Exercice 1

Partie A

1. On cherche à calculer
   $\begin{align*} P(X \pg 4~000) &= 0,5-P(2~900 \pp X \pp 4~000) \\
   & \approx 0,189
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On cherche la valeur de $x$ telle que $P(X \pp x)=0,1 $.
   D’après la touche inverse loi normale de la calculatrice, on trouve $x \approx 1~298$
   $\quad$

Partie B

1. On sait que $P(S)=0,6$ et $P_S(D)=0,95$.
   Par conséquent $P(S \cap D)=0,6\times 0,95=0,57$.
   $\quad$
2. On sait que $P(D)=0,586$.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(D)=P(S\cap D)+P\left(\conj{S}\cap D\right) &\ssi 0,586=0,57+P\left(\conj{S}\cap D\right) \\
   &\ssi P\left(\conj{S}\cap D\right) = 0,016
   \end{align*}$
   Par conséquent
   $\begin{align*} P_{\conj{S}}(D)&=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap D\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
   &=\dfrac{0,016}{0,4} \\
   &=0,04
   \end{align*}$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{\conj{D}}(S)&=\dfrac{P\left(\conj{D}\cap S\right)}{P\left(\conj{D}\right)} \\
   &=\dfrac{0,6\times 0,05}{1-0,586} \\
   &\approx 0,072
   \end{align*}$
   $\quad$
4. On a $n=231 \pg 30$ et $p=0,027$.
   Donc $np=6,237 \pg 5$ et $n(1-p)=224,763 \pg 5$.
   Par conséquent un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{231}&=\left[0,027-1,96\sqrt{\dfrac{0,027\times (1-0,027)}{231}};0,027+1,96\sqrt{\dfrac{0,027\times (1-0,027)}{231}}\right] \\
   &\approx [0,006;0,048]
   \end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{13}{231}\approx 0,056$.
   Par conséquent $f \notin I_{231}$.
   Ces résultats remettent donc en cause l’affirmation du fabricant.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. $\quad$
   $\begin{align*} f(-x)&=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{-x}{b}}+\e^{-\frac{-x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \\
   &=-\dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{-x}{b}}+\e^{\frac{x}{b}}\right)+\dfrac{9}{4} \\
   &=f(x)
   \end{align*}$
   La courbe représentative de la fonction $f$ est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-2;2]$ en tant que somme de fonctions dérivables.
   $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{b}{8}\left(\dfrac{1}{b}\e^{\frac{x}{b}}-\dfrac{1}{b}\e^{-\frac{x}{b}}\right) \\
   &=-\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
3. Pour tout réel $x\in[0;2]$ on a, puisque $b>0$ :
   $\dfrac{x}{b}\pg -\dfrac{x}{b}$
   $\ssi \e^{\frac{x}{b}} \pg \e^{-\frac{x}{b}}$
   $\ssi \e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}} \pg 0$
   $\ssi -\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right) \pp 0$
   $\ssi f'(x) \pp 0$
   La fonction $f$ est donc décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
   Par symétrie, la fonction $f$ est donc croissante sur l’intervalle $[2;0]$.
   On obtient le tableau de variation suivant :
   
   Avec $f(-2)=-\dfrac{b}{8}\left(e^{\dfrac{-2}{b}}+\e^{\dfrac{2}{b}}\right)+\dfrac{9}{4}=f(2)$
   Et $f(0)=-\dfrac{b}{8}\times 2+\dfrac{9}{4}=\dfrac{-b+9}{4}$.
   Ainsi $S\left(0;\dfrac{-b+9}{4}\right)$.
   $\quad$

