Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

1. Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0~;~30]$ par: $$f(x) = x^3 – 39x^2 + 315x + 45$$On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative. On a alors:
   A. $f$ est convexe sur l’intervalle $[0;30]$.
   B. $f$ est concave sur l’intervalle $[5;21]$.
   C. $\mathscr{C}$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $13$.
   D. Si $f’$ désigne la fonction dérivée de $f$, alors $f’$ est croissante sur l’intervalle $[0;5]$ et sur l’intervalle $[21;30]$.
   $\quad$
2. Soit $g$ la fonction définie sur $[-1;4]$ par $g(x)=-x^3+3x^2-1$.La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est nulle pour :
   A. $a=0$
   B. $a=1$
   C. $a=2$
   D. $a=3$
   $\quad$
3. L’arrondi au centième de la somme $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{30}$ est :
   A. $283,85$
   A. $984,07$
   A. $1~181,88$
   A. $1~419,26$
   $\quad$
4. La solution dans $\R$ de l’équation $\e^{\frac{1}{x-2}+1}=1$ est :
   A. $3$
   B. $2$
   C. $1$
   D. $0$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Au 1$\ier$ janvier 2018, un arboriculteur possède $5~000$ pommiers. Chaque année:

• il arrache $4\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
• il replante $300$ nouveaux pommiers.

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l’arboriculteur au 1$\ier$ janvier de l’année $($2018$+ n)$.
On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que: $u_0 = 5~000$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   Combien de pommiers possèdera l’arboriculteur au 1$\ier$ janvier 2020 ?
   $\quad$
2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n-7~500$, pour tout entier naturel $n$.
   a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = 7~500-2~500 \times 0,96^n$.
   $\quad$
3. La superficie des terrains de l’arboriculteur lui permet d’avoir au maximum $6~000$ pommiers. L’arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.
   On considère l’algorithme ci-dessous
   $$\begin{array}{|l|l|}
   \hline
   \text{Ligne } 1 &  n\gets 0\\
   \text{Ligne } 2 & u\gets 5~000\\
   \text{Ligne } 3 & \text{Tant que } \ldots\ldots\\
   \text{Ligne } 4 & \hspace{1cm} n \gets n+1\\
   \text{Ligne } 5 & \hspace{1cm} u \gets \ldots\ldots\\
   \text{Ligne } 6 & \text{Fin tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   a. Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de cet algorithme afin qu’il réponde à la problématique énoncée ci-dessus.
   $\quad$
   b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
4. Si l’évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur? Justifier la réponse.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Lors d’une course cyclosportive, $70\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.
Aucun participant n’abandonne la course.

• Parmi les licenciés, $66\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en plus de 5 heures.
• Parmi les non licenciés, $83\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres en moins de 5 heures.

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:

• $L$ « le cycliste est licencié dans un club » et $\conj{L}$ son évènement contraire,
• $M$ l’évènement « le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures » et $\conj{M}$ son évènement contraire.

1. À l’aide des données de l’énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\conj{L}}\left (\conj{M}\right )$.
   $\quad$
2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant représentant la situation.
   
   $\quad$
3. Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
   $\quad$
4. Justifier que $P(M) = 0,513$.
   $\quad$
5. Un organisateur affirme qu’au moins $90\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club. A-t-il raison? Justifier la réponse.
   $\quad$
6. Un journaliste interroge indépendamment dix cyclistes au hasard. On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les dix cyclistes interrogés, le nombre de cyclistes ayant fait le parcours en moins de cinq heures. On suppose le nombre de cyclistes suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise.
   a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$?
   $\quad$
   b. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures.
   $\quad$
   c. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Au village départ de cette course cyclosportive, les différents stands présents sont:

• le stand des vélos de routes $(R)$,
• le stand des VTT $(T)$,
• le stand des BMX $(B)$,
• le stand de l’habillement $(H)$,
• le stand des compteurs et GPS $(C)$,
• le stand des accessoires et pièces détachées $(A)$.

Le graphe ci-dessous représente le plan du village départ: les sommets correspondent aux stands et les arêtes aux allées qui les relient.

1. Ce graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier les réponses.
   $\quad$
2. Un cycliste peut-il visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées? Justifier la réponse. Si oui, donner un trajet possible en précisant le stand de départ et celui d’arrivée.
   $\quad$

Partie B

Une entreprise qui fournit le stand des compteurs et GPS en objets connectés et dispose des résultats antérieurs suivant :

$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Nombre d’objets connectés en milliers}&1&3&5 \\
\hline\text{Coût total annuel de production en centaines d’euros}&~~~11~~~&27,4&~~~83~~~\\
\hline\end{array}$

$\quad$

Le coût total de production des objets connectés est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ;10]$ par $C(x)=ax^3+bx^2+c x+10$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers d’objets connectés produits, $C(x)$ est le coût total annuel de production en centaines d’euros.

