Bac Blanc TS 2016

Exercice 1 $\qquad$ 4 points

Une librairie vend des cahiers qui proviennent de trois fournisseurs différents : $35\%$ des cahiers proviennent du fournisseur F$_{1}$, $25\%$ du fournisseur F$_{2}$ et le reste du fournisseur F$_{3}$. Chaque fournisseur livre deux types de cahiers : des cahiers à petits carreaux et des cahiers à grands carreaux.

La livraison du fournisseur F$_{1}$ comporte $80\%$ de cahiers à grands carreaux alors que celle du fournisseur F$_{2}$ n’en comporte que $50\%$ et celle du fournisseur F$_{3}$ seulement $30\%$.

Le gérant de la librairie choisit un cahier au hasard dans son stock.
On envisage les événements suivants :
• $F_{1}$ : “le cahier choisi a été acheté chez le fournisseur F$_{1}$”,
• $F_{2}$ : “le cahier choisi a été acheté chez le fournisseur F$_{2}$”,
• $F_{3}$ : “le cahier choisi a été acheté chez le fournisseur F$_{3}$”,
• $P$ : “le cahier est à petits carreaux”,
• $G$ : “le cahier est à grands carreaux”.
$\quad$
a. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que le cahier choisi soit un cahier à grands carreaux acheté chez le fournisseur F$_{3}$.
$\quad$
c. Justifier que la probabilité de l’événement $G$ est égale à $0,525$.
$\quad$
d. Le cahier choisi est à grands carreaux.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez le fournisseur F$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
$\quad$
On choisit au hasard un échantillon de $10$~cahiers dans le stock de cette librairie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$ cahiers dans le stock.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de cahiers à grands carreaux de l’échantillon choisi.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
b. Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement $5$~cahiers à grands carreaux?
On arrondira à $10^{-3}$.
$\quad$
c. Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux cahiers à petits carreaux ?
On arrondira à $10^{-3}$.
$\quad$

Correction Exercice 1

a. L’arbre pondéré correspondant à la situation est :
$\quad$
b. On veut calculer $p\left(F_3 \cap G\right) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$.
$\quad$
c. D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*}
p(G)&=p\left(F_1\cap G\right)+p\left(F_2\cap G\right)+p\left(F_3\cap G\right) \\
&=0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,12 \\
&=0,525
\end{align*}$$
$\quad$
d. On veut calculer $p_G\left(F_1\right) = \dfrac{p\left(F_1\cap G\right)}{p(G)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx 0,533$.
$\quad$
a. Les $10$ tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
De plus, à chaque tirage il y a deux issues : $G$ et $\overline{G}$ avec $p(G)=0,525$.
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,525$.
$\quad$
b. $P(X=5) = \displaystyle \binom{10}{5}\times 0,525^5 \times (1-0,525)^5\approx 0,243$.
$\quad$
c. $P(X \le 8) = 1-P(X\ge 9) = 1-\left(P(X=9)+P(X=10)\right)$
$\phantom{P(X \ge 2)} =1-\left(\displaystyle \binom{10}{9}\times 0,525^9 \times (1-0,525)^{1}+ 0,525^{10} \right)$
$\phantom{P(X \ge 2)} \approx 0,984$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 2 $\qquad$ 6 points

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par: $$g(x) = 2x^3 – 1 + 2\ln x$$

Déterminer le tableau de variations de la fonction $g$ .
$\quad$
Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.
Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,1$.
$\quad$
En déduire le signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par: $$f(x) = 2x – \frac{\ln x}{x^2}$$

La courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d’un repère orthogonal $\Oij$, notée $\mathscr{C}_f$, est donnée en annexe.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. On remarquera que $\dfrac{\ln x}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x}$.
$\quad$
a. Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}$.
$\quad$
b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
$\quad$
c. Montrer que $f(\alpha) = 3\alpha – \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
$\quad$

Partie C

On appelle $(\Delta)$ la droite d’équation $y=2x$.

Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et de $(\Delta)$.
$\quad$
Tracer $(\Delta)$.
$\quad$
Montrer que $\mathscr{C}_f$ possède une seule tangente $(T)$ parallèle à $(\Delta)$, en un point $E$ dont on précisera les coordonnées.
Déterminer une équation de $(T)$.
$\quad$
On appelle $d$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $$d(x)=2x-f(x).$$
Déterminer la limite de $d$ en $+\infty$.
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
$\quad$
Pour $x>1$, on appelle $M$ le point de $\mathscr{C}_f$ d’abscisse $x$ et $M’$ celui de $(\Delta)$ d’abscisse $x$.
A partir de quelle valeur de $x$, arrondie au dixième par excès, la distance $MM’$ est-elle inférieure à $0,01$?

