Bac ES/L – Métropole – Juin 2019

Métropole – Juin 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(R\cap S)+p\left(\conj{R}\cap S\right) \\
    &=0,7\times 0,4+0,3\times 0,2 \\
    &=0,34\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} p_S\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{R}\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,3\times 0,2}{0,34} \\
    &\approx 0,18\end{align*}$
    Affirmation 1 fausse
    $\quad$
  2. L’espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{k+18}{2}$
    Par conséquent $\dfrac{k+18}{2}=12\ssi k+18=24\ssi k=6$.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. L’équation est définie sur $]0;+\infty[$.
    $\begin{align*} &\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\e}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5 \\
    \ssi& 2\ln(x)-\ln\left(x^5\right)+\ln(\e)+\ln(2)=\ln(2)+\ln(x)+5\\
    \ssi &2\ln(x)-5\ln(x)+1=\ln(x)+5\\
    \ssi &-4\ln(x)=4\\
    \ssi &\ln(x)=-1\\
    \ssi &x=\e^{-1}\\
    \ssi &x=\dfrac{1}{\e}\end{align*}$
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;5]$.
    $f(0)=30>0$ et $f(5)=-5<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[0;5]$.
    $\quad$
    La fonction $f’$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[5;15]$.
    $f(15)=20>0$ et $f(5)=-5<0$.
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur $[5;15]$
    La fonction $f’$ s’annule donc deux fois sur $[0;15]$.
    La courbe représentative de la fonction $f$ possède ainsi deux tangentes parallèle à l’axe des abscisses.
    Affirmation 4 fausse.
  5. La fonction $f’$ est strictement croissante sur l’intervalle $[5;15]$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur cet intervalle.
    Affirmation 5 vraie.

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

  1. a. On considère un entier naturel $n$.
    Chaque année, Laurence éliminera $4 \%$ des pommiers existants. Il restera donc $0,96u_n$ pommiers d’une année sur l’autre.
    […] et replantera $22$ nouveaux pommiers par hectare.
    Ainsi $u_{n+1}=0,96u_n+22$.
    $\quad$
    b. En 2020 on a $n=2$.
    $u_1=0,96\times 300+22=310$ et $u_2=0,96\times 310+22=319,6$.
    Il y aura donc environ $320$ pommiers par hectare en 2020.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U\pp 400\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow 0,96\times U+22\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les différentes valeurs prises par les deux variables.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    N&U\\
    \hline
    0&300\\
    \hline
    1&310\\
    \hline
    2&319,6\\
    \hline
    3&328,81\\
    \hline
    4&337,66\\
    \hline
    5&346,15\\
    \hline
    6&354,31\\
    \hline
    7&362,13\\
    \hline
    8&369,65\\
    \hline
    9&376,86\\
    \hline
    10&383,79\\
    \hline
    11&390,44\\
    \hline
    12&396,82\\
    \hline
    13&402,94\\
    \hline
    \end{array}$
    En sortie de l’algorithme on a $N=13$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-550 \ssi u_n=v_n+550$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-550\\
    &=0,96u_n+22-550\\
    &=0,96u_n-528\\
    &=0,96\left(v_n+550\right)-528\\
    &=0,96v_n+528-528 \\
    &=0,96v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $v_0=u_0-550=-250$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=-250\times 0,96^n$.
    Et $u_n=v_n+550=550-250\times 0,96^n$.
    $\quad$
    c. En 2025 on a $n=7$.
    $u_7=550-250\times 0,96^7\approx 362,14$
    En 2025, Laurence aura donc $362,14\times 14=5~069,96$ soit $5~070$ pommiers sur son exploitation.
    $\quad$
    d. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n>400 &\ssi 550-250\times 0,96^n>400 \\
    &\ssi -250\times 0,96^n>-150 \\
    &\ssi 0,96^n<0,6 \\
    &\ssi n\ln 0,96<\ln 0,6\\
    &\ssi n> \dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 0,6}{\ln 0,96}\approx 12,51$.
    Ainsi $u_n>400$ pour $n\pg 13$.
    On retrouve bien le résultat de la question 2.b.
    $\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