1. Justifier que le triplet $(a,b,c)$ est solution du système suivant : $\begin{cases} a+b+c&=1\\27a+9b+3c&=17,4 \\125a+25b+5c&=73 \end{cases}$.
   $\quad$
2. On pose $X=\begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix}$, déterminer les matrices $A$ et $B$ qui permettent d’écrire le système précédent sous la forme matricielle $AX=B$.
   $\quad$
3. Résoudre le système. On détaillera la résolution.
   $\quad$
4. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût de production pour $8~000$ objets connectés produits.

$\quad$

Exercice 4     6 points

Partie A

La courbe $(\mathscr{C})$ ci-dessous, associée à une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;19]$, représente l’audience journalière d’une chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2000 (année numéro $0$) et le 1$\ier$ janvier 2019 (année numéro $19$), c’est-à-dire le nombre quotidien de téléspectateurs, en milliers.

 

Ainsi, le 1$\ier$ janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ $460~000$ téléspectateurs.

1. Décrire l’évolution de l’audience journalière de cette chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2000 et le 1$\ier$ janvier 2019.
   $\quad$
2. Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1$\ier$ janvier 2014.
   $\quad$
3. La droite $(AB)$, où les points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(0;460)$ et $B(3; 82)$, est la tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A$.
   Déterminer la valeur de $f'(0)$ où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ représentée par $(\mathscr{C})$?
   $\quad$

Partie B

On cherche maintenant à prévoir l’évolution de l’audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années.
On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;29]$ par: $$f(x)= (20 x^2-80 x + 460) \e^{-0,1x}$$
où $x$ représente le nombre d’années depuis 2000 (par exemple $x = 19$ pour l’année 2019).

1. Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne le 1$\ier$ janvier 2014.
   $\quad$
2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[0;29]$.
   a. Démontrer que $f’$ est définie par: $$f'(x)= (-2 x^2 +48 x-126) \e^{-0,1x}$$
   $\quad$
   b. On considère l’équation: $-2 x^2 +48 x-126=0$.
   Un logiciel de calcul formel donne:
   $$\begin{array}{|l|l|}
   \hline
   \textbf{Instruction:} & \textbf{Résultat:}\\
   \hline
   \text{Solve}(-2 x^2+48 x-126=0) & \hspace{2.5cm} 3 \text{ et } 21\\
   \hline
   \end{array}$$
   Retrouver ce résultat par le calcul.
   $\quad$
   c. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0;29]$ et construire le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $[0;29]$. Arrondir les éléments du tableau à l’unité.
   $\quad$
   d. Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l’année 2029? Justifier.
   $\quad$
3. Montrer que l’équation $f(x) = 800$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[3;21]$. Déterminer un encadrement d’amplitude $1$ de $\alpha$.
   Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il $800~000$ ?
   $\quad$
4. On admet que la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;29]$ par: $$F(x)=(-200x^2-3~200x-36~600)\e^{-0,1x}$$
   est une primitive de la fonction $f$.
   Déterminer à mille près l’audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2018 et le 1$\ier$ janvier 2019.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 1

1. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur l’intervalle $[0;30]$ en  tant que fonction polynôme.
   Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;30]$ on a :
   $f'(x)=3x^2-78x+315$
   $f\dsec(x)=6x-78$
   Or $6x-78=0 \ssi 6x=78 \ssi x=13$
   et $6x-78>0 \ssi 6x>78 \ssi x>13$
   La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe pour $x=13$.
   La courbe $\mathscr{C}$ admet donc un point d’inflexion au point d’abscisse $13$.
   Réponse C
   $\quad$
2. La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-1;a]$ est
   $\begin{align*} m_a&=\dfrac{1}{a-(-1)}\displaystyle \int_{-1}^a \left(-x^3+3x^2-1\right)\dx\\
   &= \dfrac{1}{a+1}\left[-\dfrac{x^4}{4}+x^3-x\right]_{-1}^a \\
   &=\dfrac{\dfrac{a^4}{4}+a^3-a-\dfrac{1}{4}}{a+1}\end{align*}$On teste les différentes valeurs et si $a=1$ on trouve $m_a=0$.
   Réponse B
   $\quad$
3. On a $1+1,2+1,2^2+\ldots 1,2^{30}=\dfrac{1-1,2^{31}}{1-1,2}\approx 1~419,26$
   Réponse D
   $\quad$
4. $\e^{\frac{1}{x-2}+1}=0 \ssi \dfrac{1}{x-2}+1=0 \ssi \dfrac{1}{x-2}=-1 \ssi -(x-2)=1 \ssi -x+2=1 \ssi x=1$Réponse C
   $\quad$
   

