Exercice 1

1. Une primitive de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$ est la fonction $G$ définie par $G(x)=2\ln(x)$.
   La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;\e]$ est :
   $\begin{align*} m&=\displaystyle \dfrac{1}{\e-1}\int_1^{\e}\dfrac{2}{x}\dx \\
   &=\dfrac{1}{\e-1}\left(G(\e)-G(1)\right) \\
   &=\dfrac{2\ln(\e)-2\ln(1)}{\e-1}\\
   &=\dfrac{2}{\e-1}
   \end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$
2. On voit que $P(0,6\pp X\pp 1,4)=0,95$ et que $E(X)=1$
   Or $P(\mu-2\sigma\pp X\pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$
   Par conséquent ici $P(1-2\times 0,2 \pp X\pp 1+2\times 0,2)=0,95$ et $\sigma \approx 0,2$.
   Réponse d
   $\quad$
3. On a $n=50\pg 30$ et $p=0,15$
   Donc $np=7,5\pg 5$ et $n(1-p)=42,5\pg 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*}I_{50}&=\left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{50}};0,15+1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{50}}\right] \\
   &\approx [0,051;0,249]
   \end{align*}$
   Réponse a
   Remarque : La fréquence observée est $f=\dfrac{2}{50}=0,04\notin I_{50}$
   $\quad$

Exercice 2

Partie A : l’accord de Kyoto (1997)

1. $559\times \left(1-\dfrac{8}{100}\right) =514,28>486$.
   La France respectait déjà cet engagement en 2011.
   $\quad$
2. On appelle $N$ le nombre de mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010.
   On a donc :
   $\begin{align*}N\times \left(1-\dfrac{5,6}{100}\right)=486 & \ssi 0,944N=486 \\
   &\ssi N=\dfrac{486}{0,944}
   \end{align*}$
   Donc $ N \approx 514,8$
   $\quad$

Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle

1. On a $u_0=41$
   et $u_1=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)\times 41+0,2=40,38$
   $\quad$
2. Chaque année, il y a une réduction de $2\%$.
   Il reste donc $\left(1-\dfrac{2}{100}\right)u_n=0,98u_n$.
   $200$ tonnes soit $0,2$ milliers de tonnes supplémentaires  de GES en équivalent CO$_2$ sont générées.
   Par conséquent $u_{n+1}=0,98u_n+0,2$.
   $\quad$
3. a. On a $v_n=u_n-10$ soit $u_n=v_n+10$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-10 \\
   &=0,98u_n+0,2-10\\
   &=0,98u_n-9,8\\
   &=0,98\left(v_n+10\right)-9,8\\
   &=0,98v_n+9,8-9,8\\
   &=0,98v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $v_0=41-10=31$.
   $\quad$
   b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=31\times 0,98^n$
   $\quad$
   c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} u_n&=v_n+10 \\
   &=31\times 0,98^n+10
   \end{align*}$
   $\quad$
4. a. $0<0,98<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,98^n=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=10$.
   $\quad$
   b. Au bout d’un grand nombre d’année cette zone industrielle émettra $10$ milliers de tonnes de CO$_2$.
   $\quad$
5. a. Ligne 7 : Tant que $U>20,5$ faire
   Ligne 9 : $U$ prend la valeur $0,98\times U+0,2$
   $\quad$
   b. Cela signifie qu’il faudra attendre $54$ années avant que cette zone industrielle ait réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$ par rapport à l’année 2005.
   $\quad$

Exercice 3

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

1. D’après l’énoncé on a $p(S)=0,18$ et $p_{\conj{F}}(S)=0,175$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
3. D’après l’arbre précédent on a :
   $p\left(\conj{F}\cap S\right)=0,48\times 0,175=0,084$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*}p_S\left(\conj{F}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{F}\cap S\right)}{p(S)} \\
   &=\dfrac{0,084}{0,18} \\
   &\approx 0,467
   \end{align*}$
   $\quad$
5. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(S)=p(F\cap S)+p\left(\conj{F}\cap S\right) &\ssi 0,18=p(F\cap S)+0,084 \\
   &\ssi p(F\cap S)=0,096
   \end{align*}$
   On veut déterminer :
   $\begin{align*} p_F(S)&=\dfrac{p(F\cap S)}{p(F)} \\
   &=\dfrac{0,096}{0,52}\\
   &\approx 0,185
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fiches de demandeur d’emploi sans expérience.

