Exercice 1

1. Sur l’intervalle $]-1;+\infty[$
   $\begin{align*} \ln 5+\ln(x+1)=1&\ssi \ln\left(5(x+1)\right)=\ln \e \\
   &\ssi 5(x+1)=\e \\
   &\ssi x+1=\dfrac{\e}{5} \\
   &\ssi x=\dfrac{\e}{5}-1\end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$
2. Pour tout réel $x>0$ on a :
   $f'(x)=2\times \dfrac{1}{x}-1$
   Donc $f'(2)=2\times \dfrac{1}{2}-1=0$
   Réponse b
   $\quad$
3. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant :
   $\begin{align*} 2^n>175&\ssi n\ln 2>\ln 175 \\
   &\ssi n>\dfrac{\ln 175}{\ln 2}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln 175}{\ln 2}\approx 7,45$
   Ainsi, le plus petit entier naturel $n$ cherché est $8$.
   Réponse c
   $\quad$
4. $f’$ est la dérivée seconde de la fonction $F$.
   $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[-3;-1]$ donc $F$ est convexe sur cet intervalle.
   Réponse c
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

La situation peut être représentée à l’aide de cet arbre pondéré :

1. On veut calculer $P(A\cap C)=\dfrac{900}{1~500}\times 0,95=0,57$
   La probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges est égale à $0,57$.

   $\quad$

2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*}P(C)&=P(A\cap C)+P(B\cap C) \\
   &=0,57+\dfrac{600}{1~500}\times 0,92 \\
   &=0,938\end{align*}$
   La probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est $0,938$.

   $\quad$

3. On veut calculer :
   $\begin{align*}P_{\conj{C}}(B)&=\dfrac{P\left(B\cap \conj{C}\right)}{P\left(\conj{C}\right)} \\
   &=\dfrac{\dfrac{600}{1~500}\times 0,08}{1-0,938}\\
   &\approx 0,516\end{align*}$
   La probabilité que le flacon provienne du site B sachant qu’il un aspect non conforme est environ égale à $0,516$.
   $\quad$

Partie B

On a :
$\begin{align*}P(X\pg 98)&=P(98\pp X\pp 100)+P(X\pg 100) \\
&=P(98\pp X\pp 100)+0,5 \\
&\approx 0,977\end{align*}$

Exercice 2

1. Nous allons déterminer le degré des sommets.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G\\
   \hline
   \text{Degré}&5&4&4&2&4&5&2\\
   \hline
   \end{array}$
   Exactement deux sommets de ce graphe connexe sont de degré impair.
   Il est donc impossible de construire un cycle eulérienne.
   Le chasse-neige ne peut pas, par conséquent, partir de la station $G$ et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes.
   $\quad$
2. D’après la question précédente, le graphe connexe possède une chaîne eulérienne.
   Elle peut donc parcourir une et une seule fois chacune des routes pour traiter l’ensemble du secteur.
   $\quad$
3. Le nombre $10$ signifie qu’il existe $10$ exactement chemins permettant de relier les sommets $G$ et $D$ en $4$ étapes.
   $\quad$
4. Nous allons utiliser l’algorithme de Dijsktra.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&C&D&E&F&G&\text{Sommet}\\
   \hline
   \phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&\phantom{111(A)}&0&G\\
   \hline
   14(G)&38(G)&&&&&\phantom{111(A)}&A\\
   \hline
   &38(G)&78(A)&&49(A)&106(A)&&B\\
   \hline
   &&78(A)&&49(A)&106(A)&&E\\
   \hline
   &&78(A)&111(E)&&72(E)&&F\\
   \hline
   &&78(A)&89(F)&&&&C\\
   \hline
   &&&89(F)&&&&D\\
   \hline
   \end{array}$$
   Le parcours le plus rapide est $G-A-E-F-D$. Il faut $89$ minutes pour aller de la station $G$ à la station $D$.
   $\quad$
5. Le parcours le plus rapide, dans ce cas, est $G-A-E-D$. Il mettrait alors $111$ minutes.
   $\quad$

