Amérique du Nord – Mai 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 5 points

Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une grande enseigne de cosmétiques lance une nouvelle crème hydratante.

Partie A : Conditionnement des pots

Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de $50$ mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale $55$ mL.
On dit qu’un pot de crème est non conforme s’il contient moins de $49$ mL de crème.

Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 50$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.
Calculer la probabilité qu’un pot de crème soit non conforme.
$\quad$
La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l’écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu’un pot choisi au hasard soit non conforme.
On note $\sigma’$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X – 50}{\sigma’}$
a. Préciser la loi que suit la variable aléatoire $Z$.
$\quad$
b. Déterminer une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \le u) = 0, 06$.
$\quad$
c. En déduire la valeur attendue de $\sigma’$.
$\quad$
Une boutique commande à son fournisseur $50$ pots de cette nouvelle crème.
On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d’atteindre l’objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l’échantillon est $0,06$.
Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les $50$ pots reçus.
a. On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes.
$\quad$

Partie B : Campagne publicitaire

Une association de consommateurs décide d’estimer la proportion de personnes satisfaites par l’utilisation de cette crème.
Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur $140$ personnes interrogées, $99$ se déclarent satisfaites.
Estimer, par intervalle de confiance au seuil de $95\%$, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.
$\quad$

Exercice 2 – 6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $$f(x) = 5 \e^{-x} – 3\e^{-2x} + x – 3.$$

On note $\mathscr{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathscr{D}$ la droite d’équation $y = x – 3$ dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Positions relatives de $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{D}$

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $g(x) = f(x) – (x – 3)$.

Justifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, $g(x) > 0$.
$\quad$
La courbe $\mathscr{C}_{f}$ et la droite $\mathscr{D}$ ont-elles un point commun ? Justifier.
$\quad$

Partie B : Étude de la fonction $g$

On note $M$ le point d’abscisse $x$ de la courbe $\mathscr{C}_{f}$, $N$ le point d’abscisse $x$ de la droite $\mathscr{D}$ et on s’intéresse à l’évolution de la distance $MN$.

Justifier que, pour tout $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, la distance $MN$ est égale à $g(x)$.
$\quad$
On note $g’$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Pour tout $x$ de l’intervalle $[0;+\infty[$, calculer $g'(x)$.
$\quad$
Montrer que la fonction $g$ possède un maximum sur l’intervalle $[0;+\infty[$ que l’on déterminera.
En donner une interprétation graphique.
$\quad$

Partie C : Étude d’une aire

On considère la fonction $\mathscr{A}$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$\mathscr{A}(x) = \int_{0}^x [f(t) – (t – 3)] \mathrm{d}t.$$

Hachurer sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie) le domaine dont l’aire est donnée par $\mathscr{A}(2)$.
$\quad$
Justifier que la fonction $\mathscr{A}$ est croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $\mathscr{A}(x)$.
$\quad$
Existe-t-il une valeur de $x$ telle que $\mathscr{A}(x) = 2$ ?
$\quad$

Annexe 1

Exercice 3 – 4 points

On considère un cube $ABCDEFCH$ donné en annexe 2 (à rendre avec la copie).

On note $M$ le milieu du segment $[EH]$, $N$ celui de $[FC]$ et $P$ le point tel que $\vec{HP} = \dfrac{1}{4} \vec{HG}$.

Partie A : Section du cube par le plan $(MNP)$

Justifier que les droites $(MP)$ et $(FG)$ sont sécantes en un point $L$.
Construire le point $L$.
$\quad$
On admet que les droites $(LN)$ et $(CG)$ sont sécantes et on note $T$ leur point d’intersection.
On admet que les droites $(LN)$ et $(BF)$ sont sécantes et on note $Q$ leur point d’intersection.
a. Construire les points $T$ et $Q$ en laissant apparents les traits de construction.
$\quad$
b. Construire l’intersection des plans $(MNP)$ et $(ABF)$.
$\quad$
c. En déduire une construction de la section du cube par le plan $(MNP)$.
$\quad$

Partie B

L’espace est rapporté au repère $\left(A;\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}\right)$.

