Amérique du Sud – Novembre 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 6 points

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x) = x \e^{1-x}.$$

Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)= \e \times \dfrac{x}{\e^x}$.
$\quad$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$.
$\quad$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement cette limite.
$\quad$
Déterminer la dérivée de la fonction $f$.
$\quad$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$ puis dresser le tableau de variation.
$\quad$

Partie B

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les fonctions $g_{n}$ et $h_{n}$ définies sur $\R$ par :
$$g_{n}(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n \quad \text{et}\quad h_{n}(x) = 1 + 2x + \ldots + nx^{n-1}.$$

Vérifier que, pour tout réel $x$ : $(1 – x)g_{n}(x) = 1 – x^{n+1}$.
On obtient alors, pour tout réel $x \neq 1$ : $g_{n}(x) = \dfrac{1 – x^{n+1}}{1 – x}$.
$\quad$
Comparer les fonctions $h_{n}$ et $g’_{n}$, $g’_{n}$ étant la dérivée de la fonction $g_{n}$.
En déduire que, pour tout réel $x \neq 1$ : $h_{n}(x) = \dfrac{nx^{n+1} -(n+1)x^n + 1}{(1-x)^2}$.
$\quad$
Soit $S_{n} = f(1) + f(2) + … + f(n)$, $f$ étant la fonction définie dans la partie A.
En utilisant les résultats de la partie B, déterminer une expression de $S_{n}$ puis sa limite quand $n$ tend vers $+ \infty$.
$\quad$

Exercice 2 – 4 points

On considère le cube $ABCDEFGH$, d’arête de longueur $1$, représenté ci-dessous et on munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right)$.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FD)$.
$\quad$
Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\- 1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(BGE)$ et déterminer une équation du plan $(BGE)$.
$\quad$
Montrer que la droite $(FD)$ est perpendiculaire au plan $(BGE)$ en un point $K$ de coordonnées $K\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
$\quad$
Quelle est la nature du triangle $BEG$ ? Déterminer son aire.
$\quad$
En déduire le volume du tétraèdre $BEGD$.
$\quad$

Exercice 3 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère l’équation $$(E) :\quad z^2 – 2z\sqrt{3} + 4 = 0.$$

Résoudre l’équation $(E)$ dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes.
$\quad$
On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d’affixes $z_{n} = 2^n \e^{\ic(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \ge 1$.
a. Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$.
$\quad$
b. Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique.
$\quad$
c. Placer les points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right]$, $\left[M_{2},M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
$\quad$
Montrer que, pour tout entier $n \ge 1$, $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \ic}{2}\right)$.
$\quad$
Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.
$\quad$
Pour la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier $n \ge 1$, $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$.
$\quad$
On note $\ell^n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \ldots + M_{n}M_{n+1}$.
a. Montrer que, pour tout entier $n \ge 1, \ell^n = 2\sqrt{3}\left(2^n – 1\right)$.
$\quad$
b. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell^n \ge 1~000$.
$\quad$

Annexe

Exercice 3 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le gestionnaire d’un site web, composé de trois pages web numérotées de $1$ à $3$ et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.

Des études statistiques lui ont permis de s’apercevoir que :

Si un internaute est sur la page n° $1$, alors il ira, soit sur la page n° $2$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page n° $3$ avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.
Si un internaute est sur la page n° $2$, alors, soit il ira sur la page n° $1$ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il restera sur la page n° $2$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page n° $3$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.
Si un internaute est sur la page n° $3$, alors, soit il ira sur la page n° $1$ avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il ira sur la page n° $2$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page n° $3$ avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.

Pour tout entier naturel $n$, on définit les événements et les probabilités suivants :

$A_{n}$ : “Après la $n$-ième navigation, l’internaute est sur la page n° $1$” et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.
$B_{n}$ : “Après la $n$-ième navigation, l’internaute est sur la page n° $2$” et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.
$C_{n}$ : “Après la $n$-ième navigation, l’internaute est sur la page n° $3$” et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$.
On admet que, de m\^eme, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$.
Ainsi :
$$\begin{cases} a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\\\
b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\\\
c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}
\end{cases}$$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$.
$U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l’on précisera.
En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$.
$\quad$
Montrer qu’il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$.
$\quad$
Un logiciel de calcul formel a permis d’obtenir l’expression de $M^n$, $n$ étant un entier naturel non nul : $$M^n = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left( \dfrac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\dfrac{1}{3} + \dfrac{\left(\dfrac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\\\
\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{4}\\\\
\dfrac{5}{12} + \dfrac{\left(-\left(\dfrac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\dfrac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\dfrac{5}{12} + \dfrac{-\left(\dfrac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}
\end{pmatrix}$$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n}$, $b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right)$, $\left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l’on précisera.
$\quad$
c. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.

Partie A

En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de $10\%$. L’étude a également permis de prouver que $30\%$ des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d’un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n’atteint plus que $8\%$ pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les événements :

$M$ : “La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme”
$C$ : “La personne est victime d’un accident cardiaque au cours de sa vie”.

a. Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$.
$\quad$
b. Calculer $P(C)$.
$\quad$
On choisit au hasard une victime d’un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu’elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?
$\quad$

Partie B

La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française.

On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l’échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

Définir la loi de la variable aléatoire $X$.
$\quad$
Déterminer $P(X = 35)$.
$\quad$
Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
$\quad$

Partie C

On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400}$, $X$ étant la variable aléatoire de la partie B.
Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95\%$.
$\quad$
Dans l’échantillon considéré, $60$ personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.
Qu’en pensez-vous ?
$\quad$