Exercice 3

Partie A

1. a. On a $u_1=(1-0,2)\times u_0+600=0,8\times 10~000+600=8~600$
   et $u_2=0,8\times 8~600+600=7~480$
   $\quad$
   b. Il coupe $20\%$ des arbres chaque année. Cela signifie donc qu’il en conserve $80\%$, ce qui représente $0,8u_n$.
   Chaque année, il plante également $600$ nouveaux pieds d’arbre.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,8\times u_n+600$.
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-3~000 \ssi u_n=v_n+3~000$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-3~000 \\
   &=0,8u_n+600-3~000\\
   &=0,8u_n-2~400\\
   &=0,8\left(v_n+3~000\right)-2~400\\
   &=0,8v_n+2~400-2~400\\
   &=0,8v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-3~000=7~000$.
   $\quad$
   b. Cela signifie donc que, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=7~000\times 0,8^n$.
   $\quad$
   c. Par conséquent $u_n=v_n+3~000=7~000\times 0,8^n+7~000$.
   $\quad$
   d. $0<0,8<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n=0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=3~000$.
   Si le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle, il y aura $3~000$ arbres sur la parcelle sur le long terme.
   $\quad$

Partie B

1. Dans l’algorithme 1, comme la condition de la boucle est $U\pp 4~000$, on ne rentre jamais dans celle-ci.
   Dans l’algorithme 2, il ne faut élever $0,8$ à la puissance $N$ (il s’agit d’un mélange entre la formule par récurrence et la formule explicite de $u_n$).
   $\quad$
2. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} u_n\pp 4~000&\ssi 7~000\times 0,8^n+3~000 \pp 4~000 \\
   &\ssi 7\times 0,8^n+3\pp 4 \\
   &\ssi 7\times 0,8^n\pp 1 \\
   &\ssi 0,8^n \pp \dfrac{1}{7} \\
   &\ssi n\ln 0,8 \pp \ln \dfrac{1}{7} \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{7}}{\ln 0,8}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln \dfrac{1}{7}}{\ln 0,8} \approx 8,7$.
   La plus petite valeur de $n$ cherchée est donc $9$.
   C’est donc en 2027 qu’il devra cesser cesser son plan de réaménagement.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. La droite $\mathscr{D}$ passe par les points $O(0;0)$ et $A(0,5;1)$.
   $0\neq 0,5$ par conséquent le coefficient directeur de cette droite est :
   $a=\dfrac{1-0}{0,5-0}=2$.
   La droite $\mathscr{D}$ passant par l’origine du repère a alors pour équant $y=2x$.
   $\quad$
2. La tangente $T$ est horizontale. Par conséquent $f'(1)=0$.
   $\quad$
3. La fonction $f$ semble concave sur l’intervalle $[0;1,75]$. La courbe $\mathscr{C}$ semble en effet située sous ses tangentes sur cet intervalle.
   $\quad$

Partie B

1. a. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;3]$.
   Pour tout réel $x$ de cet intervalle, on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-0,5x^2}+2x\times (-0,5\times 2x)\e^{-0,5x^2} \\
   &=(2-2x^2)\e^{-0,5x^2}\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2-2x^2$.
   Mais $2-2x^2=2\left(1-x^2\right)=2(1-x)(1+x)$
   Sur l’intervalle $[0;3]$, on a $1+x>0$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
   Or $1-x=0 \ssi x=1$
   et $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
2. La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ est :
   $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{3-0}\ds \int_0^3 f(x)\dx \\
   &=\dfrac{1}{3}\left(F(3)-F(0)\right) \\
   &=\dfrac{1}{3}\left(2-2\e^{-4,5}\right)\\
   &\approx 0,659\end{align*}$
   $\quad$

Partie C

La fonction $f$ atteint son maximum pour $x=1$ et $f(1)=2\e^{-0,5}\approx 1,21$.
Cela signifie donc qu’environ $1,21$ millions de lits étaient occupés lors du pic de la maladie. La première affirmation est donc vraie.

D’après la question B.2. la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;3]$ est environ égale à $0,659$.
Cela signifie que sur les trois mois d’été, en moyenne, environ $659~000$ lits ont été occupés.
La seconde affirmation est donc fausse.

$\quad$

Exercice 1     5 points

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées indépendamment.

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier :

• un panier de petite taille;
• un panier de taille moyenne;
• un panier de grande taille.