Donner les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$ dans ce repère.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $L$.
$\quad$
On admet que le point $T$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{5}{8}\right)$.
Le triangle $TPN$ est-il rectangle en $T$ ?
$\quad$

Annexe 2

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Un volume constant de $2~200$ m$^3$ d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

au départ, le bassin A contient $800$ m$^3$ d’eau et le bassin B contient $1~400$ m$^3$ d’eau ;
tous les jours, $15\%$ du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ;
tous les jours, $10\%$ du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$a_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;
$b_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = 1~400$.

Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ?
$\quad$
Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$.
$\quad$
L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à $1~100$.
Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.
Variables :
$\quad$ $n$ est un entier naturel
$\quad$ $a$ est un réel
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $0$
$\quad$ Affecter à $a$ la valeur $800$
Traitement :
$\quad$ Tant que $a < 1~100$, faire :
$\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $\ldots$
$\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\ldots$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} – 1~320$.
a. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
$\quad$
b. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $a_{n} = 1~320 – 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
$\quad$
On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d’eau.
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

au départ, le bassin A contient $1~100$ m$^3$ d’eau et le bassin B contient $1~100$ m$^3$ d’eau ;
tous les jours, $15\%$ du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;
tous les jours, $10\%$ du volume d’eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également $5$ m$^3$ du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$a_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;
$b_{n}$ le volume d’eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

On a donc $a_{0} = 1~100$ et $b_{0} = 1~100$.

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

Traduire la conservation du volume total d’eau du circuit par une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
$\quad$
On utilise un tableur pour visualiser l’évolution du volume d’eau dans les bassins.
Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules $B3$ et $C3$ permettant d’obtenir la feuille de calcul ci-dessous :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&A &B &C \\ \hline
1& \text{Jour } n& \text{Volume bassin A}& \text{Volume bassin B}\\
\hline
2 &0 &1100,00 &1100,00\\
\hline
3 &1 & &\\
\hline
4 & 2 &1~187,50 &1~012,50\\
\hline
5 &3 &1~215,63 &984,38\\
\hline
6 &4 &1~236,72 &963,28\\
\hline
7 &5 &1~252,54 &947,46\\
\hline
8 & 6 &1~264,40 &935,60\\
\hline
9 &7 &1~273,30 &926,10\\
\hline
10 &8 &1~279,98 &920,02\\
\hline
11 &9 &1~234,98 &915,02\\
\hline
12 &10 &1~288,74 &911,26\\
\hline
13 &11 &1~291,55 &908,45\\
\hline
14 &12 &1~293,66 &906,34\\
\hline
15 &13 &1~295,25 &904,75\\
\hline
16 &14 &1~296,44 &903,56\\
\hline
17 &15 &1~297,33 &902,67\\
\hline
18 &16 &1~298,00 &902,00\\
\hline
19 &17 &1~298,50 &901,50\\
\hline
20 &18 &1~298,87 &901,13\\
\hline
\end{array}$$
Quelles conjectures peut-on faire sur l’évolution du volume d’eau dans chacun des bassins ?

Partie B

On considère la matrice carrée $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85 \end{pmatrix}$ et les matrices colonnes $R = \begin{pmatrix}-5\\5 \end{pmatrix}$ et $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

On admet que, pour tout entier naturel $n$,$X_{n+1} = M X_{n} + R$.

On note $S = \begin{pmatrix} 1~300\\ 900\end{pmatrix}$.
Vérifier que $S = MS + R$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} – S = M\left(X_{n} – S\right)$.
Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n} – S = M^n\left(X_{0} – S\right)$ et que $M^n = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 – 0,6 \times 0,75^n\\0,4 – 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix}$.
$\quad$
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n} = \begin{pmatrix}1~300 – 200 \times 0,75^n\\900 + 200 \times 0,75^n \end{pmatrix}$.
$\quad$
Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.
$\quad$
On considère que le processus est stabilisé lorsque l’entier naturel $n$ vérifie $$1~300 – a_{n} < 1,5\quad \text{et} \quad b_{n} – 900 < 1,5.$$
Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.