On répète $5$ fois une expérience aléatoire, avec remise. Les expériences sont indépendantes les unes des autres et à chaque tirage il y a deux issues : $S$ et $\conj{S}$. On sait que $p(S)=0,18$.

La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,18$.

On veut calculer :
$\begin{align*}P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-0,18)^5 \\
&\approx 0,629
\end{align*}$

La probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience est $0,629$.
$\quad$

 

Exercice 3

Partie A

1. On obtient le graphe probabiliste suivant :
   
2. On a $a_0=0,3$ et $b_0=0,7$.
   $\quad$
3. En 2018 on a $n=3$. On calcule donc $P_3$.
   $P_1=P_0\times M=\begin{pmatrix}0,362&0,638\end{pmatrix}$
   $P_2=P_1\times M=\begin{pmatrix}0,407~88&0,592~12\end{pmatrix}$
   $P_3=P_2\times M=\begin{pmatrix}0,441~831~2&0,558~168~8\end{pmatrix}$
   Ainsi $a_3\approx 44,2\%$
   $\quad$
4. a. L’état stable $P=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}$ vérifie :
   $\begin{align*} PM=P \text{ et }x+y=1 &\ssi \begin{cases}0,88x+0,14y=x\\0,12x+0,86y=y\\x+y=1 \end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases} 0,12x-0,14y=0\\0,14y-0,12x=0\\x+y=1\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} 0,12x-0,14y=0\\x+y=1\end{cases}
   \end{align*}$
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} \begin{cases} 0,12x-0,14y=0\\x+y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,12(1-y)-0,14y=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,12-0,12y-0,14y=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y\\0,12=0,26y\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1-y\\y=\dfrac{0,12}{0,26} \end{cases}\\
   &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{6}{13} \\x=\dfrac{7}{13}\end{cases}
   \end{align*}$
   Au bout d’un grand nombre d’années, l’opérateur Alpha aura donc environ $53,8\%$ des parts de marché et l’opérateur Bravo aura environ $46,2\%$ des parts de marché.
   $\quad$

Partie B

1. On applique l’algorithme de Dijkstra
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   A&B&C&D&E&F&G&H&I&\text{Sommet}\\
   \hline
   &&0&&&&&&&C\\
   \hline
   25(C)&30(C)&\phantom{00(C)}&20(C)&&&&&&D\\
   \hline
   25(C)&30(C)&&&40(D)&&&&35(D)&A\\
   \hline
   &30(C)&&&40(D)&&&35(A)&35(D)&B\\
   \hline
   &&&&40(D)&&&35(A)&35(D)&H\\
   \hline
   &&&&40(D)&45(H)&55(H)&&35(D)&I\\
   \hline
   &&&&40(D)&45(H)&55(H)&&&E\\
   \hline
   &&&&&45(H)&55(H)&&&F\\
   \hline
   &&&&&&50(F)&&&G\\
   \hline
   \end{array}$
   Le tracé le moins cher à déployer, entre les stations $C$ et $G$ est $C-A-H-F-G$ .
   $\quad$
2. D’après le tableau précédent ce tracé coûte $50$ milliers d’euros.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A

1. La fonction est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
   Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\left(-100\e^{-x}\right)}{\left(0,5+100\e^{-x}\right)^2} \\
   &\dfrac{100\e^{-x}}{\left(0,5+100\e^{-x}\right)^2}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} 100\e^{-x}-0,5 \pg 0 &\ssi 100\e^{-x}\pg 0,5 \\
   &\ssi \e^{-x}\pg 0,005\\
   &\ssi -x\pg \ln(0,005)\\
   &\ssi x \pp-\ln(0,005)
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent le signe de $f^{\prime\prime}(x)$ ne dépend que de celui de $100\e^{-x}-0,5$.
   On obtient alors le tableau de signe suivant :
   
3. La fonction $f^{\prime\prime}$ s’annule en changeant de signe en $-\ln(0,005)$. Elle possède donc un point d’inflexion dont l’abscisse est $-\ln(0,005)$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $\left[-\ln(0,005);10\right]$.
   $\quad$

