Bac ES/L – Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Nouvelle Calédonie – Novembre 2016

Bac ES/L – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $f'(x)=2\e^{-x}-(2x+3)\e^{-x}=(-2x-1)\e^{-x}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. $\quad$
    On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=2e^{2x}+3$.
    La fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par $F(x)=e^{2x}+3x$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} I&=\displaystyle \int_0^1 \left(2\e^{2x}+3\right)\dx \\
    &=F(1)-F(0) \\
    &=\e^2+3-1 \\
    &=\e^2+2
    \end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Une équation de la tangente $T$ à la courbe représentant la fonction $g$ au point d’abscisse $a$ est de la forme :
    $y=g'(a)(x-a)+g(a)$
    $g'(x)=5\e^x$ donc $g'(0)=5$ et $g(0)=8$.
    Une équation de $T$ est donc $y=5x+8$.
    Ainsi si $x=1$ alors $y=5+8=13$.
    Le point $C$ appartient donc à $T$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $h'(x)=3x^2-6$ et $h\prime\prime(x)=6x$.
    Ainsi $h\prime\prime(x) \pg 0 $ sur $[0;+\infty[$.
    La fonction $h$ est convexe sur $[0;+\infty[$.
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2 obl

Exercice 2

Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L

Partie A

  1. $u_1=0,5\times 350+100=275$
    $u_2=0,5\times 275+100=237,5$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=w_n+200$
    $\begin{align*} w_{n+1}&=u_{n+1}-200 \\
    &=0,5u_n+100-200 \\
    &=0,5u_n-100\\
    &=0,5\left(w_n+200\right)-100\\
    &=0,5w_n+100-100\\
    &=0,5w_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $w_0=350-200=150$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $w_n=150\times 0,5^n$.
    Par conséquent $u_n=w_n+200=150\times 0,5^n+200$.
    $\quad$

Partie B

  1. La moitié des filles inscrites l’année précédente ne renouvellent pas leur inscription : il reste donc $0,5F_n$.
    Chaque année $100$ nouvelles filles s’inscrivent.
    Donc $F_{n+1}=0,5F_n+100$.
    $\quad$
  2. a. D’une année sur l’autre, le nombre de garçons inscrits augmente de $10\%$.
    Donc $G_{n+1}=1,1G_n$.
    La suite $\left(G_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,1$ et de premier terme $G_0=500-350=150$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel, $G_n=150\times 1,1^n$.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} 150\times 1,1^n \pg 300 &\ssi 1,1^n \pg 2 \\
    &\ssi n\ln 1,1 \pg \ln 2 \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln 2}{\ln 1,1} \\
    a\ssi n \pg 8
    \end{align*}$
    C’est donc à partir de l’année 2023 que le club comptera plus de $300$ garçons.
    $\quad$
  3. a.
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Valeur de } n&0&1&2&3&4\\
    \hline
    \text{Valeur de } G&150&165&182&200&220\\
    \hline
    \text{Valeur de} F&350&275&238&219&209\\
    \hline
    \text{Condition } G\pp F&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{faux}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. L’algorithme affichera donc $4$.
    Le nombre de garçons va dépasser celui des filles en 2019

Ex 2 spé

Exercice 2

Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On obtient le graphe suivant :
    bac-esl-nouvelle-caledonie-nov2016-ex2
  2. La matrice de transition est $M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,2&0,8\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. Pierre réussi son premier plongeon donc $P_1=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  4. A l’aide de la calculatrice on obtient :
    $P_4=\begin{pmatrix}0,475&0,525\end{pmatrix}$
    $\quad$
  5. On a $a_{n+1}=0,7a_n+0,2b_n$
    Or, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$.
    Ainsi $a_{n+1}=0,7a_n+0,2\left(1-a_n\right)=0,2+0,5a_n$.
    $\quad$
  6. Initialisation
    $\quad$ Affecter à $N$ la valeur de $1$
    $\quad$ $A$ prend la valeur $1$
    Traitement
    $\quad$ Tant que $A > 0,41$
    $\qquad$ $N$ prend la valeur $N+1$
    $\qquad$ $A$ prend la valeur $0,5A+0,2$
    $\quad$ Fin Tant que
    Sortie
    $\quad$ Afficher $N$
    $\quad$
  7. a. Pour tout entier naturel $n \pg 1$ : $a_n=u_n+0,4$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,4 \\
    &=0,5a_n+0,2-0,4\\
    &=0,5a_n-0,2\\
    &=0,5\left(u_n+0,4\right)-0,2\\
    &=0,5u_n+0,2-0,2\\
    &=0,5u_n
    \end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $u_1=1-0,4=0,6$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $u_n=0,6\times 0,5^{n-1}$
    Par conséquent $a_n=u_n+0,4=0,6 \times 0,5^{n-1}+0,4$.
    $\quad$
    c. On veut que déterminer le plus petit entier naturel $n \pg 1$ tel que :
    $\begin{align*} a_n \pp 0,41 &\ssi 0,6 \times 0,5^{n-1}+0,4 \pp 0,41 \\
    &\ssi 0,6 \times 0,5^{n-1} \pp 0,01 \\
    &\ssi 0,5^{n-1}\pp \dfrac{1}{60} \\
    &\ssi (n-1)\ln 0,5 \pp \ln \dfrac{1}{60} \\
    &\ssi (n-1) \pg \dfrac{\ln \dfrac{1}{60}}{\ln 0,5} \\
    &\ssi n \pg 1 +\dfrac{\ln \dfrac{1}{60}}{\ln 0,5} \\
    &\ssi 7
    \end{align*}$
    $\quad$
    d. Pierre devra donc faire une pause après $7$ essais.