Partie B

1. On veut que  :
   $\begin{align*} f(0)=2&\ssi \dfrac{-b+9}{4}=2 \\
   &\ssi -b+9=8 \\
   &\ssi -b=-1 \\
   &\ssi b=1
   \end{align*}$
   $\quad$
2. On a donc $f(x)=-\dfrac{1}{8}\left(e^x+e^{-x}\right)+\dfrac{9}{4}$.
   et $f(2)=-\dfrac{1}{8}\left(e^2+e^{-2}\right)+\dfrac{9}{4}\approx 1,309$
   Sur l’intervalle $[0;2]$, la fonction $f$ est continue, car dérivable, et strictement décroissante.
   $f(0)=2>1,5$ et $f(2)\approx 1,309<1,5$
   Donc $1,5\in\left[f(2);f(0)\right]$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=1,5$ possède une unique solution dont une valeur approchée est $1,76$.
   Ainsi $a\approx 1,76$.
   $\quad$
3. Calculons la surface d’un vantail.
   Il s’agit de l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentant la fonction $f$ et les droites d’équation $x=0$ et $ x=1,8$.
   Puisque la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[0;1,8]$ (le minimum est $1,5$ d’après ce qui a été dit à la question précédente) l’aire cherchée est :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_0^{1,8}f(x)\dx \phantom{\dfrac{1}{1}} \\
   &=\left[-\dfrac{1}{8}\left[e^x-e^{-x}\right]+\dfrac{9}{4}x\right]_0^{1,8} \\
   &=-\dfrac{1}{8}\left(e^{1,8}-\e^{-1,8}\right)+\dfrac{9}{4}\times 1,8-0\\
   &\approx 3,314
   \end{align*}$
   La masse du vantail est donc :
   $M=20\times \mathscr{A}\approx 66,289>60$
   Le client décidera donc d’automatiser son portail.
   $\quad$

Partie C

Avec la forme 1
Le rectangle a donc pour dimension $1,8\times 2$
L’aire de partie perdue est :
$\mathscr{A}_1=2\times 1,8-\mathscr{A}\approx 0,286$

$\quad$

Avec la forme 2
$f'(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\e-\e^{-1}\right)$ et $f(1)=-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}$
Une équation de la tangente $T$ au point $F$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
L’ordonnée à l’origine est donc
$\begin{align*} -f'(1)+f(1)&=\dfrac{1}{8}\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4} \\
&=-2\times \dfrac{1}{8}e^{-1}+\dfrac{9}{4} \\
&=\dfrac{-\e^{-1}+9}{4}
\end{align*}$
Le point de la tangente $T$ ayant pour abscisse $1,8$ a pour ordonnée :
$\begin{align*} y&=f'(1)\times (1,8-1)+f(1) \\
&=f'(1)\times 0,8+f(1) \\
&=-0,1\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4}
\end{align*}$
Ainsi l’aire du trapèze est :
$\mathscr{A}_T=\dfrac{\dfrac{-\e^{-1}+9}{4}-0,1\left(\e-\e^{-1}\right)-\dfrac{1}{8}\left(\e+\e^{-1}\right)+\dfrac{9}{4} }{2}\times 1,8 $
L’aire de la partie perdue est $\mathscr{A_2}=\mathscr{A}_T-\mathscr{A}\approx 0,094$

Par conséquent on économise environ $0,286-0,094= 0,191$ m$^2$ de bois en choisissant la forme 2.