    

Exercice 2

1. $u_1=0,96u_0+300=0,96\times 5~000+300=5~100$
   $u_2=0,96u_1+300=0,96\times 5~100+300=5~196$
   Au 1$\ier$ janvier 2020 l’arboriculteur aura $5~196$ pommiers.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-7~500$ donc $u_n=v_n+7~500$.
   Ainsi :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-7~500 \\
   &=0,96u_n+300-7~500 \\
   &=0,96u_n-7~200 \\
   &=0,96\left(v_n+7~500\right)-7~200\\
   &=0,96v_n+7~200-7~200\\
   &=0,96v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-7~500=-2~500$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-2~500\times 0,96^n$.
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_n=v_n+7~500=7~500-2~500\times 0,96^n$.
   $\quad$
3. a. On obtient l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|l|}
   \hline
   \text{Ligne }1& n\leftarrow 0 \\
   \text{Ligne }2&u\leftarrow 5~000\\
   \text{Ligne }3&\text{Tant que }u\pp 6~000\\
   \text{Ligne }4& \hspace{1cm} n\leftarrow n+1 \\
   \text{Ligne }5& \hspace{1cm} u\leftarrow 0,96\times u+300\\
   \text{Ligne }6&\text{Fin tant que} \\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Voici les valeurs prises par les variables $n$ et $u$ (arrondies à l’unité)
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   n &u\\
   \hline
   0 &5~000\\
   \hline
   1 &5~100\\
   \hline
   2 &5~196\\
   \hline
   3 &5~288\\
   \hline
   4 &5~377\\
   \hline
   5 &5~462\\
   \hline
   6 &5~543\\
   \hline
   7 &5~621\\
   \hline
   8 &5~697\\
   \hline
   9 &5~769\\
   \hline
   10 &5~838\\
   \hline
   11 &5~904\\
   \hline
   12 &5~968\\
   \hline
   13 &6~029\\
   \hline
   \end{array}$
   À la fin de l’exécution de l’algorithme la variable $n$ a la valeur $13$.
   Cela signifie qu’il faut $13$ années à l’arboriculteur pour atteindre sa capacité maximale.
   $\quad$
4. $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,96^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=7~500$.
   À terme, cet arboriculteur possèdera $7~500$ pommiers selon ce modèle.
   $\quad$

Exercice 3

1. D’après l’énoncé on a $P(L)=0,7$, $P_L(M)=0,66$ et $P_{\conj{L}}\left(\conj{M}\right)=0,83$.
   $\quad$
2. On obtient donc l’arbre de probabilité suivant :
   
   $\quad$
3. On a$P(L\cap M)=0,7\times 0,66=0,462$
   Cela signifie donc que la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de $5$ heures est égale à $46,2\%$.
   $\quad$
4. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(M)&=P(M\cap L)+P\left(M\cap \conj{L}\right) \\
   &=0,462+0,3\times 0,17 \\
   &=0,462+0,051\\
   &=0,513\end{align*}$
   $\quad$
5. On a :
   $\begin{align*} P_M(L)&=\dfrac{P(M\cap L)}{P(M)} \\
   &=\dfrac{0,462}{0,513} \\
   &\approx 0,900~6\end{align*}$
   Par conséquent au moins $90\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de $5$ heures sont licenciés dans un club.
   L’organisateur a donc raison.
   $\quad$
6. a. On effectue $10$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
   À chaque tirage, il y a $2$ issues : $M$ et $\conj{M}$.
   De plus $p(M)=0,513$.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,513$.
   $\quad$
   b. On veut calculer $P(X=4)=\ds \binom{10}{4}\times 0,513^4\times (1-0,513)^6 \approx 0,194$
   La probabilité qu’exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est environ égale à $0,194$
   $\quad$
   c. on veut calculer $P(X \pp 3)=\approx 0,151$ d’après la calculatrice.
   La probabilité qu’au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures est environ égale à $0,151$.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. Les sommets $B$ et $A$ ne sont pas adjacents. Ce graphe n’est donc pas complet.
   Le cycle $A-C-H-B-R-T-A$ contient tous les sommets du graphe. Il est donc connexe.
   $\quad$
2. On détermine le degré de tous les sommets.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&H&R&T\\
   \hline
   \text{Degré}&4&2&3&4&4&3\\
   \hline
   \end{array}$
   Exactement $2$ sommets ont un degré impair. Le graphe est connexe et possède donc une chaîne eulérienne.
   Il est donc possible de visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois chacune des allées.
   On peut utiliser le trajet suivant : $C-H-A-C-R-B-H-T-R-A-T$.
   $\quad$