$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice 2

Partie A

$g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$g'(x)=2\times 3x^2+\dfrac{2}{x}$.
Sur $]0;+\infty[$, $3x^2 > 0$ et $\dfrac{2}{x}>0$.
Par conséquent $g'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.

$\lim\limits_{x \to 0^+} 2x^3-1 = -1$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} 2x^3-1 = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x$ par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
La fonction $g$ est continue, car dérivable, et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
De plus $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=+\infty$.
$0$ appartient bien à l’intervalle image de $]0;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$.
D’après le menu table de la calculatrice, on a $0,8 < \alpha < 0,9$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty$ et s’annule en $\alpha$. Par conséquent :
• $g(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
• $g(\alpha)=0$;
• $g(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.

Partie B

a. $\lim\limits_{x \to 0^+} 2x=0$
$\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x^2}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{x^2}=-\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{x \to +\infty} 2x=+\infty$
$\dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x}$
Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
$f'(x)=2-\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2 – 2x\ln x}{x^4} = 2 – \dfrac{x-2x\ln x}{x^3}$
$\phantom{f'(x)}=2-\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=\dfrac{2x^3-1+2 \ln x}{x^3} = \dfrac{g(x)}{x^3}$.
$\quad$
b. Sur $]0;+\infty[$, $x^3 > 0$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $g(x)$.
D’après la question A.3 on a :

c. On sait que $g(\alpha)=0 \ssi 2\alpha^3-1+2\ln \alpha = 0 \ssi \ln \alpha=\dfrac{1-2\alpha^3}{2}$
$f(\alpha)=2\alpha-\dfrac{\ln \alpha}{\alpha^2} = 2\alpha -\dfrac{1-2\alpha^3}{2\alpha^2}=2\alpha-\dfrac{1}{2\alpha^2}+\alpha=3\alpha-\dfrac{1}{2\alpha^2}$

Partie C

$f(x)-2x=-\dfrac{\ln x}{x^2}$
Le signe de $f(x)-2x$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
Par conséquent $\begin{cases} f(x)-2x \ge 0 \text{ sur } ]0;1] \\f(x)-2x \le 0 \text{ sur } [1;+\infty[\end{cases}$
Ainsi $\mathscr{C}$ est au-dessus de $(\Delta)$ sur $]0;1]$ et au-dessous sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
$\quad$
$\quad$
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
On cherche donc la valeur de $x$ telle que :
$$\begin{align*}
f'(x)=2 &\ssi 2-\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=2 \\
&\ssi \dfrac{2\ln x-1}{x^3} = 0 \\
&\ssi 2\ln x-1=0 \\
&\ssi \ln x = \dfrac{1}{2} \\
&\ssi x=\e^{\frac{1}{2}}
\end{align*}$$
Il existe donc une seule tangente à $\mathscr{C}_f$ parallèle à $(\Delta)$.
$f\left(\e^{\frac{1}{2}}\right) = 2\e^{\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2\e}$.
Ainsi $E$ a pour coordonnées $\left(\e^{\frac{1}{2}};2\e^{\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2\e}\right)$.
Une équation de $(T)$ est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
Donc, ici, $(T) : y=2\left(x-\e^{\frac{1}{2}}\right)+2\e^{\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2\e}$
Soit $y=2x-\dfrac{1}{2\e}$.
$\quad$
$d(x)=2x-f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$.
On a vu que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2} =0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} d(x)=0$.
Pour de très grandes valeurs de $x$ $(\Delta)$ et $\mathscr{C}_f$ sont très proches l’une de l’autre.
Remarque : On dit que la droite $(\Delta)$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$ en $+\infty$.
$\quad$
On a $MM’=d(x)$.
On cherche donc la valeur de $x$ telle que $\dfrac{\ln x}{x^2} < 0,01$.
$d(16,7) \approx 0,010~095$ et $d(16,8) \approx 0,009~997$.
C’est donc à partir de $x=16,8$ que $MM'<0,01$

[collapse]

$\quad$

Exercice 3 $\qquad$ 5 points

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\overline{z^n} = \overline{z}^n$.

$\quad$

Partie B

Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise ne compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.

Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation d’inconnue $z$ : $$z^2 -\overline{z} -1=0 \qquad (E)$$
Affirmation 1 : L’équation $(E)$ admet au moins une solution.
$\quad$
On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct, les points $A,B$ et $C$ d’affixes respectives $a=1+\ic$, $b=3\ic$ et $c=\left(\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}\right)+\ic\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2\right)$.
Affirmation 2 : Le triangle $ABC$ est équilatéral.
$\quad$
$(D)$ est l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tel que $|z-1|=|z+2|$.
Affirmation 3 : $(D)$ est une droite parallèle à l’axe des réels.
$\quad$
Les points $B$, $C$ et $D$ ont pour affixes respectives $b=\ic$, $c=-1$ et $d=-\ic$.
$(F)$ est l’ensemble des points d’affixe $z$ tel que $\dfrac{z+\ic}{z+1}$ soit un imaginaire pur .
Affirmation 4 : $(F)$ est le cercle de diamètre $[CD]$ privé du point $C$.
$\quad$

Correction Exercice 3

Partie A

Démontrons ce résultat par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\overline{z^n}=\overline{z}^n$.
Initialisation : Si $n= 0$ alors $\overline{z^n} = \overline{1} = \overline{z}^n$
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $\overline{z^n} = \overline{z}^n$
$\overline{z^{n+1}} = \overline{z^n \times z} = \overline{z^n} \times \overline{z} = \overline{z}^n \times \overline{z} = \overline{z}^{n+1}$
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout $n \in \N$, on a $\overline{z^n} = \overline{z}^n$.

Partie B

On pose $z=x+\ic y$
Alors :
$$\begin{align*}
z^2-\overline{z}-1=0&\ssi (x+\ic y)^2-(x-\ic y)-1 = 0\\
&\ssi x^2-y^2+2\ic xy-x+\ic y-1 =0 \\
&\ssi x^2-y^2-x-1+\ic y(2x+1)=0
\end{align*}$$
Prenons $y=0$ ce qui permet d’annuler la partie imaginaire de cette équation.
Pour annuler la partie réelle, il faut alors que $x^2-x-1=0$.
$\Delta = (-1)^2-4\times 1 \times (-1) =5>0$
$x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ sont donc solution de $x^2-x-1$ mais également de $z^2-\overline{z}-1=0$.
Affirmation 1 : Vraie.
Remarque : $x_1$ et $x_2$ ne sont pas les seules solutions de cette équation.
$\quad$
$AB=|b-a|=|2\ic -1|=\sqrt{5}$
$AC=|c-a|=\left|\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}+\ic\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1\right)\right| $ $=\sqrt{3-\sqrt{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}+1+\sqrt{3} }= \sqrt{5}$
$BC=|c-b|=\left|\sqrt{3}+\dfrac{1}{2}+\ic\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\right| $ $= \sqrt{3+\sqrt{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}+1-\sqrt{3}}=\sqrt{5}$
Le triangle $ABC$ est donc équilatéral.
Affirmation 2 : Vraie.
$\quad$
On appelle $A$ le point d’affixe $1$ et $B$ le point d’affixe $-2$.
$|z-1|=|z+2| \ssi \left|z-z_A\right| = \left|z-z_B\right| \ssi AM=BM$.
$(D)$ est donc la médiatrice de $[AB]$.
$A$ et $B$ sont deux points de l’axe des réels. La médiatrice de $[AB]$ est donc perpendiculaire à l’axe des réels.
Affirmation 3 : Fausse.
$\quad$
On pose $z=x+\ic y$.
$$\begin{align*}
\dfrac{z+\ic}{z+1} &=\dfrac{x+\ic y+\ic}{x+\ic y+1} \\\\
&=\dfrac{x+\ic(y+1)}{(x+1)+\ic y} \times \dfrac{(x+1)-\ic y}{(x+1) -\ic y} \\\\
&=\dfrac{x(x+1)+y(y+1)+\ic \left((x+1)y-xy\right)}{(x+1)^2+y^2}
\end{align*}$$
$\dfrac{z+\ic}{z+1}$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $\dfrac{x(x+1)+y(y+1)}{(x+1)^2+y^2}=0$
$\ssi x^2+x+y^2+y=0$ et $(x,y)\neq (-1;0)$
$\ssi \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4} = 0$ et $(x,y) \neq (-1;0)$
$\ssi \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$ et $(x,y) \neq (-1;0)$
$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$ est l’équation du cercle de centre $I\left(\dfrac{-1-\ic}{2}\right)$ et de rayon $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Le milieu de $[CD]$ a pour affixe $\dfrac{-1-\ic}{2}=z_I$ et $CD=|\ic-1|=\sqrt{2} = 2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Donc $[CD]$ est un diamètre du cercle précédent.
Le point tel que $(x,y) \neq (-1;0)$ est le point $C$.
Affirmation 4 : Vraie.