Exercice 3

1. On veut $u_0+u_1=u_0\times u_1$
   Soit $3+u_1=3u_1$
   $\ssi 3=2u_1$
   $\ssi u_1=1,5$
   $\quad$
   On veut que $u_0+u_1+u_2=u_0\times u_1 \times u_2$
   Soit $3+1,5+u_2=4,5u_2$
   $\ssi 4,5=3,5u_2$
   $\ssi u_2=\dfrac{9}{7}$
   $\quad$
2. a. Pour tout entier naturel $n >0$ on a :
   $\begin{align*} s_{n+1}&=u_0+u_1+\ldots+u_{n-1}+u_n\\
   &=s_n+u_n
   \end{align*}$
   Par conséquent $s_{n+1}-s_n=u_n \pg 0$.
   La suite $\left(s_n\right)$ est donc croissante.
   On sait que $s_1=u_0>1$.
   Puisque la suite $\left(s_n\right)$ est croissante, cela signifie donc, que pour tout entier naturel $n>0$ on a $s_n \pg s_1$ soit $s_n > 1$.
   $\quad$
   b. On a
   $\begin{align*} s_{n+1}&=u_0\times u_1\times \ldots \times u_{n-1}\times u_n \\
   &=s_n \times u_n
   \end{align*}$
   Par conséquent $s_n+u_n=s_n\times u_n$
   $\ssi s_n=s_n\times u_n-u_n$
   $\ssi s_n=u_n\left(s_n-1\right)$
   $\ssi u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}$
   $\quad$
   c. On sait que $s_n>1$ donc $s_n-1>0$.
   Ainsi $s_n$ et $s_n-1$ sont positifs et $s_n>s_n-1$.
   Donc $u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}>1$.
   $\quad$
3. a. Dans la partie traitement on a :
   $u$ prend la valeur $\dfrac{s}{s-1}$
   $s$ prend la valeur $s+u$
   $\quad$
   b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $1$.
   $\quad$
4. a. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n >0$ on a $s_n>n$.
   Initialisation : On a $s_1=u_0>1$
   La propriété est vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $s_n>n$.
   On a $s_{n+1}=s_n+u_n >n+u_n>n+1$
   car d’après la question 2.c. on a $u_n>1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n>0$ on a $s_n>n$.
   $\quad$
   b. On sait que $\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty$
   D’après le théorème de comparaison on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty$
   $\quad$
   On a
   $\begin{align*} u_n&=\dfrac{s_n}{s_n-1} \\
   &=\dfrac{s_n}{s_n\left(1-\dfrac{1}{s_n}\right)} \\
   &=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{s_n}}
   \end{align*}$
   Puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty$ cela signifie donc que $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{s_n}=0$
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1$
   $\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a. La droite $(UV)$ du plan $(UVK)$ et la droite $(EF)$ du plan $(SEF)$ sont parallèles.
   Les plans $(UVK)$ et $(SEF)$ sont sécants selon la droite $(KM)$.
   D’après le théorème du toit les droites $(KM)$, $(UV)$ et $(EF)$ sont parallèles.
   $\quad$
   b. Les plans $(SEA)$ et $(GCB)$ sont parallèles.
   Le plan $(UKV)$ coupe le plan $(SEA)$ selon la droite $(UK)$.
   Par conséquent le plan $(UKV)$ coupe le plan $(GCB)$ selon une droite qui parallèle à $(UK)$.
   Ainsi $(UK)$ et $(NP)$ sont parallèles.
   $\quad$
2. a. On a $S(0;0;3,5)$ et $E(4;0;2,5)$.
   Ainsi $\vect{SE}(4;0;-1)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(SE)$ est donc :
   $\begin{cases}x=4t\\y=0\\z=3,5-t\end{cases} \qquad t\in \R$.
   On sait que l’abscisse du point $K$ est $1,2$ et qu’il appartient à la droite $(SE)$.
   On doit donc résoudre l’équation $4t=1,2$ soit $t=0,3$.
   En reportant cette valeur dans la représentation paramétrique de la droite $(SE)$ on trouve :
   $\begin{cases} x=1,2\\y=0\\z=3,2\end{cases}$
   Donc $K(1,2;0;3,2)$.
   $\quad$
   b. On a $\vect{UV}(0;8;0)$ et $\vect{UK}(1,2;0;-2,8)$
   Ces deux vecteurs du plan $(UVK)$ ne sont clairement pas colinéaires.
   $\vec{n}.\vect{UV}=0+0+0=0$
   $\vec{n}.\vect{UK}=8,4+0-8,4=0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(UVK)$.
   Il  est donc normal au plan $(UVK)$.
   $\quad$
   Une équation cartésienne de ce plan est de la forme $7x+3z+d=0$.
   On sait que les coordonnées du point $U(0;0;6)$ vérifient cette équation.
   Ainsi $0+18+d=0 \ssi d=-18$
