Bac ES/L – Antilles Guyane – Septembre 2019

Antilles Guyane – Septembre 2019

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici .

Ex 1

Exercice 1

  1. Sur l’intervalle $]-1;+\infty[$
    $\begin{align*} \ln 5+\ln(x+1)=1&\ssi \ln\left(5(x+1)\right)=\ln \e \\
    &\ssi 5(x+1)=\e \\
    &\ssi x+1=\dfrac{\e}{5} \\
    &\ssi x=\dfrac{\e}{5}-1\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $f'(x)=2\times \dfrac{1}{x}-1$
    Donc $f'(2)=2\times \dfrac{1}{2}-1=0$
    Réponse b
    $\quad$
  3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant :
    $\begin{align*} 2^n>175&\ssi n\ln 2>\ln 175 \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln 175}{\ln 2}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln 175}{\ln 2}\approx 7,45$
    Ainsi, le plus petit entier naturel $n$ cherché est $8$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. $f’$ est la dérivée seconde de la fonction $F$.
    $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-3;-1]$ donc $F$ est convexe sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$

 

Ex 2 obl

Exercice 2

Partie A

La situation peut être représentée à l’aide de cet arbre pondéré :

  1. On veut calculer $P(A\cap C)=\dfrac{900}{1~500}\times 0,95=0,57$
    La probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges est égale à $0,57$.

    $\quad$

  2. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}P(C)&=P(A\cap C)+P(B\cap C) \\
    &=0,57+\dfrac{600}{1~500}\times 0,92 \\
    &=0,938\end{align*}$

    La probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est $0,938$.

    $\quad$

  3. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_{\conj{C}}(B)&=\dfrac{P\left(B\cap \conj{C}\right)}{P\left(\conj{C}\right)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{600}{1~500}\times 0,08}{1-0,938}\\
    &\approx 0,516\end{align*}$

    La probabilité que le flacon provienne du site B sachant qu’il un aspect non conforme est environ égale à $0,516$.
    $\quad$

Partie B

On a :
$\begin{align*}P(X\pg 98)&=P(98\pp X\pp 100)+P(X\pg 100) \\
&=P(98\pp X\pp 100)+0,5 \\
&\approx 0,977\end{align*}$

La probabilité qu’un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli est environ égale à $0,977$.
$\quad$
Partie C
On a $n=120$ et $p=0,96$
Ainsi $n=120\pg 30$, $np=115,2 \pg 5$ et $n(1-p)=4,8<5$
Normalement, on ne peut pas utiliser les formules vues en terminales sur les intervalles de fluctuation asymptotique à $95\%$.
On considère la variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,96$ comptant le nombre de flacons correctement remplis.
On doit donc chercher les plus petites valeurs de $a$ et $b$ telles que $P(X\pp a)>0,025$ et $P(X\pp b)\pg 0,975$.
À l’aide de la calculatrice, on trouve $a=111$ et $b=119$
On obtient ainsi l’intervalle de fluctuation (pas asymptotique, attention) au seuil de $95\%$ :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[\dfrac{111}{120};\dfrac{119}{120}\right] \\
&\approx [0,925;0,992]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{120-18}{120}=0,85 \notin I_{120}$.
Au risque d’erreur de $95\%$, l’affirmation du producteur est fausse.
$\quad$
Si la vérification des conditions n’a pas été faite au préalable, voici les résultats obtenus (mais faux!).
Un intervalle de fluctuation asymptotique, au seuil de $95\%$,  de la proportion de flacons correctement remplis est :
$\begin{align*} I_{120}&=\left[0,96-1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{120}};0,96+1,96\sqrt{\dfrac{0,96\times 0,04}{120}}\right] \\
&\approx [0,924;0,996]\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{120-18}{120}=0,85 \notin I_{120}$.
Au risque d’erreur de $95\%$, l’affirmation du producteur est fausse.
$\quad$

 