  1. a. On obtient le graphe suivant :
    $\quad$
    b. On obtient la matrice de transition suivante : $\begin{pmatrix} 0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}$
    $\quad$
  2. a. On a $P_1=\begin{pmatrix} 0&1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. On a : $$\begin{align*}M^2&=M\times M\\
    &=\begin{pmatrix} 0,8^2+0,4\times 0,2&0,8\times 0,2+0,6\times 0,2\\
    0,4\times 0,8+0,6\times 0,4&0,4\times 0,2+0,6^2\end{pmatrix} \\
    &=\begin{pmatrix}0,72&0,28\\0,56&0,44\end{pmatrix}\end{align*}$$
    $\quad$
    On a $P_3=P_1\times M^2=\begin{pmatrix}0,56&0,44\end{pmatrix}$.
    La probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3$\ieme$ jour est $0,56$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier $n$ on a $P_{n+1}=P_n\times M$.
    Donc $\begin{cases} d_{n+1}=0,8d_n+0,4r_n\\r_{n+1}=0,2d_n+0,6r_n\end{cases}$
    $\quad$
    b. Dans l’algorithme 1, la variable $D$ est modifiée pour le calcul de $R$. Il ne convient pas.
    On ne veut calculer que $2$ termes de la suite. L’algorithme 2 ne convient pas.
    Il faut donc utiliser l’algorithme 3.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
    $d_n+r_n=1 \ssi d_n=1-r_n$
    Donc :
    $\begin{align*} r_{n+1}&=0,2d_n+0,6r_n\\
    &=0,2\left(1-r_n\right)+0,6r_n\\
    &=0,2-0,2r_n+0,6r_n\\
    &=0,4r_n+0,2\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $v_n=r_n-\dfrac{1}{3} \ssi r_n=v_n+\dfrac{1}{3}$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=r_{n+1}-\dfrac{1}{3} \\
    &=0,4r_n+0,2-\dfrac{1}{3}\\
    &=0,4r_n-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4\left(v_n+\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4v_n+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{15}\\
    &=0,4v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,4$ et de premier terme $v_0=r_0-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}$
    Et :
    $\begin{align*} r_n&=v_n+\dfrac{1}{3}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n}\times \dfrac{1}{0,4}\\
    &=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times 0,4^n\end{align*}$
    $\quad$
    c. $0<0,4<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,4^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} r_n=\dfrac{1}{3}$.
    Sur le long terme, la probabilité que Julie emprunte la voie rapide est $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} P(D<8)&=P(D<15,5)-P(8<D<15,5)\\
    &=0,5-P(8<D<15,5) \\
    &\approx 0,11\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait pénurie d’eau est environ égale à $0,11$.
    $\quad$
  2. On a :
    $P(8\pp D\pp 26) \approx 0,85$
    La probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière est environ égale à $0,85$.
    $\quad$
  3. On a $P(3,5<D<27,5)=P(\mu-2\sigma<D<\mu+2\sigma)\approx 0,95$.
    la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5$ m$^3$.s$^{-1}$ et $27,5$ m$^3$.s$^{-1}$ est d’environ $0,95$.
    $\quad$

Partie B

  1. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques.
    À chaque tirage il y a deux issues $S$ : “L’équipe de Sébastien a effectué le relevé” et $\conj{S}$.
    De plus $p(S)=0,25$.
    On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébstien.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
    $\quad$
  2. On a $P(X=4)=\ds \binom{10}{4}0,25^4\times 0,75^6\approx 0,15$.
    La probabilité que $4$ relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien est environ égale à $0,15$.
    $\quad$
  3. On a :
    $P(X\pg 2)=1-P(X<2)=1-P(X\pp 1) \approx 0,76$.
    La probabilité qu’au moins $2$ relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien est environ égale à $0,76$.
    $\quad$

Partie C

Un intervalle de confiance est $I_n=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$
Son amplitude est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

On veut donc résoudre :
$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{n}}\pp 0,1 &\ssi \sqrt{n}\pg 20\\
&\ssi n\pg 400\end{align*}$

Il faut donc réaliser au moins $400$ mesures.