   Une équation cartésienne du plan $(UVK)$ est alors $7x+3z-18=0$.
   $\quad$
   c. $\vect{FG}(-4;0;0)$.
   Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc :
   $\begin{cases} x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \qquad k\in\R$
   Le point $N$ appartient au plan $(UVK)$ et à la droite $(FG)$.
   Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
   $\begin{align*} \begin{cases} 7x+3z-18=0 \\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} &\ssi \begin{cases} 28-28k+7,5-18=0\\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} -28k+17,5=0\\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{17,5}{28} \\x=4-4k\\y=5\\z=2,5\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} k=\dfrac{5}{8} \\x=1,5\\y=5\\z=2,5\end{cases}
   \end{align*}$
   Ainsi $N(1,5;5;2,5)$.
   $\quad$
   d. On place le point $L$ du segment $[OA]$ tel que $\vect{OL}=\dfrac{3}{10}\vect{OA}$ (car $K(1,2;0;3,2)$ et $OA=4$ donc $\dfrac{1,2}{3}=0,3$).
   La droite parallèle à $(OU)$ passant par $L$ coupe $(ES)$ en $K$.
   La droite $(UK)$ coupe le segment $[OA]$ en $Q$.
   On construit donc la droite parallèle à $(EF)$ passant par le point $K$. Elle coupe le segment $[SF]$ en $M$.
   On place le point $N$ du segment $[FG]$ tel que $\vect{GN}=\dfrac{3}{8}\vect{GF}$ (en effet, on a $N(1,5;5;2,5)$ et $GF=4$ donc $\dfrac{1,5}{4}=\dfrac{3}{8}$).
   On trace le segment $[MN]$.
   On trace la droite parallèle à la droite $(UK)$ passant par le point $N$. Elle coupe le segment $[BC]$ en $P$.
   On trace les segment $[NP]$ et $[PQ]$.
   $\quad$
3. On appelle $H$ le point du segment $[SO]$ tel que le triangle $SGH$ soit rectangle en $H$.
   On a ainsi $SH=3,5-2,5=1$ et $HG=OC=5$.
   Ainsi $\tan \widehat{SGH}=\dfrac{SH}{HG}=\dfrac{1}{5}$
   Par conséquent $\widehat{SGH}\approx 11,3$°$>7$°.
   La condition est donc bien remplie.
   $\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. $20\%$ des inscrits au programme $A$ se réinscrivent soit $0,2a_n$.
   $40\%$ des inscrits au programme $A$ s’inscrivent au programme $B$ soit $0,4a_n$.
   $40\%$ des inscrits au programme $A$ quittent l’association soit $0n4a_n$.
   $60\%$ des inscrits au programme $B$ se réinscrivent soit $0,6b_n$.
   $40\%$ des inscrits au programme $B$ quittent l’association soit $0,4b_n$.
   Les nouveaux inscrits compensent les départs soit $0,4a_n+0,4b_n$ suivent le programme $A$.
   Ainsi $a_{n+1}=0,2a_n+0,4a_n+0,4b_n=0,6a_n+0,4b_n$
   et $b_{n+1}=0,4a_n+0,6b_n$
   On obtient ainsi la matrice de transition $M=\begin{pmatrix}0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
   Et $U_{n+1}=U_n\times M$.
   $\quad$
2. Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : $U_0=\begin{pmatrix} 150&0\end{pmatrix}$
   $75+75\times 0,2^0=150$ et $75-75\times 75^0=75-75=0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=\begin{pmatrix} 75+75\times 0,2^n&75-75\times 0,2^n \end{pmatrix}$
   Donc
   $\begin{align*} a_{n+1}&=0,6\left(75+75\times 0,2^n\right)+0,4\left(75-75\times 0,2^n\right) \\
   &=45+0,6\times 75\times 0,2^n+30-0,4\times 75\times 0,2^n \\
   &=75+(0,6-0,4)\times 75\times 0,2^n\\
   &=75+0,2\times 75\times 0,2^n\\
   &=75+75\times 0,2^{n+1}
   \end{align*}$
   $\begin{align*} b_{n+1}&=0,4\left(75+\times 75\times 0,2^n\right)+0,6\left(75-\times 75\times 0,2^n\right) \\
   &=30+0,4\times 75\times 0,2^n+45-0,6\times 75\times 0,2^n \\
   &=75+(0,4-0,6)\times 75\times 0,2^n \\
   &=75-0,2\times 75\times 0,2^n \\
   &=75-75\times 0,2^{n+1}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=\begin{pmatrix} 75+\times 75\times 0,2^n&75-\times 75\times 0,2^n\end{pmatrix}$
   $\quad$
3. $0<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,2^n=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=75$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=75$
   Sur le long terme les deux programmes compteront $75$ inscrits.
   $\quad$