Partie B

1. a. $f(10)=\dfrac{1}{0,5+100\e^{-10}}\approx 1,98$
   $\quad$
   b. Cela signifie donc qu’en l’année $1900+10\times 25=2150$ l’augmentation de température sera de $1,98$ degré. L’objectif de l’accord de Paris sera respecté.
   $\quad$
2. a. On a $x_I=-\ln(0,005)\approx 5,298$
   L’abscisse du point $I$ correspond donc à l’année $2032$ (arrondi à l’unité).
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} f\left(-\ln(0,005)\right)&=\dfrac{1}{0,5+100\e^{\ln(0,005)}} \\
   &=\dfrac{1}{0,5+100\times 0,005}\\
   &=1
   \end{align*}$
   En $2032$ la température sera $1$ degré supérieure à celle de $1900$.
   $\quad$
3. a. La fonction $f’$ est strictement positive, puisque la fonction exponentielle l’est également. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;10]$.
   La température terrestre augmentera donc continuellement.
   Par conséquent l’affirmation est fausse.
   $\quad$
   b. La fonction $f^{\prime\prime}$ est négative sur l’intervalle $\left[-\ln(0,005);10\right]$.
   Cela signifie donc que la fonction $f’$ est décroissante sur cet intervalle.
   Or l’abscisse du point $I$ est associée à l’année $2032$.
   La vitesse du réchauffement climatique diminuera donc après $2033$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ est strictement croissante et continue sur l’intervalle $[0;10]$.
   $f(0)\approx 0,009~95<1,5$ et $f(10)\approx 1,98>1,5$
   D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution $\alpha$.
   A l’aide de la calculatrice on trouve $\alpha\approx 6,397$.
   C’est donc au cours de l’année $2059$ que la température terrestre atteindra le seuil critique, selon ce modèle.

 

 

 

Exercice 1    3 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+ \infty[$ par $g(x) = \dfrac{2}{x}$.
   La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1;\e]$ est :
   a. $2$
   b. $\dfrac{1}{\e-1}$
   c. $\dfrac{2}{\e-1}$
   d. $\dfrac{-2}{\e-1}$
   $\quad$
2. On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale. La courbe de la figure ci-dessous représente la fonction de densité $f$ associée à la variable $X$.
   
   a. L’espérance de $X$ est $0,4$.
   b. L’espérance de $X$ est $0,95$.
   c. L’écart-type de $X$ est environ $0,4$.
   d. L’écart-type de $X$ est environ $0,2$.
   $\quad$
3. À l’occasion de son inauguration, un hypermarché offre à ses clients un ticket à gratter par tranche de $10$ euros d’achats. L’hypermarché affirme que $15\%$ des tickets à gratter sont gagnants, c’est-à-dire donneront droit à un bon d’achat de $5$ euros.
   Amandine a reçu $50$ tickets à gratter après un achat de $500$ euros dans cet hypermarché. Deux d’entre eux étaient gagnants.
   On suppose que le nombre de tickets à gratter est suffisamment important pour considérer qu’un échantillon de $50$ tickets correspond à un tirage aléatoire avec remise.
   a. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$~tickets à gratter est $[0,051;0,249]$, les bornes étant arrondies au millième.
   b. L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la fréquence observée de tickets gagnants dans un échantillon de $50$ tickets à gratter est $[0,100;0,200]$, les bornes étant arrondies au millième.
   c. La fréquence de tickets gagnants reçus par Amandine est $\dfrac{50}{500}$.
   d. Amandine peut annoncer avec un risque de $5\%$ que l’affirmation de l’hypermarché n’est pas mensongère.
   $\quad$

Exercice 2    6 points

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A : L’accord de Kyoto (1997)

Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de carbone, noté CO$_2$.
En 2011, la France a émis $486$ mégatonnes de GES en équivalent CO$_2$ contre $559$ mégatonnes en 1990.

1. Dans l’accord de Kyoto, la France s’est engagée à réduire ses GES de $8\%$ entre 1990 et 2012.
   Peut-on dire qu’en 2011 la France respectait déjà cet engagement ? Justifier la réponse.
   $\quad$
2. Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de $5,6\%$ par rapport à 2010, calculer le nombre de mégatonnes en équivalent CO$_2$ émises par la France en 2010. Arrondir le résultat à $0,1$.
   $\quad$

Partie B : Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle

Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de $2\%$ d’une année sur l’autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent $200$ tonnes de GES en équivalent CO$_2$.
En 2005, cette zone industrielle a émis $41$ milliers de tonnes de CO$_2$ au total.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l’année $2005+n$.