$\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Graphiquement $f(0)=112$ et $f(60)=70$.
    $\quad$
  2. Le point $A$ d’abscisse $7$ est un point d’inflexion. Donc $f\dsec(7)=0$.
    $\quad$
  3. a.

    $\quad$
    b. L’aire du domaine contient au moins $20$ carreaux.
    Chaque carreau a une aire de $10\times 20=200$ u.a.
    L’aire du domaine est donc supérieure ou égale à $20\times 200=4~000$ u.a.
    L’affirmation n’est donc pas correcte.
    $\quad$

Partie B

  1. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable.
    Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;60]$ on a:
    $\begin{align*} f'(x)&=14\e^{-x/5}+(14x+42)\times \left(-\dfrac{1}{5}\e^{-x/5}\right) \\
    &=\left(14-\dfrac{1}{5}\times (14x+42)\right)\e^{-x/5} \\
    &=\dfrac{1}{5}\left(70-14x-42\right)\e^{-x/5}\\
    &=\dfrac{1}{5}(-14x+28)\e^{-x/5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-14x+28$.
    $-14x+28=0 \ssi 14x=28\ssi x=2$
    $-14x+28>0\ssi -14x>-28\ssi x<2$
    Ainsi :
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;2[$;
    – $f'(2)=0$;
    – $f'(x)<0$ sur l’intervalle $]2;60]$.
    $\quad$
    b. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. D’après le logiciel de calcul formel on a $f\dsec(x)=14\e^{-x/5}\times \dfrac{x-7}{25}$.
    La fonction exponentielle est strictement croissante sur l’intervalle $[0;60]$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
    Or $x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$.
    La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0;7]$ et convexe sur l’intervalle $[7;60]$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[0;60]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $\begin{align*} G'(x)&=-70\e^{-x/5}+(-70x-560)\times \left(-\dfrac{1}{5}\e^{-x/5}\right) \\
    &=(-70+14x+112)\e^{-x/5}\\
    &=(14x+112)\e^{-x/5}\\
    &=g(x)\end{align*}$
    La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;60]$.
    $\quad$
    b. Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;60]$ par $F(x)=70x+(-70x-560)\e^{-x/5}$
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} I&=\ds \int_0^{60} f(x)\dx \\
    &=F(60)-F(0) \\
    &=4~200-4~760\e^{-12}+560\\
    &=4~760\left(1-\e^{-12}\right)\\
    &\approx 4~760 \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

La surface à vernir a une aire égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=2I+5~400 \\
&\approx 14~920\text{ cm}^2 \end{align*}$

Or $\dfrac{1}{4}\times 10$ m$^2$ $=25~000$ cm$^2$ $>14~960$ cm$^2$.

L’ébéniste aura donc suffisamment de vernis.
$\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

  1. Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.
    On considère l’arbre pondéré suivant :

    Affirmation 1 : La probabilité de ܴ$\conj{R}$ sachant ܵest $0,06$.
    $\quad$
  2. Soit ݇ un réel tel que $0\pp k<18$. Soit ܺ$X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[݇k ; 18]$. On suppose que l’espérance de ܺ$X$ est égale à $12$.

    Affirmation 2 : La valeur de $k$ est $9$.
    $\quad$

  3. On considère l’équation suivante : $$\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\e}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5$$

    Affirmation 3 :$\dfrac{1}{\e}$ est l’unique solution de cette équation.
    $\quad$

  4. Soit ݂$f$ une fonction dérivable sur l’intervalle $[0 ; 15]$. On suppose que sa fonction dérivée, notée ݂$f’$, est continue sur $[0 ; 15]$. Les variations de $f’$ sont représentées dans le tableau ci-dessous.

