Exercice 1

Affirmation 1
$T$ et $T’$ sont parallèles; elles ont donc le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de $T$ est $a=\dfrac{0,5-2}{1-(-0,5)}=\dfrac{-1,5}{1,5}=-1$.
L’affirmation 1 est donc vraie.

$\quad$

Affirmation 2
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[-2;-1]$ tandis que $f'(x) \pp 0$ sur ce même intervalle.
L’affirmation 2 est donc fausse.

$\quad$

Affirmation 3
La courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de sa tangente en $B$. Elle n’est donc pas concave sur l’intervalle $[-2;3]$.
L’affirmation 3 est fausse.

$\quad$

Affirmation 4
Sur l’intervalle $[-2;0]$ on a $f(x)>0$. Toute primitive de $f$ est donc croissante sur cet intervalle.
L’affirmation 4 est vraie.

$\quad$

Exercice 2

Partie A

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   
   $\quad$
2. $p(E\cap A)=0,45\times 0,3=0,135$
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(A)&=p(A\cap E)+p\left(A\cap \conj{E}\right) \\
   &=0,45\times 0,3+0,55 \times 0,37 \\
   &=0,338~5
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} p_A\left(\conj{E}\right) &=\dfrac{p\left(A\cap \conj{E}\right)}{p(A)} \\
   &=\dfrac{0,55\times 0,37}{0,338~5} \\
   &\approx 0,601
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. D’après la calculatrice $p(90 \pp D \pp 120) \approx 0,477$.
   Cela signifie que $47,7\%$ des visites durent entre $90$ et $120$ minutes.
   $\quad$
2. On calcule $p(D \pg 150)=0,5-p(90 \pp D \pp 150)\approx 0,000~03 < 0,02$.
   Le directeur n’augmentera donc pas la capacité d’accueil de l’espace restauration du musée.
   $\quad$

Partie C

On a $n=2~000 \pg 30$ et $p=0,22$ donc $np=440 \pg 5$ et $n(1-p)=1~560 \pg 5$
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ du nombre de visiteurs de nationalité étrangère est :
$\begin{align*} I_{2~000}&=\left[0,22-1,96\sqrt{\dfrac{0,22\times 0,78}{2~000}}{2~000}};\dfrac{490}{2~000}+1,96\sqrt{\dfrac{0,22\times 0,78}{2~000}} \right] \\
&\approx [0,201;0,239]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{490}{2000}~=0,245 \notin I_{2~000}$.
Le directeur peut donc en déduire, qu’au risque de $5\%$, le nombre de visiteurs étrangers est anormalement élevé dans son musée.

$\quad$

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

1. Le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est :
   $t=\dfrac{10~596-10~982}{10~982} \approx -3,51\%$
   Il y a donc eu baisse du tirage moyen d’environ $3,51\%$ entre ces deux années.
   $\quad$
2. $V_1=0,96\times 10~982+100 = 10~642,72$
   $V_2=0,96 \times 10~642,72+100 \approx 10~317,01$
   $\quad$
3. a. On a $W_n=V_n-2~500$ donc $V_n=W_n+2~500$.
   $\begin{align*} W_{n+1}&=V_{n+1}-2~500 \\
   &=0,96V_n+100-2~500\\
   &=0,96\left(W_n+2~500\right)-2~400\\
   &=0,96W_n+96+2~400-2~400\\
   &=0,96W_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(W_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $W_0=10~982-2~500=8~482$
   $\quad$
   b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $W_n=8~482\times 0,96^n$.
   $\quad$
   c. On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_n=W_n+2~500$.
   Donc $V_n=8~482\times 0,96^n+2~500$.
   $\quad$
4. a. En 2017, on a $n=10$ donc $V_{10} \approx 8~139,11$.
   Selon ce modèle, le tirage moyen journalier sera d’environ $8~139,11$ milliers d’exemplaires.
   $\quad$
   b. $0<0,96<1$ donc $\lim\limits_{n \to + \infty} 0,96^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} V_n=2~500$
   Cela signifie donc que, sur le long terme, le tirage moyen journalier sera de $2~500$ milliers d’exemplaires.
   $\quad$
   c. On peut utiliser l’algorithme suivant :
   Variables
   $\quad$ $V$ est un nombre réel
   $\quad$ $n$ est un entier naturel
   Initialisation
   $\quad$ Afficher “Saisir le nombre d’années”
   $\quad$ Saisir $n$
   Traitement
   $\quad$ Pour $i$ allant de $0$ à $n$ faire
   $\qquad$ $V$ prend la valeur $8~482\times 0,96^n+2~500$
   $\qquad$ Afficher $V$
   $\quad$ Fin Pour
   $\quad$