1. Déterminer $u_0$ et $u_1$.
   $\quad$
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98\times u_n+0,2$.
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n-10$.
   a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.
   $\quad$
   b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$
   c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 31 \times (0,98)^n+10$.
   $\quad$
4. a. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$
   b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
5. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l’année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$, par rapport à l’année 2005.
   a. Recopier et compléter les lignes $7$ et $9$ de l’algorithme.
   $\begin{array}{|ll|}
   \hline
   1& \textbf{Variables}\\
   2&\quad U \text{ est du type nombre}\\
   3&\quad n \text{ est du type nombre entier}\\
   4& \textbf{Début Algorithme}\\
   5&\quad U \text{ prend la valeur } 41\\
   6&\quad n \text{ prend la valeur } 0\\
   7&\quad \text{Tant que } (\ldots \ldots ) \text{ faire}\\
   8&\qquad \text{Début Tant que}\\
   9&\qquad U \text{ prend la valeur } \ldots\\
   10&\qquad n \text{ prend la valeur } n+1\\
   11&\quad \text{Fin Tant que}\\
   12&\quad \text{Afficher } n\\
   13& \textbf{Fin Algorithme}\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. L’algorithme affiche $54$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Les parties A et B sont indépendantes

Notations :
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $p(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
Si $A$ et $B$ sont deux événements, on note $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que l’événement $B$ est réalisé.

Dans cet exercice, on arrondira les résultats au millième

Une agence Pôle Emploi étudie l’ensemble des demandeurs d’emploi selon deux critères, le sexe et l’expérience professionnelle.
Cette étude montre que :

• $52\%$ des demandeurs d’emploi sont des femmes et $48\%$ sont des hommes ;
• $18\%$ des demandeurs d’emploi sont sans expérience et les autres sont avec expérience ;
• parmi les hommes qui sont demandeurs d’emploi, on sait que $17,5\%$ sont sans expérience.

Partie A

On prélève au hasard la fiche d’un demandeur d’emploi de cette agence. On note :

• $S$ : l’événement “le demandeur d’emploi est sans expérience” ;
• $F$ : l’événement “le demandeur d’emploi est une femme”.

1. Préciser $p(S)$ et $p_{\conj{F}}(S)$.
   $\quad$
2. Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés par les probabilités associées.
   
   $\quad$
3. Démontrer que $p\left(\conj{F} \cap S\right) = 0,084$. Interpréter le résultat.
   $\quad$
4. La fiche prélevée est celle d’un demandeur d’emploi sans expérience. Calculer la probabilité pour que ce soit un homme.
   $\quad$
5. Sachant que la fiche prélevée est celle d’une femme, calculer la probabilité que ce soit la fiche d’un demandeur d’emploi sans expérience.
   $\quad$

Partie B

La responsable de l’agence décide de faire le point avec cinq demandeurs d’emploi qui sont suivis dans son agence. Pour cela, elle prélève cinq fiches au hasard. On admet que le nombre de demandeurs d’emplois dans son agence est suffisamment grand pour assimiler cette situation à un tirage avec remise.
En justifiant la démarche, calculer la probabilité que, parmi les cinq fiches tirées au hasard, il y ait au moins une fiche de demandeur d’emploi sans expérience.
$\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Deux opérateurs Alpha et Bravo se partagent le marché de la téléphonie mobile dans un pays.
En 2015, l’opérateur Alpha possède $30\%$ du marché de téléphonie mobile. Le reste appartient à l’opérateur Bravo.
On étudie l’évolution dans le temps du choix des abonnés de 2015 pour l’un ou l’autre des opérateurs. Chaque abonné conserve un abonnement téléphonique, soit chez l’opérateur Alpha soit chez l’opérateur Bravo.
On estime que, chaque année :

• $12\%$ des abonnés de l’opérateur Alpha le quittent et souscrivent un abonnement chez l’opérateur Bravo.
• $86\%$ des abonnés de l’opérateur Bravo lui restent fidèles, les autres le quittent pour l’opérateur Alpha.

On modélise cette situation par un graphe probabiliste à deux sommets Alpha et Bravo :

• $A$ est l’événement: “l’abonné est chez l’opérateur Alpha” ;
• $B$ est l’événement: “l’abonné est chez l’opérateur Bravo”.

1. Dessiner ce graphe probabiliste.
   $\quad$

On admet que la matrice de transition de ce graphe probabiliste, en considérant les sommets dans l’ordre alphabétique, est : $M = \begin{pmatrix}0,88&0,12\\0,14 &0,86\end{pmatrix}$.