Partie B

1. On a :
   $\bullet$ $C(1)=a+b+c+10=11 \ssi a+b+c=1$
   $\bullet$ $C(3)=27a+9b+3c+10=27,4 \ssi 27a+9b+3c=17,4$
   $\bullet$ $C(5)=125a+25b+5c+10=83 \ssi 125a+25b+5c=73$
   Le triplet $(a,b,c)$ est donc solution de $\begin{cases} a+b+c&=1\\27a+9b+3c&=17,4 \\125a+25b+5c&=73 \end{cases}$.
   $\quad$
2. On note $A=\begin{bmatrix} 1&1&1\\27&9&3\\125&25&5\end{bmatrix}$ et $B=\begin{bmatrix} 1\\17,4\\73 \end{bmatrix}$
   Le système $\begin{cases} a+b+c&=1\\27a+9b+3c&=17,4 \\125a+25b+5c&=73 \end{cases}$ est alors équivalent à $AX=B$.
   $\quad$
3. D’après la calculatrice, la matrice $A$ est inversible.
   Ainsi $AX=B \ssi X=A^{-1}B=\begin{bmatrix} 0,5\\0,4\\0,1\end{bmatrix}$
   $\quad$
4. Ainsi $C(x)=0,5x^3+0,4x^2+0,1x+10$
   Et $C(8)=292,4$
   Selon cette modélisation, le coût de production pour $8~000$ objets connectés produit s’élève à $29~240$ euros.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A

1. Le nombre de téléspectateurs a diminué entre les années 2000 et 2003 , passant de $460~000$ à environ $300~000$, puis a augmenté a augmenté de 2003 à 2019, passant d’environ $300~000$ à environ $910~000$.
   $\quad$
2. En 2014, il y avait environ $800~000$ téléspectateurs.
   $\quad$
3. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$, tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A$.
   Ainsi $f'(0)=\dfrac{460-82}{0-3}=-126$.
   $\quad$

Partie B

1. $f(14)=\left(20\times 14^2-80\times 14+460\right)\e^{-1,4}\approx 804$.
   Il y avait donc environ $804~000$ téléspectateurs le 1$\ier$ janvier 2014$.
   $\quad$
2. a. La fonction est dérivable sur $[0;29]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;29]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=(20\times 2x-80)\e^{-0,1x}+\left(20x^2-80x+460\right)\times (-0,1)\e^{-0,1x} \\
   &=\left(40x-80-2x^2+8x-46\right)\e^{-0,1x} \\
   &=\left(-2x^2+48x-126\right)\e^{-0,1x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. On considère l’équation $-2x^2+48x-126=0$
   $\Delta=48^2-4\times (-2)\times (-126)=1~296>0$
   L’équation possède donc deux solutions :
   $x_1=\dfrac{-48-\sqrt{1~296}}{-4}=21$ et $x_2=\dfrac{-48+\sqrt{1~296}}{-4}=3$
   On a bien retrouvé les valeurs fournies par le logiciel.
   $\quad$
   c. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-2x^2+48x-12$.
   Le coefficient principal est $a=-2<0$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   
   On a $f(3)=400\e^{-0,3}\approx 296$
   $f(21)= 7~600\e^{-2,1}\approx 931$
   $f(29)=14~960\e^{-2,9}\approx 823$
   $\quad$
   d. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;29]$ on a $f(x)\pp f(21)<1~000$.
   Le nombre journalier de téléspectateur de cette chaîne de télévision ne dépassera jamais la barre du million avant l’année 2029.
   $\quad$
3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[3;21]$.
   $f(3)\approx 296 <800$ et $f(21) \approx 931 > 800$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=800$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[3;21]$.
   À l’aide de la calculatrice on trouve $13<\alpha<14$.
   C’est donc au cours de l’année 2013 que le nombre journalier de téléspectateur de la chaîne de télévision dépassera $800~000$.
   $\quad$
4. L’audience journalière moyenne de téléspectateur de la chaîne de télévision entre le 1$\ier$ janvier 2018 et le 1$\ier$ janvier 2019 est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{19-18}\ds \int_{18}^{19} f(x)\dx  \\
   &=F(19)-F(18) \\
   &=-169~600\e^{-1,9}+159~000\e^{-1,8}\\
   &\approx 916\end{align*}$
   Sur cette période, l’audience journalière moyenne de la chaîne de télévision était d’environ $916~000$ de téléspectateur.
   $\quad$