Partie B

1. a. Si le nombre est $111383$ alors $S=1+1+8+3(1+3)=22$
   $22=2\times 10+2$.
   La clé devrait donc être $2$.
   Le nombre $111383$ ne peut donc pas être celui d’un enfant inscrit à l’association.
   $\quad$
   b. On note $S_1=0+c_3+c_5+3(8+c_4)$ et $S_2=1+c_3+c_5+3(1+c_4)$.
   On veut donc savoir si $S_1-S_2$ est un multiple de $10$.
   $\begin{align*} S_1-S_2&=c_3+c_5+24+3c_4-\left(1+c_3-c_5+3+3c_4\right) \\
   &=24-1-3 \\
   &=20
   \end{align*}$
   La différence $S_1-S_2$ étant un multiple de $10$, les nombres $S_1$ et $S_2$ ont le même reste dans la division euclidienne par $10$.
   L’erreur ne sera donc pas détectée grâce à la clé.
   $\quad$
2. a. On note $S=c_1+c_3+c_5+a\left(c_2+c_4\right)$ et $S’=c_1+c_4+c_5+a\left(c_2+c_3\right)$
   Si la clé ne détecte pas l’erreur cela signifie donc que :
   $\begin{align*} S\equiv S’ ~~[10] &\ssi c_1+c_3+c_5+ac_2+ac_4 \equiv c_1+c_4+c_5+ac_2+ac_3 ~~[10] \\
   &\ssi c_3+ac_4 \equiv c_4+ac_3 ~~[10] \\
   &\ssi c_3+ac_4-c_4-ac_3 \equiv 0~~[10] \\
   &\ssi (a-1)\left(c_4-c_3\right) \equiv 0 ~~ [10]
   \end{align*}$
   $\quad$
   b. Si $n=0$ alors $np\equiv 0~~[10]$ pour tout entier naturel $p$.
   Si $n=1$ alors $np=p \equiv p~~[10]$. Comme $p$ est compris entre $1$ et $9$ on ne peut pas avoir $np\equiv 0~~[10]$.
   Si $n=2$ alors si $p=5$ on a $np=10\equiv 0~~ [10]$.
   Si $n=3$ alors $np \in\left\{3,6,9,12,15,18,21,24,27\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
   Si $n=4$ alors si $p=5$ on a $np=20 \equiv 0~~[10]$.
   Si $n=5$ alors si $p=4$ on a $np=20 \equiv 0~~[10]$.
   Si $n=6$ alors si $p=5$ on a $np=30 \equiv 0~~[10]$.
   Si $n=7$ alors $np\in \left\{7,14,21,28,35,42,49,56,63\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
   Si $n=8$ alors si $p=5$ on a $np=40\equiv 0~~[10]$
   Si $n=9$ alors $np\in\left\{9,18,27,36,45,54,63,72,81\right\}$ et aucun de ces nombres n’est un multiple de $10$.
   Les entiers $n$ cherchés sont donc $0,2,4,5,6$ et $8$.
   $\quad$
   c. Pour que l’erreur soit détectée il faut donc $a-1$ appartienne à $\left\{1,3,7,9\right\}$
   Soit $a\in\left\{2,4,8\right\}$

Exercice 1    5 points

Dans tout l’exercice, les valeurs seront, si nécessaire, approchées au millième.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Dans le cadre de son activité, une entreprise reçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces devis sont calculés par son secrétariat. Une étude statistique sur l’année écoulée conduit à modéliser le montant des devis par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 2~900$ euros et d’écart-type $\sigma = 1~250$ euros.