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 $\qquad$ 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite numérique $\left(a_{n}\right)$ définie par
$$\left\{\begin{array}{rcl}a_0&=&2 \\ \text{et pour tout entier naturel } n, a_{n+1}&=&\dfrac{1}{5} a_n +3\times 0,5^n.\end{array}\right.$$

a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(a_{n}\right)$ en utilisant des arrondis à $10^{-2}$ près: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
n& 0&1&2&3&4\\ \hline
a_{n}&\phantom{1}2\phantom{1}&\phantom{111}&\phantom{111}&\phantom{111}&\phantom{111}\\ \hline
\end{array}$$
$\quad$
b. A l’aide ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(a_{n}\right)$.
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $$a_{n} \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.$$
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $a_{n+1} – a_{n} =-\dfrac{4}{5}\left(a_n-\dfrac{15}{4}\times 0,5^n\right)$.
$\quad$
c. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(a_n\right)$ puis justifier qu’elle est convergente.
$\quad$
On souhaite déterminer, dans cette question, la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
Soit $\left(b_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $b_{n} = a_{n} – 10 \times 0,5^n$.
a. Démontrer que la suite $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le premier terme de la suite $\left(b_{n}\right)$.
$\quad$
b. En déduire, que pour tout entier naturel $n$, $$a_{n} = – 8 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times 0,5^n.$$
$\quad$
c. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$
$\quad$
Recopier et compléter les lignes numérotées de l’algorithme suivant afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $a_{n} \leqslant 0,01$.
$\quad$
Entrée :
$\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
Initialisation :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $a$ prend la valeur $2$
Traitement :
$\quad$ Tant que $\ldots (1)$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $\ldots (2)$
$\qquad$ $a$ prend la valeur $\ldots (3)$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$

Correction Exercice 4 (obligatoire)

a.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 0&1&2&3&4\\ \hline
a_{n}&2&3,4&2,18&1,19&0,61\\ \hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Il semblerait que la suite $\left(a_n\right)$ soit décroissante à partir du rang $1$.
$\quad$
a.
Initialisation : Si $n=1$
$a_1= 3,4$ et $\dfrac{15}{4}\times 0,5^1=1,875$ donc $a_1 \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^1$.
La propriété est vraie au rang $1$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $a_n\geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$.
$$\begin{align*}
a_{n+1} &= \dfrac{1}{5}a_n+3\times 0,5^n \\
&\geqslant \dfrac{1}{5} \times \dfrac{15}{4} \times 0,5^n + 3\times 0,5^n \\
&\geqslant \left(\dfrac{3}{4}+3\right) \times 0,5^n \\
&\geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n \\
&\geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^{n+1} \quad \text{car } 0,5^n \geqslant 0,5^{n+1}
\end{align*}$$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $a_n \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$.
$\quad$
b.
$$\begin{align*}
a_{n+1}-a_n &= \dfrac{1}{5}a_n+3\times 0,5^n-a_n \\
&=-\dfrac{4}{5}a_n+3\times 0,5^n \\
&=-\dfrac{4}{5}a_n+\dfrac{-4}{5}\times 3\times \dfrac{-5}{4}\times 0,5^n \\
&=-\dfrac{4}{5} \left(a_n-\dfrac{15}{4}\times 0,5^n\right)
\end{align*}$$
c. D’après la question \textbf{2.a} on sait que $a_n \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$.
Donc $a_n-\dfrac{15}{4}\times 0,5^n \ge 0$.
Par conséquent $a_{n+1}-a_n \leqslant 0$.
La suite $\left(a_n\right)$ est donc décroissante à partir du rang $1$.
$\quad$
On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$.
Par conséquent, $a_n \geqslant 0$, pour tout entier naturel $n$.
La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
$\quad$
a.
$$\begin{align*}
b_{n+1} &= a_{n+1}-10\times 0,5^{n+1} \\
&=\dfrac{1}{5}a_n+3\times 0,5^n-5\times 0,5^n \\
&=\dfrac{1}{5}a_n-2\times 0,5^n \\
&=\dfrac{1}{5} \left(a_n-10\times 0,5^n\right) \\
&=\dfrac{1}{5} b_n
\end{align*}$$
La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $b_0=2-10=-8$.
$\quad$
b. Ainsi $b_n=-8\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$.
Par conséquent $a_n=b_n+10\times 0,5^n = -8\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n+10\times 0,5^n$.
$\quad$
c. $0 < \dfrac{1}{5} <1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n = 0$.
$0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 0$.
$\quad$
Entrée :
$\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
Initialisation :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $a$ prend la valeur $2$
Traitement :
$\quad$ Tant que $a>0,01$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\qquad$ $a$ prend la valeur $-8\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n+10\times 0,5^n$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$
ou
$\quad$
Entrée :
$\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
Initialisation :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $a$ prend la valeur $2$
Traitement :
$\quad$ Tant que $a>0,01$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\qquad$ $a$ prend la valeur $\dfrac{1}{5}a+3\times 0,5^{n-1}$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Exercice 4 $\qquad$ 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

