Exercice 1

1. $-1<\dfrac{1}{4} < 1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$ par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=1$.
   Or, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp w_n \pp v_n$
   D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=1$.
   Réponse b
   $\quad$
2. La fonction $x\mapsto \e^{x^2}$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$^.
   $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{x^2}+x\times 2x\e^{x^2} \\
   &=\e^{x^2}\left(1+2x^2\right)
   \end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$
3. En utilisant la limite du quotient des termes de plus haut degré on obtient :
   $\begin{align*} \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1} &=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{2x^2} \\
   &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$
4. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$.
   De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty$
   Donc $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x-2x^2=-\infty$
   Réponse c
   $\quad$
5. Les seuls chiffres pairs compris entre $0$ et $6$ sont : $0$, $2$, $4$ et $6$. Il y a donc $4$ possibilités pour le premier chiffre.
   Pour chacun des trois autres chiffres il y a $7$ possibilités.
   Il existe donc $4\times 7^3=1~372$ codes commençant par un chiffre pair.
   Réponse b
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2

1. Les vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{AD}$ et $\vect{AE}$ ne sont pas coplanaires. Ils définissent donc bien une base de l’espace.
   $\quad$
2. a. On a $B(1;0;0)$ et $H(0;1;1)$.
   Ainsi $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{BM}\begin{pmatrix}-t;t;t\end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. On remarque que $\vect{BM}=t\vect{BH}$.
   Par conséquent, les deux vecteurs sont colinéaires et les points $B$, $H$ et $M$ sont alignés.
   $\quad$
3. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{FC}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
   Or $(-1)\times 0+1\times 1+1\times (-1)=0$.
   Les vecteurs $\vect{BH}$ et $\vect{FC}$ sont donc orthogonaux et les droites $(BH)$ et $(FC)$ sont orthogonales.
   $\quad$
4. D’après la question précédente, les droites $(BH)$ et $(FC)$ sont orthogonales; elles ne sont donc pas coplanaires.
   On recherche les éventuels points d’intersection.
   On résout le système
   $\begin{align*} \begin{cases} x=1-t\\y=t\\z=t\\x=1\\y=t’\\z=1-t’\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1 \\1=1-t\\y=t\\t=t’\\z=t\\t=1-t’\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1\\t=0\\y=0\\t’=0\\0=1-0\end{cases}\end{align*}$
   Cette dernière équation $0=1-0$ est impossible.
   Le système ne possède donc pas de solution.
   Les droites ne possèdent pas de point d’intersection.
   Les droites $(BH)$ et $(FC)$ ne sont, par conséquent, pas coplanaires.
   $\quad$
5. a. On a
   $\begin{align*} MM’^2&=\left(1-(1-t)\right)^2+(t’-t)^2+(1-t’-t)^2 \\
   &=t^2+t’^2+t^2-2t’t+1+t’^2+t^2-2t’-2t+2t’t\\
   &=3t^2+2t’^2-2t’-2t+1\\
   &=3\left(t^2-2\times \dfrac{1}{3}\times t\right)+2\left(t’^2-2\times \dfrac{1}{2}\times t’\right)+1 \\
   &=3\left(\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{9}\right)+2\left(\left(t’-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\right)+1\\
   &=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}+2\left(t’-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}+1 \\
   &=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2+2\left(t’-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{6}\end{align*}$
   $\quad$
   b. $MM’^2$ est une somme de termes positifs. Elle est par conséquent minimale lorsque ses deux premiers termes sont nuls.
   Elle est donc minimale quand $t=-\dfrac{1}{3}=0$ et $t’-\dfrac{1}{2}=0$ c’est à dire quand $t=\dfrac{1}{3}$ et $t’=\dfrac{1}{2}$.
   $\quad$
   On a alors $MM’^2=\dfrac{1}{6}$.
   $MM’$ est une distance. Elle est donc positive. Ainsi $MM’=\sqrt{\dfrac{1}{6}}$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. a. On veut calculer :
   $\begin{align*} p\left(A\cap R_2\right)&=p(A)\times p_A\left(R_2\right) \\
   &=0,25\times \dfrac{1}{3} \\
   &=\dfrac{1}{12}\end{align*}$
   La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{12}$.
   $\quad$
   b. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p\left(R_2\right)&=p\left(A\cap R_2\right)+p\left(\conj{A}\cap R_2\right) \\
   &=\dfrac{1}{12}+0,75\times \dfrac{1}{3} \\
   &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
   La probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
   c. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_{R_2}(A)&=\dfrac{p\left(A\cap R_2\right)}{p\left(R_2\right)}\\
   &=\dfrac{~~\dfrac{1}{12}~~}{\dfrac{1}{3}} \\
   &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
   La probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée sachant qu’elle a réussi l’examen à sa deuxième préentation est égale à $\dfrac{1}{4}$.
   $\quad$
3. a. $X$ ne peut prendre que les valeurs $1$, $2$ et $3$.
   On a $P\left(\left\{X=2\right\}\right)=p\left(R_2\right)=\dfrac{1}{3}$.
   De plus
   $\begin{align*} P\left(\left\{X=3\right\}\right)&=p\left(R_3\right) \\
   &=p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}\left(R_3\right) \\
   &=0,75\times \dfrac{2}{9} \\
   &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} P\left(\left\{X=1\right\}\right)&=1-\left(P\left(\left\{X=2\right\}\right)+P\left(\left\{X=3\right\}\right)\right) \\
   &=1-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   On obtient ainsi le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   x_i\rule[-5pt]{0pt}{15pt}&\phantom{12}1\phantom{12}&\phantom{12}2\phantom{12}&\phantom{12}3\phantom{12}\\
   \hline
   P\left(X=x_i\right)\rule[-5pt]{0pt}{15pt}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est
   $\begin{align*} E(X)&=1\times P\left(\left\{X=1\right\}\right)+2\times P\left(\left\{X=2\right\}\right)+3\times P\left(\left\{X=3\right\}\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{6} \\
   &=\dfrac{5}{3}\\
   &=1,67\end{align*}$
   Cela signifie, qu’en moyenne une personne réussi l’examen au bout d’environ $1,67$ passage.
   $\quad$
4. a. On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que deux issues $R_3$ et $\conj{R_3}$. De plus $P\left(R_3\right)=\dfrac{1}{6}$.
   Ainsi $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
   b. $\quad$
   $\begin{align*} P(Y\pg 1)&=1-P(Y=0)\\
   &=1-\left(1-\dfrac{1}{6}\right)^n \\
   &=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n \end{align*}$
   $\quad$
   c. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,9 &\ssi 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n>0,9 \\
   &\ssi \left(\dfrac{5}{6}\right)^n<0,1 \end{align*}$
   À l’aide de la calculatrice on trouve $n=13$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également utiliser la fonction $\ln$ (si elle a été vue en cours) pour déterminer ce plus petit entier naturel $n$.