1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l’entreprise, quelle est la probabilité que le montant du devis soit supérieur à $4~000$ euros ?
   $\quad$
2. Afin d’améliorer la rentabilité de son activité, l’entrepreneur décide de ne pas donner suite à $10\%$ des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé. Quel doit être le montant minimum d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris en compte ? Donner ce montant à l’euro près.
   $\quad$

Partie B

Ce même entrepreneur décide d’installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier appelé “dossier spam”. Le fabricant affirme que $95\%$ des spams sont déplacés. De son côté, l’entrepreneur sait que $60\%$ des messages qu’il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il constate que $58,6\%$ des messages sont déplacés dans le dossier spam.
Pour un message pris au hasard, on considère les événements suivants :

• $D$ : “le message est déplacé” ;
• $S$ : “le message est un spam”.

1. Calculer $P(S \cap D)$.
   $\quad$
2. On choisit au hasard un message qui n’est pas un spam. Montrer que la probabilité qu’il soit déplacé est égale à $0,04$.
   $\quad$
3. On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit un spam ?
   $\quad$
4. Pour le logiciel choisi par l’entreprise, le fabricant estime que $2,7\%$ des messages déplacés vers le dossier spam sont des messages fiables. Afin de tester l’efficacité du logiciel, le secrétariat prend la peine de compter le nombre de messages fiables parmi les messages déplacés.
   Il trouve $13$ messages fiables parmi les $231$ messages déplacés pendant une semaine.
   Ces résultats remettent-ils en cause l’affirmation du fabricant?
   $\quad$

Exercice 2    5 points

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder $4$ mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0 < a \pp 2$.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-dessous. Les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont perpendiculaires au seuil $[CD]$ du portail.
Entre les points $A$ et $B$, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[-2;2]$ par: $$f(x) = – \dfrac{b}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}} + \e^{-\frac{x}{b}}\right) + \dfrac{9}{4} \quad \text{ où } b > 0$$

Le repère est choisi de façon que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ aient pour coordonnées respectives $(-a;f(-a))$, $(a;f(a))$, $(a;0)$ et $(-a;0)$ et on note $S$ le sommet de la courbe de $f$, comme illustré ci-dessous.

Partie A

1. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-2;2]$, $f(-x) = f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
   $\quad$
2. On appelle $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-2;2]$ : $$f'(x) = -\dfrac{1}{8}\left(\e^{\frac{x}{b}}-\e^{-\frac{x}{b}}\right)$$
   Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2;2]$ et en déduire les coordonnées du point $S$ en fonction de $b$.
   $\quad$

Partie B

La hauteur du mur est de $1,5$ m. On souhaite que le point $S$ soit à $2$ m du sol. On cherche alors les valeurs de $a$ et $b$.

1. Justifier que $b = 1$.
   $\quad$
2. Montrer que l’équation $f(x) = 1,5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0;2]$ et en déduire une valeur approchée de $a$ au centième.
   $\quad$
3. Dans cette question, on choisit $a = 1,8$ et $b = 1$. Le client décide d’automatiser son portail si la masse d’un vantail excède $60$ kg. La densité des planches de bois utilisées pour la fabrication des vantaux est égale à $20$ kg.m$^{-2}$. Que décide le client ?
   $\quad$

Partie C

On conserve les valeurs $a = 1,8$ et $b = 1$.
Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle $OCES$, soit un trapèze $OCHG$ comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite $(GH)$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $F$ d’abscisse $1$.

