f(9)=9$ or $f(9)=81a+9b+c$ donc $81a+9b+c=9$.
   On a $f(11)=20$ or $f(11)=121a+11b+c$ donc $121a+11b+c=20$.
   On a $f(16)=2$ or $f(16)=256a+16b+c$ donc $256a+16b+c=2$.
   On a donc le système $\begin{cases} 81a+9b+c&=9\\121a+11b+c&=20\\256a+16b+c&=2\end{cases}$
   $\quad$
2. On pose $AX=\begin{pmatrix} 81a+9b+c\\121a+11b+c\\256a+16b+c\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}9\\20\\2\end{pmatrix}$
   Donc $AX=B \ssi \begin{cases} 81a+9b+c&=9\\121a+11b+c&=20\\256a+16b+c&=2\end{cases}$
   $\quad$
3. D’après la calculatrice, la matrice $A$ est inversible et on a $A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{14}&-\dfrac{1}{10}&\dfrac{1}{35}\\\\-\dfrac{27}{14}&\dfrac{5}{2}&-\dfrac{4}{7}\\\\\dfrac{88}{7}&-\dfrac{72}{5}&\dfrac{99}{35}\end{pmatrix}$
   $AX=B \ssi X=A^{-1}B$ donc $X=\begin{pmatrix}-1,3\\31,5\\-169,2\end{pmatrix}$ ainsi $\begin{cases} a=-1,3\\b=31,5\\c=-169,2\end{cases}$
   $\quad$
4. On a donc, pour $x\in [9;16]$, $f(x)=-1,3x^2+31,5x-169,2$.
   $f(x)\pp 10 \ssi f(x)-10\pp 0 \ssi -1,3x^2+31,5-179,2 \pp 0$
   $\Delta=31,5^2-4\times (-1,3)\times (-179,2)=60,41>0$ donc l’équation $-1,3x^2+31,5x-179,2=0$ admet deux solutions qui sont :
   $x_1=\dfrac{-31,5-\sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 15,1$ et $x_2=\dfrac{-31,5+\sqrt{60,41}}{2\times (-1,3)} \approx 9,1$
   De plus $a=-1,3<0$. On obtient donc le tableau de signes suivant :
   
   L’attente sera inférieure à dix minutes entre $9$h et $9$h$06$ et entre $15$h$06$ et $16$h.
   $\quad$