Liban – mai 2016

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

1. $f'(0)=0$ donc la réponse a est fausse.
   Il n’y a pas de tangente horizontale en $-1$. La réponse b est fausse.
   Le coefficient directeur de la tangente en $-3$ est négatif donc $f'(-3)<0$. La réponse d est fausse.
   La bonne réponse est la c.
   $\quad$
2. $g'(x)=\ln(x)+\dfrac{x+1}{x}=\ln(x)+1+\dfrac{1}{x}$.
   Réponse d
   $\quad$
3. $\displaystyle \int_0^1 h(x)\mathrm{d}x$ correspond à l’aire du domaine compris entre $\mathscr{C}_h$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=5$.
   Au moins $21$ carré unité sont compris dans ce domaine.
   Réponse b
   $\quad$
4. $k\prime\prime(x) \leqslant 0$ sur $[0;2]$ et donc en particulier sur $[1;2]$.
   $k$ est donc concave sur l’intervalle $[1;2]$.
   Réponse a
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On a $p(C)=0,6$, $p(L)=0,4$, $p(T)=0,8$ et $p_C(T)=0,7$.
   $\quad$
2. $\quad$
   
3. On veut calculer $p(C\cap T)=0,6\times 0,7=0,42$.
   $\quad$
4. $p_T(C)=\dfrac{p(C\cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,42}{0,8}=0,525$.
   $\quad$
5. a. d’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p_(T)&=p(T\cap C)+p(T\cap L) \\
   0,8&=0,42+p(T\cap L)
   \end{align*}$
   Donc $p(T\cap L)=0,8-0,42=0,38$.
   $\quad$
   Ainsi $p_L(T)=\dfrac{p(T\cap L)}{p(L)} = \dfrac{0,38}{0,4}=0,95$.
   $\quad$
   b. On obtient ainsi l’arbre suivant :
   

Partie B

1. $P(2~000 \leqslant X \leqslant 3~000) \approx0,558$.
   $\quad$
2. $P(X \geqslant 4~000)=0,5-P(2~500\leqslant X\leqslant 4~000) \approx 0,011$.
   $\quad$
3. A l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $a\approx 3~047$.
   Cela signifie donc que $80\%$ des adolescents envoient au plus $3~047$ SMS par mois.
   $\quad$

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

 

1. a. En 2016, on a $u_1=\left(1+\dfrac{12}{100}\right)\times 75-6 = 78$.
   Il y a donc $78$ contrats d’entretien en 2016.
   $\quad$
   b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $12\%$ de contrats supplémentaires sont souscrits : $\left(1+\dfrac{12}{100}\right)a_n=1,12u_n$.
   $6$ contrats sont résiliés.
   Donc $u_{n+1}=1,12u_n-6$.
   $\quad$
2. a. L9  Sortie   Afficher $2015+n$
   $\quad$
   b.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de }n&0&1&2&3&4&5&6&7\\
   \hline
   \text{Valeur de }U&75&78&81&85&89&94&99&105\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   c. L’algorithme affichera donc $7$.
   Cela signifie qu’en 2022 il devra embaucher davantage de personnel.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-50 \\
   &=1,12u_n-6-50\\
   &=1,12u_n-56 \\
   &=1,12\left(v_n+50\right)-56\\
   &=1,12v_n+56-56 \\
   &=1,12v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,12$ et de premier terme $v_0=75-50=25$.
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=25 \times 1,12^n$.
   Donc $u_n=v_n+50=25\times 1,12^n+50$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} u_n > 100 &\ssi 25 \times 1,12^n+50 > 100 \\
   &\ssi 25 \times 1,12^n > 50 \\
   &\ssi 1,12^n > 2 \\
   &\ssi n \ln 1,12 > \ln 2 \\
   &\ssi n > \dfrac{\ln 2}{\ln 1,12} \\
   &\ssi n \geqslant 7
   \end{align*}$
   $\quad$
   d. On retrouve ainsi le résultat de la question 2.c.
   $\quad$

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité 

Partie A

1. $\quad$
   
   $\quad$
2. a. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,12&0,88\end{pmatrix}$
   Ainsi $\begin{pmatrix}0,375&0,625\end{pmatrix} \times M = \begin{pmatrix}0,8\times 0,375+0,12\times 0,625 & 0,2\times 0,375+0,88\times 0,625 \end{pmatrix}$.
   Donc $P=P\times M$.
   $P=\begin{pmatrix}0,375&0,625\end{pmatrix}$ est bien l’état stable.
   $\quad$
   b. Sur le long terme, $37,4\%$ des propriétaires de piscines privées souscriront un contrat avec l’entreprise.
   Elle atteindra donc son objectif d’avoir au moins $35\%$ des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d’entretien.
   $\quad$