    Affirmation 4 : La courbe représentative $C_f$ de la fonction ݂$f$ admet une et une seule tangente parallèle à l’axe des abscisses.
    $\quad$
    Affirmation 5 : La fonction ݂$f$ est convexe sur $[5 ; 15]$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES n’ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

En 2018, Laurence, souhaitant se lancer dans l’agriculture biologique, a acheté une ferme de $14$ hectares de pommiers. Elle estime qu’il y a $300$ pommiers par hectare.
Chaque année, Laurence éliminera $4 \%$ des pommiers existants et replantera $22$ nouveaux pommiers par hectare.
Pour tout entier naturel $n$ ݊, on note $u_n$ le nombre de pommiers par hectare l’année 2018 $+n$ ݊. On a ainsi $u_0=300$.

  1.  a. Justifier que, pour tout entier naturel ݊$n$, on a $u_{n+1}=0,96u_n+22$
    $\quad$
    b. Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l’unité, en 2020.
    $\quad$
  2. Laurence veut savoir à partir de quelle année la densité de pommiers dépassera $400$ pommiers par hectare. Pour cela, on utilise l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    N\leftarrow 0\\
    U\leftarrow 300\\
    \text{Tant que } U\ldots\\
    \hspace{1cm} N\leftarrow N+1\\
    \hspace{1cm} U\leftarrow \ldots\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessus pour qu’il détermine le rang de l’année cherchée.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de ܰ en sortie de l’algorithme ?
    $\quad$
  3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant $v_n=u_n-550$, pour tout entier naturel ݊.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel ݊$n$, exprimer $v_n$ en fonction de ݊$n$ puis démontrer que : $$u_n=550-250\times 0,96^n$$
    $\quad$
    c. Estimer le nombre de pommiers de l’exploitation de Laurence en 2025.
    $\quad$
    d. En résolvant l’inéquation $u_n>400$ , retrouver le résultat obtenu à la question 2. b.
    $\quad$

Exercice 2     5 points

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Pour se rendre à l’université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l’un passant par des routes départementales, l’autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.
Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu’elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de $0,6$.
Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu’elle emprunte la voie rapide le lendemain est de $0,2$.
Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.
On note :

  • $D$ l’événement « Julie emprunte les routes départementales » ;
  • $R$ l’événement « Julie emprunte la voie rapide ».
  1. a. Traduire ces informations à l’aide d’un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $D$ et ܴ$R$.
    $\quad$
    b. Donner la matrice de transition $M$ correspondant au graphe probabiliste.
    Les sommets du graphe seront rangés dans l’ordre alphabétique.
    $\quad$
  2. Pour tout entier ݊ supérieur ou égal à $1$, l’état probabiliste le ݊$n$-ième jour est défini par la matrice ܲ$P_n=\begin{pmatrix}d_n&r_n\end{pmatrix}$ désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le ݊$n$-ième jour et $r_n$ la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le ݊$n$-ième jour.
    a. Donner ܲ$P_1$.
    $\quad$
    b. Calculer $M^2$ et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $3^{\e}$ jour.
    $\quad$
  3. a. Exprimer, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul, ܲ$P_{n+1}$ en fonction de ܲ$P_n$ et en déduire les expressions de ݀$d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de ݀$d_n$ et $r_n$.
    $\quad$
    b. Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes $d_3$ et $r_3$ ?
    $\quad$
    $$\begin{array}{|l|l|l|}
    \hline
    \text{Algorithme 1}&\text{Algorithme 2}&\text{Algorithme 3}\\
    \hline
    D\leftarrow 0&D\leftarrow 0&D\leftarrow 0\\
    R\leftarrow 1&R\leftarrow 1&R\leftarrow 1\\
    \text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}&\text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}&\text{Pour $N$ allant de $1$ à $3$}\\
    \hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R&\hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R&\hspace{1cm}D\leftarrow 0,8D+0,4R\\
    \hspace{1cm}R\leftarrow 0,2D+0,6R&\hspace{1cm}R\leftarrow 1-D&\hspace{1cm}R\leftarrow 1-D\\
    \text{Fin Pour}&\text{Fin Pour}&\text{Fin Pour}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. Montrer que, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul, $r_{n+1}=0,4r_n+0,2$.
    $\quad$
  5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=r_n-\dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel ݊$n$ non nul.
    a. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de ݊$n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel ݊$n$ non nul : $$r_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times 0,4^n$$
    $\quad$
    c. Que peut-on prévoir sur le long terme ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A