Exercice 4

1. $f(4)=\e^{-0,25\times 4+5}=\e^{4} \approx 54,60$
   On peut donc prévoir environ $55$ acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
   $\quad$
2. La marge brute, si le prix de vente est de $40$ euros, est $55*400-300\times 55=5~500$ euros.
   $\quad$
3. Si $x$ appartient à l’intervalle $[3;10]$ alors :
   $\begin{align*} g(x)&=xf(x)-3f(x) \\
   &=(x-3)f(x) \\
   &=(x-3)\e^{-0,25x+5}
   \end{align*}$
4. a. D’après l’affichage du calcul formel on a $g'(x)=-\dfrac{x-7}{4}\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$.
   La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $g'(x)$ ne dépend que de celui de $-(x-7)$.
   Ainsi :
   $\bullet$ si $x\pp 7$ alors $x-7\pp 0$ et $-(x-7)\pg 0$ : la fonction $g$ est croissante sur l’intervalle $[3;7]$.
   $\bullet$ si $x\pg 7$ alors $x-7\pg 0$ et $-(x-7) \pp 0$ : la fonction $g$ est décroissante sur l’intervalle $[7;10]$.
   $\quad$
   b. La fonction $g$ est maximale quand $x=7$ et $g(7)=4\e^{3,25}\approx 103,16$.
   L’entreprise réaliser une marge brute maximale d’environ $10~316$ euros quand le prix de vente unitaire est de $700$ euros.
   $\quad$
5. a. La fonction $G$ est dérivable sur l’intervalle $[3;10]$ comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} G'(x)&=-4\e^{-0,25x+5}-0,25\times (-4x-4)\e^{-0,25x+5} \\
   &=(-4+x+1)\e^{-0,25x+5} \\
   &=(x-3)\e^{-0,25x+5} \\
   &=g(x)
   \end{align*}$
   La fonction $G$ est donc une primitive de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} I&=\int_3^{10} g(x)\dx \\
   &=G(10)-G(3) \\
   &=-44\e^{2,5}-\left(-16\e^{4,25}\right) \\
   &=-44\e^{2,5}+16\e^{4,25}
   \end{align*}$
   $\quad$

Exercice 1    4 points

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-2;3]$. On note $f’$ la fonction dérivée de cette fonction sur l’intervalle $[-2;3]$

On dispose des renseignements suivants :

• $T$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A(-0,5;2)$, elle passe par le point $F(1;0,5)$.
• $T’$ est la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ d’abscisse $\dfrac{3}{2}$.
• Les droites $T$ et $T’$ sont parallèles.
• Les tangentes à $\mathscr{C}$ aux points d’abscisse D d’abscisse $-1$ et $E$ d’abscisse $2$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

Affirmation 1.
Les nombres $f’\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ et $f’\left(\dfrac{3}{2}\right)$ sont égaux à $-1$.

$\quad$

Affirmation 2.
La courbe ci-dessous représente la fonction $f’$ sur $[-2;3]$.

$\quad$

Affirmation 3.
La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;3]$.

$\quad$

Affirmation 4.
Sur $[-2;0]$, toute primitive de $f$ est croissante.

$\quad$

Exercice 2    6 points

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
En janvier 2015, le directeur d’un musée d’art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

Partie A

Le musée dispose d’un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut de rendre au guichet d’entrée du musée ou commander un billet en ligne.
trois types de visites sont proposés :

• La visite individuelle sans location d’audioguide.
• La visite individuelle avec location d’audioguide.
• La visite en groupe d’au moins $10$ personnes. Dans ce cac, un seul billet est émis pour le groupe.

Le site internet permet uniquement d’acheter les billets individuels avec ou sans audioguide.
Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d’entrée du musée.

Sur l’année 2015 l’enquête a révélé que :

• $55\%$ des billets d’entrée ont été achetés au guichet du musée;
• parmi les billets achetés au guichet du musée, $51\%$ des billets correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide, et $37\%$ à des visites avec location d’audioguide;
• $70\%$ des billes achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide.

On choisit au hasard un billet d’entrée au musée acheté en 2015.
On considère les événements suivants :

• $E$ : “le billet a été acheté en ligne”;
• $A$ : “le billet correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide”;
• $L$ : “le billet correspond à une visite individuelle sans location d’audioguide”;
• “G$ : “le billet correspond à une visite de groupe”.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, $p(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ et $p_F(E)$ désigne la probabilité de l’événement $E$ sachant que l’événement $F$ est réalisé. On note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l’énoncé :
   $\quad$
2. Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d’audioguide est égale à $0,135$.
   $\quad$
3. Montrer que $p(A)=0,338~5$.
   $\quad$
4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée?
   On arrondira le résultat au millième.
   $\quad$

Partie B
Pour gérer les flux de visiteurs, une partie de l’enquête a porté sur la durée d’une visite de ce musée. Il a été établi que la durée $D$ d’une visite, en minutes,  suit la loi normale de moyenne $\mu=90$ et d’écart-type $\sigma=15$.