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$ on a $c_{n+1}=0,8c_n+0,12l_n$ et $c_n+l_n=1$.
   Donc $l_n=1-c_n$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} c_{n+1}&=0,8c_n+0,12\left(1-c_n\right) \\
   &=0,8c_n+0,12-0,12c_n \\
   &=0,68c_n+0,12
   \end{align*}$
   $\quad$
2. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Valeur de }n&0&1&2&3&4&5&6\\
   \hline
   \text{Valeur de }C&0,15&0,222&0,271&0,304&0,327&0,342&0,353\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. L’algorithme affichera donc $6$.
   Cela signifie par conséquent qu’en 2021 l’entreprise aura atteint son objectif.
   $\quad$
3. a.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=c_{n+1}-0,375 \\
   &=0,68c_n+0,12-0,375 \\
   &=0,68c_n-0,255 \\
   &=0,68\left(v_n+0,375\right)-0,255\\
   &=0,68v_n+0,255-0,255 \\
   &=0,68v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,68$ et de premier terme $v_0=0,15-0,375=-0,225$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} c_n \geqslant 0,35 &\ssi -0,225\times  0,68^n+0,375  \geqslant 0,35\\
   &\ssi -0,225 \times 0,68^n \geqslant -0,025 \\
   &\ssi 0,68^n \leqslant \dfrac{1}{9} \\
   &\ssi n \ln 0,68 \leqslant \ln \dfrac{1}{9} \\
   &\ssi n \geqslant \dfrac{\ln \dfrac{1}{9}}{\ln 0,68} \\
   &\ssi n \geqslant 6
   \end{align*}$
   Les solution de l’inéquation $c_n \geqslant 0,35$ sont donc les entiers supérieurs ou égaux à $6$.
   $\quad$
   c. On retouve ainsi la réponse à la question 2.b.
   $\quad$

Exercice 4

Partie A : Etude de la fonction $f$

1. $f$ est dérivable sur $[3;13]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $f'(x)=-2-(-2)\e^{-2x+10}=2\left(-1+\e^{-2x+10}\right)$.
   $\quad$
2. a.
   $\begin{align*} f'(x) \geqslant 0 &\ssi -1+\e^{-2x+10} \geqslant 0 \\
   &\ssi \e^{-2x+10} \geqslant 1 \\
   &\ssi -2x+10 \geqslant 0 \\
   &\ssi -2x \geqslant -10 \\
   &\ssi x \leqslant 5
   \end{align*}$
   Les solutions de l’inéquation $f'(x)\geqslant 0$ sont donc les nombres appartenant à $[3;5]$.
   $\quad$
   b. Ainsi $f(‘x) \geqslant 0$ sur $[3;5]$ et $f'(x) \leqslant 0$ sur $[5;13]$.
   
   c. $\quad$
   $$\begin{align*} \int_3^{13} f(x)&=\left[-x^2+20x+\dfrac{1}{2}\e^{-2x+10}\right]_3^{13} \\
   &=91+\dfrac{1}{2}\e^{-16}-\left(51+\dfrac{1}{2}\e^4\right) \\
   &=40-\dfrac{1}{2}\left(\e^4-\e^{-16}\right) \\
   &\approx 12,701
   \end{align*}$$
   $\quad$

Partie B : Application

1. $f$ atteint son maximum pour $x=5$.
   L’entreprise doit donc fabriquer $500$ toboggans pour obtenir un bénéfice maximal.
   Elle réalise alors un bénéfice de $9~000$ euros.
   $\quad$
2. Le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre $300$ et $1~300$ toboggans est donné par :
   $m=\displaystyle \dfrac{1~000}{13-3}\int_3^{13}f(x)\mathrm{d}x \approx 1~270$ euros.
   $\quad$

Partie C ; Rentabilité

On cherche les valeurs de $x$ telles $f(x) \geqslant 0$.

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[3;5]$.
$f(3)<0$ et $f(5)>0$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\alpha \in [3;5]$ tel que $f(\alpha)=0$
La calculatrice nous donne $\alpha \approx 3,736$.

La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $[5;13]$.
$f(5)>0$ et $f(13)<0$
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $\beta \in [5;13]$ tel que $f(\beta)=0$
La calculatrice nous donne $\beta \approx 10$. Mais $f(10)<0$ donc pour garder un bénéfice positif on va prendre $\beta = 9,99$.

Ainsi l’entreprise réalise un bénéfice positif si elle produit entre $374$ et $999$ toboggans.