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique.
Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

On rappelle la formule donnant l’aire d’un trapèze. En notant $b$ et $B$ respectivement les longueurs de la petite base et de la grande base du trapèze (côtés parallèles) et $h$ la hauteur du trapèze : $$Aire  = \dfrac{b+B}{2} \times h$$

$\quad$

Exercice 3    5 points

Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à $1$ et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs. On admet qu’une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

• $u_0 > 1$,
• pour tout $n \pg 0$, $u_n \pg 0$,
• pour tout $n > 0$, $u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_{n-1}$.

1. On choisit $u_0 = 3$. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
   $\quad$
2. Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \ldots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \ldots \times u_{n-1}$.
   On a en particulier $s_1 = u_0$·
   a. Vérifier que pour tout entier $n > 0$, $s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
   $\quad$
   b. En déduire que pour tout entier $n > 0$, $$u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}$$
   $\quad$
   c. Montrer que pour tout $n \pg 0$, $u_n > 1$.
   $\quad$
3. À l’aide de l’algorithme ci-dessous, on veut calculer le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
   Entrée :
   $\quad$ Saisir n
   $\quad$ Saisir u
   Traitement :
   $\quad$ $s$ prend la valeur $u$
   $\quad$ Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :
   $\qquad$ $u$ prend la valeur $\ldots$
   $\qquad$ $s$ prend la valeur $\ldots$
   $\quad$ Fin Pour
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $u$
   $\quad$
   a. Recopier et compléter la partie traitement de l’algorithme ci-dessus.
   $\quad$
   b. Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de $u_n$ pour différentes valeurs de l’entier $n$ :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   n &0& 5& 10 &20 &30 &40\\
   \hline
   u_n& 3 & 1,140 & 1,079 & 1,043 & 1,030 & 1,023\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
   $\quad$
4. a. Justifier que pour tout entier $n > 0$, $s_n > n$.
   $\quad$
   b. En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un particulier s’intéresse à l’ombre portée sur sa future véranda par le toit de sa maison quand le soleil est au zénith. Cette véranda est schématisée ci-dessous en perspective cavalière dans un repère orthonormé $\Oijk$. Le toit de la véranda est constitué de deux faces triangulaires $SEF$ et $SFG$.

• Les plans $(SOA)$ et $(SOC)$ sont perpendiculaires.
• Les plans $(SOC)$ et $(EAB)$ sont parallèles, de même que les plans $(SOA)$ et $(GCB)$.
• Les arêtes $[UV]$ et $[EF]$ des toits sont parallèles.

Le point $K$ appartient au segment $[SE]$, le plan $(UVK)$ sépare la véranda en deux zones, l’une éclairée et l’autre ombragée. Le plan $(UVK)$ coupe la véranda selon la ligne polygonale $KMNP$ qui est la limite ombre-soleil.

 

1. Sans calcul, justifier que :
   a. le segment $[KM]$ est parallèle au segment $[UV]$ ;
   $\quad$
   b. Le segment $[NP]$ est parallèle au segment $[UK]$.
   $\quad$
2. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\Oijk$. Les coordonnées des différents points sont les suivantes : $A(4;0;0)$, $B(4;5;0)$, $C(0;5;0)$, $E(4;0;2, 5)$, $F(4;5;2,5)$, $G(0;5;2,5)$, $S(0;0;3,5)$, $U(0;0;6)$ et $V(0;8;6)$.
   On souhaite déterminer de façon exacte la section des faces visibles de la véranda par le plan $(UVK)$ qui sépare les zones ombragée et ensoleillée.
   a. Au moment le plus ensoleillé, le point $K$ a pour abscisse $1,2$. Vérifier que les coordonnées du point $K$ sont $(1,2;0;3,2)$.
   $\quad$
   b. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(7;0;3)$ est un vecteur normal au plan $(UVK)$ et en déduire une équation cartésienne du plan $(UVK)$.
   $\quad$
   c. Déterminer les coordonnées du point $N$ intersection du plan $(UVK)$ avec la droite $(FG)$.
   $\quad$
   d. Expliquer comment construire la ligne polygonale sur le schéma de la véranda.
   $\quad$
3. Afin de faciliter l’écoulement des eaux de pluie, l’angle du segment $[SG]$ avec l’horizontale doit être supérieur à $7$°. Cette condition est-elle remplie ?
   $\quad$