1. Déterminer $p(90 \pp D \pp 120)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
2. Le directeur précise qu’il augmentera la capacité d’accueil de l’espace restauration du musée si plus de $2\%$ des visiteurs restent plus de $2$ heures et $30$ minutes par visite. Quelle sera alors sa décision?
   $\quad$

Partie C

Sur l’ensemble des musées d’art contemporain, $22\%$ des visiteurs sont de nationalité étrangère. Sur un échantillon aléatoire de $2~000$ visiteurs du musée considéré précédemment, $490$ visiteurs sont de nationalité étrangère.
Que peut en conclure le directeur de ce musée? Argumenter.
$\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d’information générale et politique, c’est-à-dire le nombre moyen d’exemplaires imprimés par jour.
Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014\\
\hline
\begin{array}{l} \text{Tirage moyen}\\ \text{Journalier en} \\ \text{milliers} \\ \text{d’emplaires} \end{array}&10~982&10~596&10~274&10~197&10~182&9~793&9~321&8~854\\
\hline
\end{array} \\
\hspace{1 cm} \textit{Source : D.G.M.I.C(Direction générales des médias et des industries culturelles)}$
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

1. Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.
   Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires, de l’année $(2007+n$).
   On modélise la situation en posant : $V_0=10~982$ et, pour tout entier naturel $n$, $$V_{n+1}=0,96V_n+100$$
   $\quad$
2. Calculer $V_1$ puis $V_2$.
   $\quad$
3. Soit $\left(W_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $W_n=V_n-2~500$.
   a. Montrer que $\left(W_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ puis déterminer son premier terme.
   $\quad$
   b. Déterminer l’expression de $W_n$ en fonction de $n$.
   $\quad$
   c. En déduite que pour tout entier naturel $n$, $V_n=8~482 \times 0,96^n+2~500$.
   $\quad$
4. a. Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année 2017.
   $\quad$
   b. Déterminer la limite de la suite $\left(W_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
   c. Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu’à l’année ($2007+n$), pour un nombre d’années $n$ saisi par l’utilisateur.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Une entreprise fabrique des enceintes acoustiques sans fil. Le coût de production d’une enceinte est de $300$ euros.
On note $x$ le prix de vente en centaines d’euros d’une enceinte.
Une étude de marché permet de modéliser la situation : pour tout réel $x$ de l’intervalle $[3;10]$, si le prix de vente d’une enceinte est $x$ centaines d’euros, alors le nombre d’acheteurs est modélisé par : $$f(x)=e^{-0,25x+5}$$
Ainsi, $f(x)$ est une approximation du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros.
Par exemple, si le prix de vente d’une enceinte est fixé à $400$ euros, le nombre d’acheteurs est approché par $f(4)$.

1. Donner une valeur approximative du nombre d’acheteurs pour un prix de vente de $400$ euros.
   On appelle marge brute la différence entre le montant obtenu par la vente des enceintes et leur coût de production.
   $\quad$
2. Quelle est la marge brute de cette entreprise pour un prix de vente de $400$ euros par enceinte?
   On note $g(x)$ la marge brute, en centaines d’euros, réalisée par l’entreprise pour un prix de vente de $x$ centaines d’euros par enceinte.
   $\quad$
3. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[3;10]$, $$g(x)=(x-3)\e^{-0,25x+5}$$
   $\quad$
4. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
   $\begin{array}{|l|}
   \hline
   \text{factoriser(dériver}\left[(x-3)*\exp(-0,25x+5)\right] \\
   \hline
   \hspace{3cm} -\dfrac{x-7}{4}\e^{-\frac{1}{4}x+5} \\
   \hline
   \end{array}$
   a. En utilisant le résultat du logiciel de calcul formel, étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[3;10]$.
   $\quad$
   b. Pour quel prix de vente unitaire l’entreprise réalisera-t-elle la marge brute maximale? Donner alors une valeur approchée de cette marge brute à l’euro près.
   $\quad$
5. Soit $G$ la fonction telle que $G(x)=(-4x-4)\e^{-0,25x+5}$ pour tout réel $x$ de $[3;10]$.
   a. Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$.
   $\quad$
   b. On pose $I=\ds \int_3^{10} g(x)\dx$. Déterminer la valeur exacte de $I$.