Les cours d’eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou pénurie d’eau.
Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d’une rivière.
Ce débit en mètre cube par seconde ($\text{m}^3.\text{s}^{-1}$) peut être modélisé par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu=15,5$ et $\sigma=6$.
On estime qu’il y a pénurie d’eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à $8 \text{ m}^3.\text{s}^{-1}$.
On estime qu’il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à $26\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$.
Entre ces deux débits, il n’y a pas de vigilance particulière.

  1. Calculer la probabilité qu’il y ait pénurie d’eau.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière.
    $\quad$
  3. Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$ et $27,5\text{ m}^3.\text{s}^{-1}$ est d’environ $0,95$.
    $\quad$

Partie B
Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d’eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.
Un quart des relevés est effectué par l’équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.
On choisit $10$ relevés au hasard sur l’ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à $10$ tirages avec remise. On s’intéresse au nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébastien parmi ces $10$ relevés.

  1. Quelle loi de probabilité modélise cette situation ? Préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que $4$ relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’au moins $2$ relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien.
    $\quad$

Partie C
Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l’eau : « satisfaisante » ou « non satisfaisante ». On s’intéresse à la proportion de relevés de qualité « satisfaisante ».
Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de $95 \%$ dont l’amplitude est inférieure à $0,1$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d’un fauteuil (ébauche du fauteuil en annexe). On modélise l’accoudoir à l’aide de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 60]$ par : $$f(x)=70+(14x+42)\e^{-x/5}$$
La courbe représentative de $f$ ݂, notée $C_f$ est donnée en annexe.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $[0 ; 60]$. On note $f’$ sa fonction dérivée et ݂$f\dsec$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A
Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de $f$ donnée en annexe.

On admet que le point $A$ de $C_f$ d’abscisse $7$ est un point d’inflexion de $C_f$.

  1. Déterminer une valeur approchée de ݂$f(0)$ et ݂$f(60)$.
    $\quad$
  2. Déterminer ݂$f\dsec(7)$.
    $\quad$
  3. On considère la surface située entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=60$.
    a. Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l’annexe.
    $\quad$
    b. L’ébéniste estime l’aire de cette surface à $3~800$ unités d’aire. Cette estimation est-elle correcte ?
    $\quad$

Partie B

  1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 60]$ on a : $$f'(x)=\dfrac{1}{5}(-14x+25)\e^{-x/5}$$
    $\quad$
  2. a. Étudier le signe de ݂$f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction ݂$f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    On arrondira à l’unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.
    $\quad$
  3. Un logiciel de calcul formel permet d’afficher les lignes suivantes :


    En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de ݂$f$.
    $\quad$

  4. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 60]$, on pose :
    $$g(x)=(14x+42)\e^{-x/5} \quad \text{et} \quad G(x)=(-70x-560)\e^{-x/5}$$
    a. Montrer que $G$ est une primitive de ݃$g$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    b. En déduire une primitive de ݂$f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur exacte de $\ds \int_0^{60} f(x)\dx$ , puis en donner une valeur approchée à l’unité d’aire près.
    $\quad$

Partie C
L’ébéniste découpe $2$ accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l’annexe en choisissant comme unité le cm.
Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (annexe) ainsi que le dossier du fauteuil dont l’aire est égale à $5~400$ cm$^2$. Or il lui reste le quart d’un petit pot de vernis pouvant couvrir $10$ m$^2$. Aura-t-il suffisamment de vernis ?
$\quad$

Annexe