$\quad$

Exercice 4

Partie A

1. On a $u_0=5$
   $u_1=3-\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{17}{9}$
   $u_2=3-\dfrac{10}{\dfrac{17}{9}+4}=\dfrac{69}{53}$
   $\quad$
2. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=5$ donc $u_0\pg 1$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$.
   $\begin{align*}
   u_n\pg 1&\ssi u_n+4 \pg 5 \\
   &\ssi 0<\dfrac{1}{u_n+4} \pp \dfrac{1}{5} \\
   &\ssi 0>-\dfrac{10}{u_n+4} \pg -2\\
   &\ssi 3>3-\dfrac{10}{u_n+4} \pg 1\\
   &\ssi 3>u_{n+1} \pg 1\end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg 1$.
   $\quad$
3. Pour tout $n\in \N$ on a
   $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=3-\dfrac{10}{u_n+4}-u_n \\
   &=\dfrac{3u_n+12+10-u_n^2-4u_n}{u_n+4} \\
   &=\dfrac{-u_n^2-u_n+2}{u_n+4}\end{align*}$
   Or
   $\begin{align*}\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)&=u_n+2-u_n^2-2u_n \\
   &=-u_n^2-u_n+2\end{align*}$
   Par conséquent $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.
   $\quad$
4. D’après la question A.2. on sait que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 1$.
   Par conséquent $1-u_n \pp 0$, $u_n+2\pg 0$ et $u_n+4 \pg 0$.
   Donc $u_{n+1}-u_n\pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
   $\quad$

