Pondichéry – Avril 2015

Bac ES/L – Correction – Mathématiques

Les énoncés de ce sujet de bac sont disponibles : Spécialité ici et Obligatoire ici.

 

Exercice 1

Partie A

On note $B$ l’événement “la batterie est défectueuse” et $D$ l’événement “le disque dur est défectueux”.

Proposition 1 : Fausse

La probabilité que la batterie d’un ordinateur fonctionne correctement est de $95\%$.

Parmi ces ordinateur, la probabilité que le disque dur fonctionne correctement est également de $95\%$.

Par conséquent la probabilité que l’ordinateur n’ait ni de problème de batterie ni de problème de disque dur est de $0,95 \times 0,95 = 0,9025$.

$\quad$

Proposition 2 : Vraie

D’après la propriété des probabilités totales

$\begin{align*} p(D) &= p(D \cap B) + p\left(D \cap \overline{B}\right) \\\\
& = 0,05 \times 0,02 + 0,95 \times 0,05 \\\\
&= 0,0485
\end{align*}$

$\quad$

Proposition 3 : Fausse

On cherche à calculer :

$\begin{align*} p_D(B) & = \dfrac{p(D \cap B)}{p(D)} \\\\
& = \dfrac{0,05 \times 0,02}{0,0485} \\\\
& \approx 0,0206 > 0,02
\end{align*}$

$\quad$

Partie B

Proposition 4 : Vraie

On appelle $A$ la variable aléatoire correspondant à l’autonomie de la batterie.

$P(A \ge 10) = 0,5 – P(8 \le A \le 10) \approx 0,159 < 0,2$

$\quad$

Partie C

Proposition 5 : Fausse

$n = 1~000 \ge 30$, $p = 0,98$ donc $np = 980 \ge 5$ n(1-p) = 20 \ge 5$

Un intervalle de fluctuation asymptotique est :

$\begin{align*} I_{1~000} & = \left[0,98 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,98 \times 0,02}}{\sqrt{1~000}}; 0,98 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,98 \times 0,02}}{\sqrt{1~000}}\right] \\\\
& \approx [0,971;0,989]
\end{align*}$

La fréquence observée des clés fonctionnant correctement est $f = \dfrac{950}{1000}=0,95 \notin I_{1~000}$.

Ce test remet en cause la communication de l’entreprise.

$\quad$

Exercice 2

Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. $\quad$
   $\quad$
2. La matrice de transition est $M = \begin{pmatrix} 0,6 & 0,2 & 0,2 \\\\0,1 & 0,5 & 0,4 \\\\0,2 & 0 & 0,8 \end{pmatrix}$.
   $\quad$
3. $N_2 = N_0 \times M^2 = \begin{pmatrix} 42 & 22 & 36 \end{pmatrix}$.
   Cela signifie donc qu’au bout de $2$ minutes, $42\%$ des internautes sont sur le site A, $22\%$ sur le site B et $36\%$ sur le site C.
   $\quad$
4. $N_0 \times M^{20} \approx \begin{pmatrix} 31,25 & 12,5 & 56,25 \end{pmatrix}$.
   L’état stable semble être $\begin{pmatrix} 31,25 & 12,5 & 56,25 \end{pmatrix}$.
   Cela signifie, qu’au bout d’un certain temps, $31,25\%$ des internautes seront sur le site A, $12,5\%$ sur le site B et $56,25\%$ sur le site C.
   $\quad$
5. a. On lit le coefficient $M_{(3;1)} = 0,2$.
   Il y a donc $20\%$ de chance que le site A soit infecté à l’instant $t=1$.
   $\quad$
   b. La seule façon que les trois sites soient infectés à l’instant $t=2$ c’est que l’internaute ait parcouru les sites C – A – B dans cet ordre.
   On lit donc le coefficient $M_{(3;2)}^2 = 0,04$.
   Il y a donc $4\%$ de chance que les 3 sites soient infectés à l’instant $t=2$.
   $\quad$

