Antilles Guyane – Septembre 2014

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 6 points

Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D’expérience, le concepteur sait que $9\%$ des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.

À l’issue des tests, il est noté que

$96\%$ des peluches répondant aux normes sont acceptées par les tests ;
$97\%$ des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l’issue des tests.

On prélève une peluche au hasard dans la production de l’entreprise. On note

$N$ l’événement : “la peluche répond aux normes en vigueur”;
$A$ l’événement : “la peluche est acceptée à l’issue des tests”.

Partie A

Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
$\quad$
Démontrer que la probabilité qu’une peluche soit acceptée à l’issue des tests est $0,876~3$.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’une peluche qui a été acceptée à l’issue des tests soit véritablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.
$\quad$

Partie B

On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur (déchirure, arrachage … ). On admet que la durée de vie en années d’une peluche, notée $D$, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

On sait que $P(D \le 4) = 0,5$. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.
Calculer la valeur exacte de $\lambda$.
$\quad$
On prendra ici $\lambda = 0,173~3$.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluche depuis sa naissance décide, voyant qu’elle est encore en parfait état, de la donner à sa sœur qui vient de naître.
Calculer la probabilité pour que sa sœur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.
$\quad$

Partie C

Un cabinet de sondages et d’expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d’une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, noté $J$, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. Il apparaît que $\mu = 358$ jours.

Soit $X = \dfrac{J – 358}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par $X$ ?
$\quad$
On sait que $P(J \le 385) = 0,975$. Déterminer la valeur de $\sigma$ arrondie à l’entier le plus proche.
$\quad$

Exercice 2 – 6 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0; + \infty[$ par $$f(x) = x\e^{-x}.$$

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
$\quad$
\item Déterminer la dérivée $f’$ de la fonction $f$ sur $[0; + \infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0; + \infty[$.
$\quad$

On donne en annexe la courbe $\mathscr{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La droite $\Delta$ d’équation $y = x$ a aussi été tracée.

Partie B

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$.

Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe $\mathscr{C}_{f}$ et la droite $\Delta$, les points $A_{0},\, A_{1}$ et $A_{2}$ d’ordonnées nulles et d’abscisses respectives $u_{0},\, u_{1}$ et $u_{2}$. Laisser les tracés explicatifs apparents.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} > 0$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
$\quad$
a. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
$\quad$
b. On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l’équation $x\e^{- x} = x$.
Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
$\quad$

Partie C

On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $$S_{n} = \sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}.$$
Compléter l’algorithme donné en annexe afin qu’il calcule $S_{100}$.

Annexe – Partie B

Annexe – Partie C

Déclaration des variables :
$\quad$ $S$ et $u$ sont des nombres réels
$\quad$ $k$ est un nombre entier
Initialisation :
$\quad$ $u$ prend la valeur \ldots \ldots
$\quad$ $S$ prend la valeur \ldots \ldots
Traitement :
$\quad$ Pour $k$ variant de $1$ à \ldots
$\qquad$ $u$ prend la valeur $u \times \e^{- u}$
$\qquad$ $S$ prend la valeur \ldots
$\quad$ Fin Pour
$\quad$ Afficher \ldots \ldots
$\quad$

Exercice 3 – 3 points

On considère l’équation $\left(E_{1}\right)$ : $$\e^x – x^n = 0$$
où $x$ est un réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.

Montrer que l’équation $\left(E_{1}\right)$ est équivalente à l’équation $\left(E_{2}\right)$ : $$\ln (x) – \dfrac{x}{n} = 0.$$
$\quad$
Pour quelles valeurs de $n$ l’équation $\left(E_{1}\right)$ admet-elle deux solutions ?
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On note $\C$ l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé $\Ouv$. On prendra comme unité $2$ cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $$f(z) = z^2 + 2z + 9.$$

Calculer l’image de $- 1 + \ic\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
$\quad$
Résoudre dans $\C$ l’équation $f(z) = 5$.
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points $A$ et $B$ dont l’affixe est solution de l’équation ($A$ étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
$\quad$
Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l’équation $f(z) = \lambda$ d’inconnue $z$.
Déterminer l’ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l’équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
$\quad$
Soit $(F)$ l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe $z$ vérifie $$|f(z) – 8| = 3.$$
Prouver que $(F)$ est le cercle de centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
Tracer $(F)$ sur le graphique.
$\quad$
Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \ic y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
a. Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $$x^2 – y^2 + 2x + 9 + \ic (2xy + 2y).$$
$\quad$
b. On note $(E)$ l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
Montrer que $(E)$ est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces droites.
$\quad$
Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles $(E)$ et $(F)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Réservé aux candidats ayant suivi la spécialité

Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées $X$ et $Y$.
D’une année sur l’autre, une partie des fonds de l’agence $X$ est transférée à l’agence $Y$, et réciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.

Soit $n$ un entier naturel. On note $x_{n}$ la quantité de fonds détenue par l’agence $X$, et $y_{n}$ la quantité de fonds détenue par l’agence $Y$ au $1^\text{er}$ janvier de l’année $2014 + n$, exprimées en millions d’euros.

On note $U_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ et on note $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

On suppose que le $1^\text{er}$ janvier de l’année 2014, l’agence $X$ possède $50$ millions d’euros et l’agence $Y$ possède $10$ millions d’euros.

L’évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante :
$$U_{n+1} = AU_{n} + B, ~~ \text{ où }~~ A = \begin{pmatrix}0,6&0,15\\0,2&0,4\end{pmatrix} ~~\text{ et }~~ B = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.$$

Interpréter dans le contexte de l’exercice le coefficient $0,6$ de la matrice $A$ et le coefficient $3$ de la matrice $B$.
$\quad$
Donner la matrice $U_{0}$ puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences $X$ et $Y$ en $2015$, exprimée en millions d’euros.
$\quad$
On note $D = \begin{pmatrix}0,3&0\\0&0,7\end{pmatrix},\: P = \begin{pmatrix}1&3\\- 2&2\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}0,25&- 0,375\\0,25 &0,125\end{pmatrix}$.
a. Donner sans détailler le calcul, la matrice $PDQ$.
$\quad$
b. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit matriciel $QP$. Dans la suite, on admettra que $QP = I$.
$\quad$
On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entier naturel non nul $n,$ $A^n = PD^nQ$.
$\quad$
On pose pour tout entier naturel $n$, $V_{n} = U_{n} – \begin{pmatrix}5\\20/3\end{pmatrix}$.
a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = AV_{n}$.
$\quad$
b. Déterminer $V_{0}$ puis pour tout entier naturel $n$, donner l’expression de $V_{n}$ en fonction de $A$, $n$ et $V_{0}$.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel. On admet que $$A^n = \begin{pmatrix}0,25 \times 0,3^n + 0,75 \times 0,7^n&0,375\left(- 0,3^n + 0,7^n\right) \\\\0,5\left(- 0,3^n + 0,7^n\right)& 0,75 \times 0,3^n + 0,25 \times 0,7^n\end{pmatrix}.$$
a. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matrice $V_{n}$ en détaillant les calculs.
$\quad$
b. En déduire l’expression de $x_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. Déterminer la limite de $x_{n}$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
$\quad$