Partie A

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’œufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.
On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants :

• $A$ : « l’adhérent choisit un panier de petite taille »;
• $B$ : « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne »;
• $C$ : « l’adhérent choisit un panier de grande taille »;
• $F$ : « l’adhérent est intéressé par une livraison d’œufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous :

1. Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.
   a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’œufs frais.
   $\quad$
   b. Calculer $P\left(B\cap \conj{F}\right)$, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
   $\quad$
   c. La livraison d’œufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènement $F$ est supérieure à $0,6$. Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ?
   $\quad$
2. Dans cette question, on suppose que $P(F) = 0,675$.
   a. Démontrer que la probabilité conditionnelle de $F$ sachant $C$, notée $P_C (F)$, est égale à $0,3$.
   $\quad$
   b. L’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’œufs frais.
   Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à $10^{-2}$.
   $\quad$.

Partie B

1. La masse, en gramme, d’un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléatoire, notée $X$, suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart-type $420$. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à $4,5$ kg.
   On choisit au hasard un panier de grande taille.
   Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit non conforme ?
   $\quad$
2. Les responsables de l’association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d’un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notée $Y$ , suivant une loi normale d’espérance $5~000$ et d’écart-type $\sigma$. La probabilité qu’un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de $0,04$.
   Déterminer la valeur de σ arrondie à l’unité.
   $\quad$

Partie C

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se développent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.
Lors d’une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que $88 \%$ des adhérents de ces associations sont satisfaits.
Un auditeur intervient dans l’émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l’appui de son propos, l’auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de $120$ adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls $100$ ont indiqué être satisfaits.
La contestation de l’auditeur est-elle fondée ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(10; 0; 1)$, $B(1; 7; 1)$ et $C(0; 0; 5)$.

1. a. Démontrer que les droites $(OA)$ et $(OB)$ ne sont pas perpendiculaires.
   $\quad$
   b. Déterminer la mesure, en degré, de l’angle $\widehat{AOB}$, arrondie au dixième.
   $\quad$
2. Vérifier que $7x +9y-70z = 0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB)$.
   $\quad$
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(CA)$.
   $\quad$
4. Soit $D$ le milieu du segment $[OC]$. Déterminer une équation du plan $P$ parallèle au plan $(OAB)$ passant par $D$.
   $\quad$
5. Le plan $P$ coupe la droite $(CB)$ en $E$ et la droite $(CA)$ en $F$.
   Déterminer les coordonnées du point $F$. On admet que le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2};3\right)$.
   $\quad$
6. Démontrer que la droite $(EF)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g (x) = 4x-x\ln x$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $g’$ sa dérivée.

Partie A

Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative de la fonction $g$ obtenue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

• il semble que la fonction g soit positive;
• il semble que la fonction g soit strictement croissante.

L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.

1. Résoudre l’équation $g(x) = 0$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
   $\quad$
2. Déterminer le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
   $\quad$
3. Les conjectures de l’élève sont-elles vérifiées ?
   $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on poursuit l’étude de la fonction $g$.

1. a. On rappelle que $$\lim\limits_{t\to +\infty} \dfrac{\ln t}{t}=0$$ En déduire que $$\lim\limits_{x\to 0} x\ln x=0$$
   $\quad$
   b. Calculer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$.
   $\quad$
2. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $g'(x) = 3-lnx$.
   $\quad$
   b. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
   $\quad$
3. On désigne par $G$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$G(x)=\dfrac{1}{4}x^2(9-2\ln x)$$
   On admet que la fonction $G$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
   a. Démontrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
   $\quad$
   b. L’affirmation suivante est-elle vraie ?
   « Il n’existe aucun réel $\alpha$ strictement supérieur à $1$ tel que $\ds\int_1^{\alpha} g(x)\dx = 0$. »
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte, une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. On considère la suite $\left(p_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$p_n=n^2-42n+4$$
   Affirmation 1 : La suite $\left(p_n\right)$ est strictement décroissante.
   $\quad$
2. Soit $a$ un nombre réel. On considère les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par :
   $\bullet$ $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{u_n}^2+8}$.
   $\bullet$ $v_n={u_n}^2-1$ pour tout entier naturel $n$.
   Affirmation 2 : La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
   $\quad$
3. On considère une suite $\left(w_n\right)$ qui vrifie, pour tout entier naturel $n$, $$n^2 \pp (n+1)^2 w_n \pp n^2+n$$
   Affirmation $3$ : La suite $\left(w_n\right)$ converge.
   $\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1}=\dfrac{2U_n}{1+U_n}$$

