Antilles Guyane – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 5 points

Description de la figure dans l’espace muni du repère orthonormé $\left(A;\vec{AB};\vec{AD};\vec{AE}\right)$:
$ABCDEFGH$ désigne un cube de côté $1$.
On appelle $\mathscr{P}$ le plan $(AFH)$.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$, le point $K$ est le milieu du segment $[HF]$, le point $L$ est le point d’intersection de la droite $(EC)$ et du plan $\mathscr{P}$.

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.

a. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont strictement parallèles.
$\quad$
b. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont non coplanaires.
$\quad$
c. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont sécantes.
$\quad$
d. Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont confondues.
$\quad$
a. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $0$.
$\quad$
b. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $(-1)$.
$\quad$
c. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $1$.
$\quad$
d. Le produit scalaire $\vec{AF}\cdot\vec{BG}$ est égal à $2$.
$\quad$
Dans le repère orthonormé $\left(A;\vec{AB};\vec{AD};\vec{AE}\right)$:
a. Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y + z – 1=0$.
$\quad$
b. Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $x- y + z=0$.
$\quad$
c. Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $- x + y + z=0$.
$\quad$
d. Le plan $\mathscr{P}$ a pour équation cartésienne : $x + y – z = 0$.
$\quad$
a. $\vec{EG}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. $\vec{EL}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
c. $\vec{IJ}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
d. $\vec{DI}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
a. $\vec{AL}=\dfrac{1}{2}\vec{AH} + \dfrac{1}{2}\vec{AF}$.
$\quad$
b. $\vec{AL}=\dfrac{1}{3}\vec{AK}$.
$\quad$
c. $\vec{ID}=\dfrac{1}{2}\vec{IJ}$.
$\quad$
d. $\vec{AL}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AD}+\dfrac{2}{3}\vec{AE}$.
$\quad$

Exercice 2 – 5 points

Partie A

Soient $n$ un entier naturel, $p$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$, et $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note $F_n = \dfrac{X_n}{n}$ et $f$ une valeur prise par $F_n$. On rappelle que, pour $n$ assez grand, l’intervalle $\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient la fréquence $f$ avec une probabilité au moins égale à $0,95$.

En déduire que l’intervalle $\left[f – \dfrac{1}{\sqrt{n}};f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ contient $p$ avec une probabilité au moins égale à $0,95$.

Partie B

On cherche à étudier le nombre d’étudiants connaissant la signification du sigle URSSAF. Pour cela, on les interroge en proposant un questionnaire à choix multiples. Chaque étudiant doit choisir parmi trois réponses possibles, notées $A$, $B$ et $C$, la bonne réponse étant la $A$.
On note $r$ la probabilité pour qu’un étudiant connaisse la bonne réponse. Tout étudiant connaissant la bonne réponse répond $A$, sinon il répond au hasard (de façon équiprobable).

On interroge un étudiant au hasard. On note:
• $A$ l’événement “l’étudiant répond $A$”,
• $B$ l’événement “l’étudiant répond $B$”,
• $C$ l’événement “l’étudiant répond $C$”,
• $R$ l’événement “l’étudiant connait la réponse”,
• $\overline{R}$ l’événement contraire de $R$.
a. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité de l’événement $A$ est $P(A)=\dfrac{1}{3}\left(1+2r\right)$.
$\quad$
c. Exprimer en fonction de $r$ la probabilité qu’une personne ayant choisie $A$ connaisse la bonne réponse.
$\quad$
Pour estimer $r$, on interroge $400$ personnes et on note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de bonnes réponses. On admettra qu’interroger au hasard $400$ étudiants revient à effectuer un tirage avec remise de $400$ étudiants dans l’ensemble de tous les étudiants.
a. Donner la loi de $X$ et ses paramètres $n$ et $p$ en fonction de $r$.
$\quad$
b. Dans un premier sondage, on constate que $240$ étudiants répondent $A$, parmi les $400$ interrogés.
Donner un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ de l’estimation de $p$.
En déduire un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ de $r$.
$\quad$
c. Dans la suite, on suppose que $r = 0,4$. Compte-tenu du grand nombre d’étudiants, on considérera que $X$ suit une loi normale.
$\quad$ i. Donner les paramètres de cette loi normale.
$\quad$
$\quad$ ii. Donner une valeur approchée de $P(X\le 250)$ à $10^{-2}$ près.
On pourra s’aider de la table en annexe 1, qui donne une valeur approchée de $P(X\le t)$ où $X$ est la variable aléatoire de la question 2. c.
$\quad$

Annexe 1

Exemple d’utilisation: au croisement de la ligne 12 et de la colonne E le nombre $0,706$ correspond à $P(X\le 245,3)$.