Ex 2 spé

Exercice 2

  1. Nous allons déterminer le degré des sommets.
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
    \hline
    \text{Degré}&5&4&4&2&4&5&2\\
    \hline
    \end{array}$
    Exactement deux sommets de ce graphe connexe sont de degré impair.
    Il est donc impossible de construire un cycle eulérienne.
    Le chasse-neige ne peut pas, par conséquent, partir de la station $G$ et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes.
    $\quad$
  2. D’après la question précédente, le graphe connexe possède une chaîne eulérienne.
    Elle peut donc parcourir une et une seule fois chacune des routes pour traiter l’ensemble du secteur.
    $\quad$
  3. Le nombre $10$ signifie qu’il existe $10$ exactement chemins permettant de relier les sommets $G$ et $D$ en $4$ étapes.
    $\quad$
  4. Nous allons utiliser l’algorithme de Dijsktra.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
    \hline
    \phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&0&G\\
    \hline
    14(G)&38(G)&&&&&\phantom{111(A)}&A\\
    \hline
    &38(G)&78(A)&&49(A)&106(A)&&B\\
    \hline
    &&78(A)&&49(A)&106(A)&&E\\
    \hline
    &&78(A)&111(E)&&72(E)&&F\\
    \hline
    &&78(A)&89(F)&&&&C\\
    \hline
    &&&89(F)&&&&D\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le parcours le plus rapide est $G-A-E-F-D$. Il faut $89$ minutes pour aller de la station $G$ à la station $D$.
    $\quad$
  5. Le parcours le plus rapide, dans ce cas, est $G-A-E-D$. Il mettrait alors $111$ minutes.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. a. On a $u_1=(1-0,2)\times u_0+600=0,8\times 10~000+600=8~600$
    et $u_2=0,8\times 8~600+600=7~480$
    $\quad$
    b. Il coupe $20\%$ des arbres chaque année. Cela signifie donc qu’il en conserve $80\%$, ce qui représente $0,8u_n$.
    Chaque année, il plante également $600$ nouveaux pieds d’arbre.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8\times u_n+600$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-3~000 \ssi u_n=v_n+3~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-3~000 \\
    &=0,8u_n+600-3~000\\
    &=0,8u_n-2~400\\
    &=0,8\left(v_n+3~000\right)-2~400\\
    &=0,8v_n+2~400-2~400\\
    &=0,8v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-3~000=7~000$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=7~000\times 0,8^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent $u_n=v_n+3~000=7~000\times 0,8^n+7~000$.
    $\quad$
    d. $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=3~000$.
    Si le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle, il y aura $3~000$ arbres sur la parcelle sur le long terme.
    $\quad$

Partie B

  1. Dans l’algorithme 1, comme la condition de la boucle est $U\pp 4~000$, on ne rentre jamais dans celle-ci.
    Dans l’algorithme 2, il ne faut élever $0,8$ à la puissance $N$ (il s’agit d’un mélange entre la formule par récurrence et la formule explicite de $u_n$).
    $\quad$
  2. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} u_n\pp 4~000&\ssi 7~000\times 0,8^n+3~000 \pp 4~000 \\
    &\ssi 7\times 0,8^n+3\pp 4 \\
    &\ssi 7\times 0,8^n\pp 1 \\
    &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{1}{7} \\
    &\ssi n\ln 0,8 \pp \ln \dfrac{1}{7} \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{7}}{\ln 0,8}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{7}}{\ln 0,8} \approx 8,7$.
    La plus petite valeur de $n$ cherchée est donc $9$.
    C’est donc en 2027 qu’il devra cesser cesser son plan de réaménagement.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. La droite $\mathscr{D}$ passe par les points $O(0;0)$ et $A(0,5;1)$.
    $0\neq 0,5$ par conséquent le coefficient directeur de cette droite est :
    $a=\dfrac{1-0}{0,5-0}=2$.
    La droite $\mathscr{D}$ passant par l’origine du repère a alors pour équant $y=2x$.
    $\quad$
  2. La tangente $T$ est horizontale. Par conséquent $f'(1)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ semble concave sur l’intervalle $[0;1,75]$. La courbe $\mathscr{C}$ semble en effet située sous ses tangentes sur cet intervalle.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;3]$.
    Pour tout réel $x$ de cet intervalle, on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-0,5x^2}+2x\times (-0,5\times 2x)\e^{-0,5x^2} \\
    &=(2-2x^2)\e^{-0,5x^2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2-2x^2$.
    Mais $2-2x^2=2\left(1-x^2\right)=2(1-x)(1+x)$
    Sur l’intervalle $[0;3]$, on a $1+x>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$
    et $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{3-0}\ds \int_0^3 f(x)\dx \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(F(3)-F(0)\right) \\
    &=\dfrac{1}{3}\left(2-2\e^{-4,5}\right)\\
    &\approx 0,659\end{align*}$
    $\quad$

Partie C

La fonction $f$ atteint son maximum pour $x=1$ et $f(1)=2\e^{-0,5}\approx 1,21$.
Cela signifie donc qu’environ $1,21$ millions de lits étaient occupés lors du pic de la maladie. La première affirmation est donc vraie.

D’après la question B.2. la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ est environ égale à $0,659$.
Cela signifie que sur les trois mois d’été, en moyenne, environ $659~000$ lits ont été occupés.
La seconde affirmation est donc fausse.

$\quad$

 

 

Énoncé

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