Partie B

1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2} \\
   &=\dfrac{3-\dfrac{10}{u_n+4}-1}{3-\dfrac{10}{u_n+4}+2} \\
   &=\dfrac{2-\dfrac{10}{u_n+4}}{5-\dfrac{10}{u_n+4}} \\
   &=\dfrac{~~\dfrac{2\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}~~}{\dfrac{5\left(u_n+4\right)-10}{u_n+4}} \\
   &=\dfrac{2u_n+8-10}{5u_n+20-10} \\
   &=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\
   &=\dfrac{2\left(u_n-1\right)}{5\left(u_n+2\right)} \\
   &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+2} \\
   &=\dfrac{2}{5}v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+2}=\dfrac{4}{7}$.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=\dfrac{4}{7}\times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.
   On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$ et $v_0>0$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc décroissante.
   Pour tout entier naturel $n$, on a ainsi $v_n \pp v_0$ soit $v_n \pp \dfrac{4}{7}<1$.
   Donc $v_n \neq 1$.
   $\quad$
2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}&\ssi v_n\left(u_n+2\right)=u_n-1 \\
   &\ssi v_n\times u_n+2v_n=u_n-1 \\
   &\ssi v_n\times u_n-u_n=-1-2v_n \\
   &\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-1-2v_n \\
   &\ssi u_n=\dfrac{-1-2v_n}{v_n-1} \quad \text{ car } v_n \neq 1\\
   &\ssi u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}\end{align*}$
   $\quad$
3. On a $-1<\dfrac{2}{5}<1$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=0$
   Donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{0+1}{1-0}=1$.
   $\quad$

Partie C

1. On obtient l’algorithme suivant :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   u\leftarrow 5\\
   n\leftarrow 0\\
   \text{Tant que } u\pg 1,01\\
   \quad n\leftarrow n+1\\
   \quad u\leftarrow 3-\dfrac{10}{u+4}\\
   \text{Fin du Tant que}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
2. Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$, arrondie à $10^{-3}$ et $n$.
   $\begin{array}{|c|c|}
   \hline
   n& u \\
   \hline
   0& 5\\
   \hline
   1& 1,889\\
   \hline
   2& 1,302\\
   \hline
   3& 1,114\\
   \hline
   4& 1,04\\
   \hline
   5& 1,018\\
   \hline
   6& 1,008\\
   \hline
   \end{array}$
   Donc, après l’exécution de cet algorithme, la variable $n$ contient la valeur $6$.
   Cela signifie donc qu’à partir du rang $6$ on a $u_n < 1,01$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

1. On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$ et $v_n=1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n$.
   On considère de plus une suite $\left(w_n\right)$ qui, pour tout entier naturel $n$, vérifie $u_n \pp w_n \pp v_n$.
   On peut affirmer que :
   a. Les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont géométriques.
   b. La suite $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
   c. $u_n\pg 1$ pour tout entier naturel $n$.
   d. La suite $\left(w_n\right)$ est croisssante.
   $\quad$
2. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{x^2}$.
   La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f’$ définie sur $\R$ par :
   a. $f'(x)=2x\e^{x^2}$
   b. $f'(x)=(1+2x)\e^{x^2}$
   c. $f'(x)=\left(1+2x^2\right)\e^{x^2}$
   d. $f'(x)=\left(2+x^2\right)\e^{x^2}$
   $\quad$
3. Que vaut $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}$?
   a. $-1$
   b. $0$
   c. $\dfrac{1}{2}$
   d. $+\infty$
   $\quad$
4. Que vaut $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x-2x^2$ ?
   a. $-2$
   b. $0$
   c. $-\infty$
   d. $+\infty$
   $\quad$
5. Un cadenas possède un code à $4$ chiffres allant de $0$ à $6$.
   Combien y-a-t-il de codes commençant par un chiffre pair?
   a. $1~029$
   b. $1~372$
   c. $864$
   d. $648$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2

Soit $ABCDEFGH$ un cube. L’espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

 

 

Pour tout réel $t$, on considère le point $M$ de coordonnées $(1-t;t;t)$.