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre suivant :
    bac-esl-nouvelle-caledonie-nov2016-ex3
  2. On veut calculer $p(F\cap J)=0,57 \times 0,49 = 0,279~3$.
    $\quad$
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(J)=p(F\cap J)+p\left(\overline{F}\cap J\right) \\
    &\ssi 0,67=0,279~3+p\left(\overline{F}\cap J\right) \\
    &\ssi p\left(\overline{F}\cap J\right) = 0,67-0,279~3 \\
    &\ssi p\left(\overline{F}\cap J\right) = 0,390~7
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $p_{\overline{F}}(J)=\dfrac{p\left(\overline{F}\cap J\right)}{p\left(\overline{F}\right)} = \dfrac{0,390~7}{0,43} \approx 0,908~6$
    $\quad$

Partie B

  1. On veut calculer :$p(X \pp 5\times 24)=p(X \pp 120) = 0,5$.
    $\quad$
  2. $p(96 \pp X \pp 144) \approx 0,984$
    La probabilité que l’autonomie de la tablette en mode veille soit comprise entre $4$ et $5$ jours est d’environ $98,4\%$.
    $\quad$

Partie C

On a $n=150 \pg 30$, $p=0,91$ donc $np=136,5 \pg 5$ et $n(1-p)=13,5 \pg 5$.
Un intervalle de fluctuation au seul de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{150}&=\left[0,91-1,96\sqrt{\dfrac{0,91\times 0,09}{150}};0,91+1,96\sqrt{\dfrac{0,91\times 0,09}{150}}\right] \\
&\approx [0,864;0,956]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=\dfrac{130}{150} \approx 0,867 \in I_{150}$

Au risque d’erreur de $5\%$ on valide l’affirmation du service des ventes de la société.

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $d$.
    Ainsi $f'(1)=\dfrac{2}{1}=2$.
    La tangente à la courbe $\Gamma$ au point d’abscisse $3$ est horizontale. Donc $f'(3)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,5;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    $f'(x)=a+\dfrac{b}{x}$
    $\quad$
  3. $f'(1)=2 \ssi a+b=2$ donc $a=2-b$
    $f'(3)=0 \ssi a+\dfrac{b}{3}=0$
    Par conséquent $2-b+\dfrac{b}{3}=0$
    Soit $2-\dfrac{2}{3}b=0$
    Donc $\dfrac{2}{3}b=2$
    Finalement $b=3$
    Or $a=2-b=-1$.
    $\quad$

Partie B

  1. $f'(x)=-1+\dfrac{3}{x}=\dfrac{-x+3}{x}$
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ ou point d’abscisse $1$ est de la forme :
    $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    Or $f'(1)=2$ et $f(1)=1$
    Donc une équation de la droite $d$ est $y=2(x-1)+1$ soit $y=2x-1$.
    $\quad$
  3. Sur l’intervalle $[0,5;10]$, $x > 0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x+3$.
    Ainsi :
    – sur l’intervalle $[0,5;3]$, $f'(x) \pg 0$
    – sur l’intervalle $[3;10]$, $f'(x) \pp 0$
    On obtient alors le tableau de variation suivant :
    bac-esl-nouvelle-caledonie-nov2016-ex4
    Où $f(0,5) = 1,5+3\ln(0,5)$ et $f(10)=-8+3\ln(10)$
    $\quad$
  4. Sur l’intervalle $[0,5;3]$, la fonction $f$ est continue car dérivable et strictement croissante.
    $f(0,5) \approx -0,58 <0$ et $f(3)=2,30$
    Donc $0\in \left[f(0,5);f(3)\right]$
    D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0,5;3]$.
    A l’aide de la calculatrice on obtient $\alpha \approx 0,63$
    $\quad$
  5. D’après le logiciel de calcul formel, une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,5;10]$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=3x\ln(x)-x-\dfrac{x^2}{2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \displaystyle S&=\int_1^8 f(x)\dx \\
    &=F(8)-F(1) \\
    &=24\ln(8)-8-\dfrac{64}{2}-\left(-1-\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=24\ln(8)-\dfrac{77}{2}\\
    &\approx 11,41
    \end{align*}$
    $\quad$

Partie C

$f'(x)=\dfrac{-x+3}{x}=-1+\dfrac{3}{x}$

La fonction $f’$ est dérivable sur $[0,5;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.

$f\prime\prime(x)=-\dfrac{3}{x^2} \pp 0$.

La fonction $f$ est donc concave sur l’intervalle $[0,5;10]$.
La courbe $\Gamma$ est par conséquent toujours située en dessous de ses tangentes. L’affirmation de Tom est exacte.

 

Énoncé

GDE Erreur: Erreur lors de la récupération du fichier - si nécessaire, arrêtez la vérification d'erreurs (404:Not Found)

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