Exercice 2

Candidats ES n’ayant suivi l’enseignement de spécialité et candidats L

1. a.
   $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Test} ~~C < 400 & \times ~\times ~\times & \text{vrai} & \text{vrai} & \text{vrai} & \text{vrai}& \text{vrai} & \text{faux} \\\\
   \hline
   \text{Valeur de } C & 300 & 326 & 350 & 372 & 392 & 411& \\\\
   \hline
   \text{Valeur de } n & 0 & 1 & 2 &3 & 4 & 5& \\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. L’algorithme affiche alors $5$.
   Il s’agit du nombre d’années nécessaires pour que l’apiculteur possède plus de $400$ colonies d’abeilles.
   $\quad$
2. a. Il reste à l’apiculteur, à la fin de chaque hiver, $92\%$ de ses colonies.
   $C_{n+1} = 0,92C_n + 50$ et $C_0 = 300$.
   $\quad$
   b. $\quad$
   $\begin{align*}
   V_{n+1} & =625 – C_{n+1} \\\\
   & = 625 – 0,92C_n – 50 \\\\
   & = 575 – 0,92C_n \\\\
   & = 0,92(625 – C_n) \\\\
   & = 0,92V_n
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. La suite $(V_n)$ est donc géométrique de raison $0,92$ et de premier terme $V_0 = 325$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $V_n = 325 \times 0,92^n$.
   Or $C_n = 625 – V_n = 625 – 325 \times 0,92^n$.
   $\quad$
   d. On calcule pour cela $C_{10} \approx 483,82$.
   Il peut donc espérer environ $484$ colonies en 2024.
   $\quad$
3. a.
   Variables :
   $\quad$ $n$ est un nombre entier naturel
   $\quad$ $C$ est un nombre réel
   Traitement :
   $\quad$ Affecter à $C$ la valeur $300$
   $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $0$
   $\quad$ Tant que $C < 600$ faire
   $\quad$ $\quad$ $C$ prend la valeur $C – C \times 0,08 + 50$
   $\quad$ $\quad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $n$
   b. Pour répondre à cette question on résout l’équation :
   $\begin{align*}
   C_n > 600 & \Leftrightarrow 625 – 325 \times 0,92^n  > 600\\\\
   & \Leftrightarrow -325\times 0,92^n > -25 \\\\
   & \Leftrightarrow -0,92^n > \dfrac{1}{13} \\\\
   & \Leftrightarrow 0,92^n < \dfrac{1}{13} \\\\
   & \Leftrightarrow n \ln 0,92 < – \ln 13 \\\\
   & \Leftrightarrow n > \dfrac{-\ln 13}{\ln 0,92} \\\\
   & \Leftrightarrow n > 30,76
   \end{align*}$
   Il peut donc espérer atteindre son objectif  dans $31$ ans soit en 2045.

$\quad$

Exercice 3

Partie A

1. $f(-1) = -2 \times 1 \e = -2\e \approx -5,44$ à $10^{-2}$ près.
   $\quad$
2. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x) = -2\e^{-x} – \times (-1) \times 2(x + 2)\e^{-x} = 2x\e^{-x} + 2\e^{-x} = 2(x+1)\e^{-x}$.
   $\quad$
3. Puisque la fonction exponentielle est strictement positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x+1$.
   Par conséquent $f$ est décroissante sur $]-\infty;-1]$ et croissante sur $[-1;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B

La courbe $C_3$ représente la fonction $f$, la courbe $C_1$ sa dérivée et $C_2$ sa dérivée seconde.

La dérivée seconde est positive sur $]-\infty;0]$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $]-\infty;0]$.

$\quad$

Exercice 4

Partie A

1. Les coûts de fabrication de $21~000$ pièces s’élèvent à $250~000$ euros.
   $\quad$
2. L’entreprise réalise un bénéfice si elle produit entre $3~000$ et $22~500$ pièces.
   $\quad$
3. Le bénéfice semble maximal pour $14~000$ pièces.
   $\quad$

Partie B

1. La fonction $B$ est dérivable sur $[1;30]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $B'(x) = -x + 6 + 2\ln x + 2 \dfrac{x}{x} = -x + 8 + 2\ln x$.
   $\quad$
2. $B\prime \prime (x) > 0 \Leftrightarrow \dfrac{-x+2}{x} > 0$.
   Or $x > 1$ donc le signe de $B\prime\prime (x)$ ne dépend que de celui de $-x+2$.
   La fonction $B’$ est donc croissante sur $[1;2]$ et décroissante sur $[2;30]$.
   De plus $B'(1) = 7 + 2\ln 1 = 7$.
   $B'(2) = -2 +8 + 2\ln 2 = 6 + 2\ln 2 > 0$.
   $B'(30) = -30 + 8 + 2\ln 30 = -22 + 2\ln 30 < 0$.
   $\quad$
3. a. La fonction $B’$ est strictement positive sur $[1;2]$.
   L’équation $B'(x) = 0$ n’admet aucune solution sur cet intervalle.
   Sur l’intervalle $[2;30]$, la fonction $B’$ est continue et strictement décroissante.
   $B'(2) > 0$ et $B'(30) < 0$.
   Par conséquent $0 \in [B'(30);B'(2)]$.
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $B'(x) = 0$ possède une unique solution sur $[2;30]$.
   $\quad$
   Donc l’équation $B'(x) = 0$ possède une unique solution sur $[1;30]$.
   $\quad$
   b. Une valeur approchée de la solution est $\alpha \approx 13,153$.
   $\quad$
4. Par conséquent $B'(x)$ est strictement positif sur $[1;\alpha[$ nul si $x=\alpha$ et strictement négatif sur $]\alpha;30]$.
   
   
   $B(30) = -290 + 60 \ln 30$.
   $B(\alpha) \approx 40,199$
   $\quad$
5. Le bénéfice maximal est d’environ $40~000$ euros et sera réalisé quand elle produit $13~153$ pièces.