Exercice 4    5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une association gère des activités pour des enfants. Elle propose deux programmes d’activités, le programme A : cirque – éveil musical, et le programme B : théâtre – arts plastiques.
À sa création en 2014, l’association compte $150$ enfants qui suivent tous le programme A.
Pour chacune des années suivantes, le nombre d’enfants inscrits dans l’association reste égal à $150$.
On dispose également des informations suivantes :
Chaque enfant ne peut suivre qu’un seul programme: soit le programme A, soit le programme B.
D’une année à l’autre, $20\%$ des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, alors que $40\%$ choisissent le programme B. Les autres quittent l’association.
D’une année à l’autre, $60\%$ des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B et les autres quittent l’association.
Les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.

On modélise le nombre d’inscrits au programme A et le nombre d’inscrits au programme B durant l’année $2014 + n$ respectivement par deux suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ et on note $U_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. On a donc $U_0 = \begin{pmatrix}150& 0\end{pmatrix}$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n + 1} = U_n M$ où $M = \begin{pmatrix} 0,6&0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}$.
   $\quad$
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_n = \begin{pmatrix}75 + 75 \times 0,2^n &75-75 \times 0,2^n\end{pmatrix}$.
   $\quad$
3. En déduire la répartition des effectifs à long terme entre les deux programmes.
   $\quad$

Partie B

L’association affecte à chaque enfant un numéro à $6$ chiffres $c_1c_2c_3c_4c_5k$. Les deux premiers chiffres représentent l’année de naissance de l’enfant les trois suivants sont attribués à l’enfant au moment de sa première inscription. Le dernier chiffre, appelé clé de contrôle, est calculé automatiquement de la façon suivante :

• on effectue la somme $S = c_1 + c_3 + c_5 + a \times \left(c_2 + c_4\right)$ où $a$ est un entier compris entre $1$ et $9$ ;
• on effectue la division euclidienne de $S$ par $10$, le reste obtenu est la clé $k$.

Lorsqu’un employé saisit le numéro à $6$ chiffres d’un enfant, on peut détecter une erreur de saisie lorsque le sixième chiffre n’est pas égal à la clé de contrôle calculée à partir des cinq premiers chiffres.

1. Dans cette question seulement, on choisit $a = 3$.
   a. Le numéro $111383$ peut-il être celui d’un enfant inscrit à l’association ?
   $\quad$
   b. L’employé, confondant un frère et une sœur, échange leurs années de naissance : 2008 et 2011. Ainsi, le numéro $08c_3c_4c_5k$ est transformé en $11c_3c_4c_5k$. Cette erreur est-elle détectée grâce à la clé ?
   $\quad$
2. On note $c_1c_2c_3c_4c_5k$ le numéro d’un enfant. On cherche les valeurs de l’entier $a$ pour lesquelles la clé détecte systématiquement la faute de frappe lorsque les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont intervertis. On suppose donc que les chiffres $c_3$ et $c_4$ sont distincts.
   a. Montrer que la clé ne détecte pas l’erreur d’interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$ si et seulement si $(a -1)\left(c_4 – c_3\right)$ est congru à $0$ modulo $10$.
   $\quad$
   b. Déterminer les entiers $n$ compris entre $0$ et $9$ pour lesquels il existe un entier $p$ compris entre $1$ et $9$ tel que $np \equiv 0 ~~(10)$.
   $\quad$
   c. En déduire les valeurs de l’entier $a$ qui permettent, grâce à la clé, de détecter systématiquement l’interversion des chiffres $c_3$ et $c_4$.
   $\quad$