1. Calculer $U_1$ que l’on écrira sous la forme d’une fraction irréductible.
   $\quad$
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$U_n=\dfrac{2^n}{1+2^n}$$
   $\quad$
3. On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variables $n$, $p$ et $u$ sont du type nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variable $u$ ne contient pas le terme $U_n$ en fin d’exécution.
   Déterminer lequel en justifiant votre choix.
   $$\begin{array}{|l|l|l|}
   \hline
   \textbf{Algorithme 1}&\textbf{Algorithme 2}&\textbf{Algorithme 3}\\
   u\leftarrow \dfrac{1}{2}&&\\
   i\leftarrow 0 &u\leftarrow \dfrac{1}{2}&\\
   \text{Tant que }i<n&\text{Pour $i$ allant de $0$ à $n$}&p\leftarrow 2^n\\
   \hspace{1cm} u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}&\hspace{1cm} u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}&u\leftarrow \dfrac{2u}{u+1}\\
   \hspace{1cm} i\leftarrow i+1&\text{Fin Pour}&\\
   \text{Fin Tant que}&&\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Une ville possède deux ports maritimes :

• un port de plaisance A;
• un port de commerce B.

Le port de plaisance A n’a pas d’accès direct à l’océan mais est relié au port de commerce B qui, lui, est ouvert sur l’océan. Un passant, installé en terrasse sur le port de plaisance A, jette une bouteille dans l’eau.
À l’instant $0$, la bouteille se trouve dans le port A.
Soit $n$ un entier naturel.
On admet que :

• quand la bouteille est dans le port A au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle y soit encore l’heure suivante est $\dfrac{3}{5}$;
• quand la bouteille est dans le port B au bout de $n$ heures, la probabilité qu’elle soit dans le port A l’heure suivante est $\dfrac{1}{10}$ et la probabilité qu’elle se trouve toujours dans le port B l’heure suivante est $\dfrac{1}{15}$;
• le port A n’ayant pas d’accès direct à l’océan, lorsque la bouteille est dans le port A, elle ne peut pas se trouver dans l’océan l’heure suivante;
• une fois dans l’océan, la bouteille ne revient jamais dans les ports.

Soient les évènements :

• $A_n$ : « la bouteille se trouve dans le port A au bout de $n$ heures »;
• $B_n$ : « la bouteille se trouve dans le port B au bout de $n$ heures »;
• $C_n$ : « la bouteille se trouve dans l’océan au bout de $n$ heures ».

On note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de ces évènements.
Ainsi on a $a_0 = 1$, $b_0 = 0$ et $c_0 = 0$.

1. a. Compléter l’arbre fourni en ANNEXE à rendre avec la copie.
   $\quad$
   b. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$\begin{cases} a_{n+1}&=\dfrac{3}{5}a_n+\dfrac{1}{10}b_n\\b_{n+1}&=\dfrac{2}{5}a_n+\dfrac{1}{15}b_n\end{cases}$$
   Soient les matrices suivantes : $$M=\dfrac{1}{30}\begin{pmatrix}18&3\\12&2\end{pmatrix} \text{  et  } U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$$
   $\quad$
   c. Démontrer que, pour tout entier strictement positif $n$, $U_n = M^nU_0$.
   $\quad$
2. a. Donner $U_0$.
   $\quad$
   b. Calculer $M^2$ en détaillant les calculs de l’un des coefficients et en déduire qu’il existe un réel $k$ tel que $M^2 = kM$.
   $\quad$
   c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$M^n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}M$$
   $\quad$
   d. En déduire que, pour tout entier $n$ strictement positif, $$U_n=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\\\dfrac{2}{5}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\end{pmatrix}$$
   $\quad$
3. Soit $n$ un entier strictement positif.
   a. Démontrer que la probabilité que la bouteille soit dans l’océan au bout de $n$ heures est égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$.
   $\quad$
   b. On considère l’algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   n\leftarrow 1\\
   \text{Tant que }1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}<0,9\\
   \hspace{1cm} n\leftarrow n+1\\
   \text{Fin Tant que}\\
   \hline\end{array}$$
   Indiquer sans justification le nombre contenu dans la variable $n$ de cet algorithme à la fin de son exécution.
   Interpréter ce nombre dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

ANNEXE

$\quad$