Exercice 3 – 5 points

Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels $\R$ telle que:
$$f(x) = (x + 1)\e^x.$$

Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
$\quad$
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\e^x$.
$\quad$
Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B

On définie la fonction $g_m$ sur $\R$ par: $$g_m(x)=x+1-m\e^{-x}$$ et on note $\mathscr{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\Oij$ du plan.

a. Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
$\quad$
b. Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d’intersection de la courbe $\mathscr{C}_m$ avec l’axe des abscisses en fonction du réel $m$.
$\quad$
On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathscr{C}_0$, $\mathscr{C}_{\e}$, et $\mathscr{C}_{-\e}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\e$ et $-\e$).
Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l’annexe en justifiant.
$\quad$
Étudier la position de la courbe $\mathscr{C}_m$ par rapport à la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y=x+1$ suivant les valeurs du réel $m$.
$\quad$
a. On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathscr{C}_{\e}$, $\mathscr{C}_{-\e}$, l’axe $(Oy)$ et la droite $x = 2$. Hachurer $D_2$ sur l’annexe 2.
$\quad$
b. Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathscr{C}_{\e}$, $\mathscr{C}_{-\e}$, l’axe $(Oy)$ et la droite $\Delta_a$ d’équation $x=a$. On désigne par $\mathscr{A}(a)$ l’aire de cette partie du plan, exprimée en unités d’aire.
Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathscr{A}(a)=2\e-2\e^{1-a}$.
En déduire la limite de $\mathscr{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
$\quad$

Annexe 2

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On définit les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sur l’ensemble $\N$ des entiers naturels par:
$$ u_0=0~;~v_0=1~,~\text{et}~ \begin{cases} u_{n+1} = \dfrac{u_n+v_n}{2}\\\\ v_{n+1} = \dfrac{u_n+2v_n}{3} \end{cases}$$

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.

Calculer $u_1$ et $v_1$.
$\quad$
On considère l’algorithme suivant:
Variables :
$\quad$ $u$, $v$ et $w$ des nombres réels
$\quad$ $N$ et $k$ des nombres entiers
Initialisation :
$\quad$ $u$ prend la valeur $0$
$\quad$ $v$ prend la valeur $1$
Début de l’algorithme
$\quad$ Entrer la valeur de $N$
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à $N$
$\qquad$ $w$ prend la valeur $u$
$\quad$ $u$ prend la valeur $\dfrac{w+v}{2}$
$\quad$ $v$ prend la valeur $\dfrac{w+2v}{3}$
$\quad$ Fin du Pour
$\quad$ Afficher $u$
$\quad$ Afficher $v$
Fin de l’algorithme
a. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme.
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k & w & u & v \\\\
\hline
1 & & & \\\\
\hline
2 & & & \\\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on définit le vecteur colonne $X_n$ par $X_n=\begin{pmatrix} u_n\\v_n \end{pmatrix}$ et la matrice $A$ par $A=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$.
a. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}= AX_n$.
$\quad$
b. Démontrer par récurrence que $X_n = A^nX_0$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
On définit les matrices $P$, $P’$ et $B$ par $P = \begin{pmatrix} \dfrac{4}{5}&\dfrac{6}{5}\\-\dfrac{6}{5}&\dfrac{6}{5} \end{pmatrix}$, $P’=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\\\\ \dfrac{1}{2}& \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1&0\\\\0&\dfrac{1}{6}
\end{pmatrix}$.
a. Calculer le produit $PP’$.
On admet que $P’BP=A$.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $A^n=P’B^nP$.
$\quad$
b. On admet que pour tout entier naturel $n$, $B^n=\begin{pmatrix} 1&0\\\\0&\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \end{pmatrix}$.
En déduire l’expression de la matrice $A^n$ en fonction de $n$.
$\quad$
a. Montrer que $X_n=\begin{pmatrix} \dfrac35-\dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\\\\ \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.
En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
b. Déterminer alors les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Commun n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère la suite $(z_n)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \ic$ et, pour tout entier naturel $n$, par $$z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.$$
Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n=a_n + \ic b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

Partie A

Donner $a_0$ et $b_0$.
$\quad$
Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac{1}{3}$.
$\quad$
On considère l’algorithme suivant:
Variables :
$\quad$ $A$ et $B$ des nombres réels
$\quad$ $K$ et $N$ des nombres entiers
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $A$ la valeur $1$
$\quad$ Affecter à $B$ la valeur $1$
Traitement :
$\quad$ Entrer la valeur de N
$\quad$ Pour $K$ variant de $1$ à $N$
$\quad$ Affecter à $A$ la valeur $\dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3}$
$\quad$ Affecter à $B$ la valeur $\dfrac{B}{3}$
$\quad$ FinPour
$\quad$ Afficher A
a. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
K & A & B \\\\
\hline
1& & \\\\
\hline
2& & \\\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice?
$\quad$

Partie B

Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
En déduire l’expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l’expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$? En déduire l’expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de $\left(b_n \right)$.
$\quad$
a. On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z’$: $$ \left|z + z’\right|\le \left|z\right|+\left|z’\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}. $$
Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$\left|z_{n+1}\right|\le \dfrac{2\left| z_n \right|}{3}. $$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=\left|z_n\right|$.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $$ u_n\le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\sqrt{2}.$$
En déduire que la suite $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l’on déterminera.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\left|a_n\right|\le u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l’on déterminera.
$\quad$