On note pour tout entier naturel $n$ :

• $a_n$ la probabilité qu’un abonné soit chez l’opérateur Alpha l’année $2015 + n$ ;
• $b_n$ la probabilité qu’un abonné soit chez l’opérateur Bravo l’année $2015 + n$.

On note $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l’état probabiliste pour l’année $2015 + n$.

2. Donner $a_0$ et $b_0$.
   $\quad$
3. Montrer qu’en 2018, il y aura environ $44,2\%$ des abonnés chez l’opérateur Alpha.
   $\quad$
4. Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l’ensemble des abonnés sur le long terme. On note $P = \begin{pmatrix}x &y\end{pmatrix}$ l’état stable de la répartition des abonnés.
   a. Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont solutions du système $\begin{cases}0,12x-0,14y = 0\\x+y =1\end{cases}$ .
   $\quad$
   b. Résoudre le système précédent dans l’ensemble des réels.
   $\quad$
   c. Déterminer la répartition des abonnés entre les deux opérateurs au bout d’un grand nombre d’années. Arrondir les pourcentages à $0,1\%$.
   $\quad$

Partie B

Un opérateur français doit développer son réseau de fibre optique dans la région des stations de ski notées A, B, C, D, E, F, G, H, I à l’approche de la saison touristique. À ce jour, seule la station C est reliée au réseau national de fibre optique.

Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie selon le relief des montagnes et des vallées.
L’opérateur a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.

Dans le graphe ci-dessous :

• les sommets représentent les stations de ski;
• les arêtes représentent les différents tronçons qu’il est possible de déployer;
• le poids de chaque arête correspond au coût associé, en milliers d’euros.

 

1. À l’aide de l’algorithme de Dijkstra, déterminer le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G.
   $\quad$
2. Déterminer, en milliers d’euros, le coût de ce tracé.
   $\quad$

Exercice 4    6 points

Les deux parties sont liées

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;10]$ par $f(x)=\dfrac{1}{0,5+100\e^{-x}}$.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.

1. Montrer que, pour tout réel $x$ dans l’intervalle $[0;10]$, on a $f'(x) = \dfrac{100\e^{-x}}{\left(0,5+100\e^{-x} \right)^2}$.
   $\quad$

On note $f^{\prime\prime}$ la fonction dérivée seconde de $f$ sur l’intervalle $[0;10]$.
Un logiciel de calcul formel fournit l’expression suivante de $f^{\prime\prime}(x)$ : $$f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{100\e^{-x}\left(100\e^{-x} – 0,5\right)}{\left(0,5 + 100\e^{-x} \right)^3}$$

2. a. Montrer que, dans l’intervalle $[0;10]$, l’inéquation $100\e^{-x}-0,5 \pg 0$ est équivalente à l’inéquation $x \pp -\ln(0,005)$.
   $\quad$
   b. En déduire le tableau de signes de la fonction $f”$ sur l’intervalle $[0;10]$.
   $\quad$
3. On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ tracée dans un repère.
   Montrer, à l’aide de la question 2, que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d’inflexion noté $I$, dont on précisera la valeur exacte de l’abscisse.
   $\quad$
4. En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l’intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.
   $\quad$

Partie B

Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés °C.

La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre 2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par $195$ pays.

Cet accord confirme l’objectif, d’ici l’année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de plus de $2$°C la température de l’année 1900.

Dans cette partie, on modélise, par la fonction $f$ de la partie A, une évolution de température possible permettant d’atteindre l’objectif de l’accord de Paris.

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction est tracée ci-dessous, et $I$ est son point d’inflexion.
Sur l’axe des abscisses, l’année 1900 correspond à $0$ et une unité représente $25$ ans, donc l’année 1925 correspond à $1$.
Sur l’axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de 1900.

 

1. a. Calculer $f(10)$, en arrondissant le résultat au centième.
   $\quad$
   b. En déduire qu’en 2150, avec ce modèle, l’objectif de l’accord de Paris sera respecté.
   $\quad$
2. a. En utilisant la partie A, déterminer l’année correspondant à l’abscisse du point $I$ d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$. Arrondir le résultat à l’unité.
   $\quad$
   b. Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
   $\quad$
3. On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d’augmentation du nombre de degrés Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la fonction $f’$.
   a. Est-il vrai de dire qu’après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
   $\quad$
   b. Est-il vrai de dire qu’après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la réponse.
   $\quad$
4. Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas dépasser de plus de $1,5$°C la température de l’année 1900.
   Déterminer l’année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.
   $\quad$