Bac S – Amérique du Nord – Mai 2013

Amérique du Nord – Mai 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  5 points

On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
On considère les points $A(0;4;1)$, $B (1;3;0)$, $C(2;-1;- 2)$ et $D (7;- 1;4)$.

  1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;- 1;3)$.
    a. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
    $\quad$
    d. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  3. Soit $\mathscr{P}_{1}$ le plan d’équation $x + y + z = 0$ et $\mathscr{P}_{2}$ le plan d’équation $x + 4y + 2 = 0$.
    a. Démontrer que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont sécants.
    $\quad$
    b. Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=-4t-2\\\\ y =t\\\\z = 3t + 2 \end{cases} \quad t \in \R$.
    $\quad$
    c. La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite$\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.$$

  1. On considère l’algorithme suivant :
    Variables :
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    $\quad$ $u$ est un réel positif
    Initialisation :
    $\quad$ Demander la valeur de $n$
    $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $1$
    Traitement :
    $\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ :
    $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$
    $\quad$ Fin de Pour
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $u$
    $\quad$
    a. Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu’affiche cet algorithme lorsque l’on choisit $n = 3$.
    $\quad$
    b. Que permet de calculer cet algorithme ?
    $\quad$
    c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n    & 1 &5 &10 &15 &20\\\\
    \hline
    \text{Valeur affichée} &1,414~2 &1,957~1 &1,998~6 &1,999~9 &1,999~9\\\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_{n} \le 2$.
    $\quad$
    b. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} – \ln 2$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_{0} = – \ln 2$.
    $\quad$
    b. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    $\quad$
    d. Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
    Variables :
    $\quad$ $n$ est un entier naturel
    $\quad$ $u$ est un réel
    Initialisation :
    $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $0$
    $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $1$
    Traitement :
    $\quad$
    Sortie :
    $\quad$
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère l’algorithme suivant :
Variables :
$\quad$ $a$ est un entier naturel
$\quad$ $b$ est un entier naturel
$\quad$ $c$ est un entier naturel
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $c$ la valeur $0$
$\quad$  Demander la valeur de $a$
$\quad$ Demander la valeur de $b$
Traitement :
$\quad$ Tant que $a \ge b$
$\qquad$ Affecter à $c$ la valeur $c + 1$
$\qquad$  Affecter à $a$ la valeur $a – b$
$\quad$  Fin de tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $c$
$\quad$ Afficher $a$
$\quad$

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
    $\quad$
  2. Que permet de calculer cet algorithme ?
    $\quad$

Partie B

À chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

$$\begin{array}{l}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M\\\\
\hline
\phantom{1}0& \phantom{1}1 &\phantom{1}2 &\phantom{1}3 &\phantom{1}4 &\phantom{1}5 &\phantom{1}6 &\phantom{1}7 &\phantom{1}8 &\phantom{1}9 &10 &11 &12\\\\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\\\
\hline
13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\\\ \hline
\end{array}\end{array}$$

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape 1 : À la lettre que l’on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.
Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.
Étape 3 : Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

  1. Coder la lettre $U$.
    $\quad$
  2. Modifier l’algorithme de la partie A pour qu’à une valeur de $m$ entrée par l’utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l’aide du procédé de codage précédent.
    $\quad$

Partie C

  1. Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$.
    $\quad$
  2. Démontrer alors l’équivalence : $$9m + 5 \equiv p \quad [26] \ssi m \equiv 3p-15 \quad [26].$$
    $\quad$
  3. Décoder alors la lettre $B$.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne $400$ grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins $385$ grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à $385$ grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à $385$ grammes est commercialisable.
La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d’espérance $\mu = 400$ et d’écart-type $\sigma = 11$.

Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 380 & 385 & 390 & 395 & 400 & 405 & 410 & 415 & 420 \\\\
\hline
P(X \le x) & 0,035 & 0,086 & 0,182 & 0,325 & 0,5 & 0,675 & 0,818 & 0,914 & 0,965 \\\\
\hline
\end{array}$$

  1. Calculer $P(390 \le X \le 410)$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité $p$ qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
    $\quad$
  3. Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
    Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à $96\%$ ? On arrondira le résultat au dixième.
    On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $0$ et d’écart-type $1$, on a $P(Z \le -1,751) \approx 0,040$.
    $\quad$

Partie B

Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir $96\%$ de pains commercialisables.
Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de $300$ pains fabriqués.

  1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille $300$.
    $\quad$
  2. Parmi les $300$ pains de l’échantillon, $283$ sont commercialisables.
    Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l’objectif a été atteint ?
    $\quad$

Partie C

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

  1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant $30$ jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.
    $\quad$
    Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.
  2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après $90$ jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement $60$ jours ?
    $\quad$
  3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $$f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}$$ et soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathscr{C}$ est donnée ci-dessous :
Bac S - Amérique du Nord - mai 2013

 

  1. a. Étudier la limite de $f$ en $0$.\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
    $\quad$
    b. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathscr{C}$.
    $\quad$
  2. a. On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $]0;+ \infty[$, $$f'(x) = \dfrac{- 1 – 2\ln (x)}{x^3}.$$
    $\quad$
    b. Résoudre sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ l’inéquation $-1 – 2\ln (x) > 0$.
    En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    $\quad$
    c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la courbe $\mathscr{C}$ a un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
    $\quad$
    b. En déduire le signe de $f(x)$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier $n \ge 1$, on note $I_{n}$ l’aire, exprimée en unités d’aires, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}$ et les droites d’équations respectives $x = \dfrac{1}{\e}$ et $x = n$.
    a. Démontrer que $0 \le I_{2} \le \e – \dfrac{1}{2}$.
    On admet que la fonction $F$, définie sur l’intervalle $]0;+ \infty[$ par $F(x) = \dfrac{- 2 – \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0;+ \infty[$.
    $\quad$
    b. Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Étudier la limite de $I_{n}$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
    $\quad$