1. Pourquoi les $3$ vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{AD}$ et $\vect{AE}$ définissent bien une base de l’espace? Justifier.
   $\quad$
2. a. Donner les coordonnées des points $B$ et $H$ dans le repère $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ puis calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{BH}$ et $\vect{BM}$.
   $\quad$
   b. En déduire que les points $B$, $H$ et $M$ sont alignés.
   $\quad$
3. On admet que deux vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x’\\y’\\z’\end{pmatrix}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $xx’+yy’+zz’=0$.
   À l’aide de cette propriété, montrer que les droites $(BH)$ et $(FC)$ sont orthogonales.
   $\quad$
4. On admet que les droites $(BH)$ et $(FC)$ ont respectivement pour représentation paramétrique :
   $$(BH):\begin{cases} x=1-t\\y=t\\z=t\end{cases} \quad \text{où } t\in \R \qquad \text{et } (FC):\begin{cases}x=1\\y=t’\\z=1-t’\end{cases} \quad \text{où } t’\in \R$$
   Montrer que les droites $(BH)$ et $(FC)$ sont non coplanaires.
   $\quad$
5. Pour tout réel $t’$ on considère le point $M'(1;t’;1-t’)$.
   a. Montrer que pour tous réels $t$ et $t’$, $MM’^2=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2+2\left(t’-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{6}$.
   $\quad$
   b. Trouver les valeurs de $t$ et $t’$ pour lesquelles $MM’^2$ est minimale.
   En déduire que la plus petite valeur de la distance $MM’$ est égale à $\sqrt{\dfrac{1}{6}}$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3

Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :

• la formation avec conduite accompagnée ;
• la formation traditionnelle.

On considère un groupe de $300$ personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire.
Dans ce groupe :

• $75$ personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, $50$ ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
• $225$ personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, $100$ ont réussi l’examen à la première présentation, $75$ à la deuxième et $50$ à la troisième présentation.

On interroge au hasard une personne du groupe considéré.
On considère les événements suivants :

$A$ : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
$R_1$ : « la personne a réussi l’examen à la première présentation » ;
$R_2$ : « la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation » ;
$R_3$ : « la personne a réussi l’examen à la troisième présentation ».

1. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous pour représenter la situation.
   $\quad$
   Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.
   $\quad$
2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
   $\quad$
   b. Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
   c. La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?
   $\quad$
3. On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite. Ainsi, $\acco{X=1}$  correspond à l’événement $R_1$.
   a. Compléter le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ci-dessous.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
   \hline
   x_i\rule[-5pt]{0pt}{15pt}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
   \hline
   P\left(X=x_i\right)\rule[-5pt]{0pt}{15pt}&&&\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
4. On choisit, successivement et de façon indépendante, $n$ personnes parmi les $300$ du groupe étudié, où $n$ est un entier naturel non nul.
   On assimile ce choix à un tirage avec remise de $n$ personnes parmi les $300$ personnes du groupe et on définit la variable aléatoire $Y$ qui, à chaque échantillon, associe le nombre de personnes ayant réussi l’examen à la troisième présentation.
   On admet que la probabilité de l’événement $R_3$ est égale à $\dfrac{1}{6}$.
   a. Quel est la loi suivie par $Y$ ? Justifier.
   $\quad$
   b. Montrer que $P(Y\pg 1)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$.
   $\quad$
   c. En utilisant votre calculatrice, déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité que plus d’une personne réussisse l’examen à la troisième présentation soit supérieure ou égale à $0,9$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n\pg 0$ par : $\begin{cases}u_{n+1}=3-\dfrac{10}{u_n+4}\\u_0=5\end{cases}$.

Partie A

1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.
   $\quad$
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pg 1$.
   $\quad$
3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.
   $\quad$
4. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}$.

1. a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n\neq 1$.
   $\quad$
2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{2v_n+1}{1-v_n}$.
   $\quad$
3. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

Partie C

On considère l’algorithme ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
u\leftarrow 5\\
n\leftarrow 0\\
\text{Tant que } \ldots\ldots\\
\quad n\leftarrow \ldots\ldots\\
\quad u\leftarrow \ldots\ldots\\
\text{Fin du Tant que}\\
\hline
\end{array}$$

1. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 1,01$.
   $\quad$
2. Quelle valeur de $n$ est renvoyée par cet algorithme? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

$\quad$