Un câbleur de connexions en fibres optiques A souhaite prévoir l’évolution du nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les câbleurs A et B ont chacun $300$ milliers d’abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, du câbleur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d’abonnés, en milliers, du câbleur B la $n$-ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :

pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1} =0,7a_n+0,2b_n+60\\b_{n+1}=0,1a_n+0,6b_n+70\end{cases}$.
On considère les matrices $M=\begin{pmatrix} 0,7&0,2 \\0,1&0,6\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix} 60\\70\end{pmatrix}$.

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n =\begin{pmatrix} a_n \\ b_n\end{pmatrix}$.

On rappelle que si $M$ est une matrice, on dit qu’elle est inversible s’il existe une matrice, notée $M^{-1}$ telle que $M^{-1} \times M =I$ où $I$ est la matrice identité : $\begin{pmatrix} 1&0 \\0&1\end{pmatrix}$. On admettra qu’alors, on a aussi $ M \times M^{-1} =I$

a. Déterminer $U_1$.
$\quad$
b. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
$\quad$
a. Calculer $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \times (I – M)$.
$\quad$
b. En déduire que la matrice $I – M$ est inversible et préciser son inverse.
$\quad$
c. Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
$\quad$
Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n – U$.
a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
$\quad$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $$V_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\\\
\dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}$$
a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite\index{suite} $\left(a_n\right)$.
$\quad$
b. Estimer le nombre d’abonnés du câbleur A à long terme.
$\quad$

Correction Exercice 4 (spécialité)

a. $a_1 = 0,7 \times 300 + 0,2 \times 300 + 60 = 330$
et $b_1 = 0,1 \times 300 + 0,6 \times 300 + 70 = 280$
Donc $U_1 = \begin{pmatrix} 330 \\\\280 \end{pmatrix}$.
$~$
b. $~$
$$ \begin{align} M \times U_n + P &= \begin{pmatrix} 0,7\times a_n + 0,2\times b_n \\\\0,1 \times a_n + 0n6 \times b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60 \\\\70 \end{pmatrix} \\\\
&= \begin{pmatrix} 0,7 \times a_n + 0,2\times b_n + 60\\\\0,1 \times a_n + 0,6 \times b_n + 70 \end{pmatrix} \\\\
&=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\\\b_{n+1} \end{pmatrix} \\\\
&=U_{n+1}
\end{align}$$
a. $(I – M) = \begin{pmatrix} 0,3&-0,2 \\\\ -0,1&0,4 \end{pmatrix}$
Donc $ \begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix} \times (I-M) = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix} = I$.
$~$
b. Par conséquent $I-M$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix}$.
$~$
c. On veut que :
$$\begin{align} U = M \times U + P & \Leftrightarrow U – M \times U = P \\\\
& \Leftrightarrow (I-M)U = P \\\\
&\Leftrightarrow U = (I – M)^{-1} \times P \\\\
& \Leftrightarrow U = \begin{pmatrix} 380 \\\\270 \end{pmatrix}
\end{align}$$
a. $~$
$$\begin{align} V_{n+1} &= U_{n+1}-U \\\\
& = M \times U_n + P -(M \times U + P) \\\\
&= M \times U_n – M \times U \\\\
&= M \times (U_n – U) \\\\
&= M \times V_n
\end{align}$$
b. Montrons ce résultat par récurrence.
Initialisation : $M^0 \times V_0 = I \times V_0 = V_0$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$~$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $V_n = M^n \times V_0$.
Alors $V_{n+1} = M \times V_n = M \times M^n \times V_0 = M^{n+1} \times V_0$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$~$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
Donc pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
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a. On a donc $$U_n = V_n + U = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\\\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270 \end{pmatrix}$$
Par conséquent $a_n = \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380$.
Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$ car $-1 < 0,8 < 1$
et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$.
Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 380$.
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b. A long terme l’opérateur A aura donc $380~000$ abonnés.

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