Asie – Juin 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 5 points

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète $80\%$ de ses boîtes chez le fournisseur A et $20\%$ chez le fournisseur B.

$10\%$ des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et $20\%$ de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les événements suivants :

événement $A$ : “la boîte provient du fournisseur A” ;
événement $B$ : “la boîte provient du fournisseur B” ;
événement $S$ : “la boîte présente des traces de pesticides”.

Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
$\quad$
a. Quelle est la probabilité de l’événement $B \cap \overline{S}$ ?
$\quad$
b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
$\quad$

Partie B

Le gérant d’un salon de thé achète $10$~boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise.
On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
Calculer la probabilité que les $10$ boîtes soient sans trace de pesticides.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
$\quad$

Partie C

À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: “$88\%$ de notre thé est garanti sans trace de pesticides”.
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l’affirmation. À cette fin, il prélève $50$ boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve $12$ avec des traces de pesticides.

On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à $0,88$.
On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$ boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95\%$.
$\quad$
L’inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de $95\%$, que la publicité est mensongère ?
$\quad$

Exercice 2 – 6 points

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par : $$f(x) = \e^x \quad \text{et}\quad g(x) = 1 – \e^{- x}.$$
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$, sont fournies en annexe.

Partie A

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l’annexe.

Partie B

Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.
On note $\mathscr{D}$ l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $A$ d’abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ au point $B$ d’abscisse $b$.

a. Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $A$.
$\quad$
b. Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ au point $B$.
$\quad$
c. En déduire que $b = – a$.
$\quad$
Démontrer que le réel $a$ est solution de l’équation $$2( x – 1)\e^x + 1 = 0.$$
$\quad$

Partie C

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $$\varphi(x) = 2(x -1)\e^x + 1.$$

a. Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
$\quad$
b. Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe.
$\quad$
c. Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\R$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
$\quad$
a. Démontrer que l’équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$.
$\quad$
b. On note $\alpha$ la solution négative de l’équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation.
À l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.
$\quad$

Partie D

Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.
On note $E$ le point de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ d’abscisse $\alpha$ et $F$ le point de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ d’abscisse $- \alpha$ ($\alpha$ est le nombre réel défini dans la partie C).

Démontrer que la droite $(EF)$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $E$.
$\quad$
Démontrer que $(EF)$ est tangente à $\mathscr{C}_{g}$ au point $F$.
$\quad$

Annexe

Exercice 3 – 4 points

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\Ouv$.
On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ d’affixes respectives :
$$a = 2 + 2\ic,\quad b = – \sqrt{3} + \ic,\quad c = 1 + \ic\sqrt{3},\quad d = – 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ic\quad \text{et}\quad e = – 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\ic.$$

Affirmation 1 : les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$\quad$
Affirmation 2 : les points $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle de centre $E$.
$\quad$
Dans cette question, l’espace est muni d’un repère $\Oijk$.
On considère les points $I(1;0;0)$, $J(0;1;0)$ et $K(0;0;1)$.
Affirmation 3 : la droite $\mathscr{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 2 – t \\\\y = 6 – 2 t\\\\z =-2 + t \end{cases}$ où $t \in \R$, coupe le plan $(IJK)$ au point $E\left(- \dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2} \right)$.
$\quad$
Dans le cube $ABCDEFGH$, le point $T$ est le milieu du segment $[HF]$.
$\quad$

Affirmation 4 : les droites $(AT)$ et $(EC)$ sont orthogonales
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.$$
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
$\quad$
a. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 – u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
$\quad$
b. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
$\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : $$u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.$$
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

On considère l’algorithme suivant :
Entrée
$\quad$ Soit un entier naturel non nul $n$
Initialisation
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $2$
Traitement et sortie
$\quad$ POUR $i$ allant de 1 à $n$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$
$\quad$ Afficher $u$
$\quad$ FIN POUR
$\quad$
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
i&1&2& 3\\\\
\hline
u& & &\\\\
\hline
\end{array}$$
Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
i&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\\
\hline
u & \scriptsize{1,008~3}&\scriptsize{0,997~3}&\scriptsize{1,000~9}&\scriptsize{0,999~7}&\scriptsize{1,000~1}&\scriptsize{0,999~97}&\scriptsize{1,000~01}&\scriptsize {0,999~996}&\scriptsize{1,000~001}\\\\
\hline
\end{array}$$
Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l’infini.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} – 1}{u_{n} + 1}$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
$\quad$
b. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 – v_{n}}$.
$\quad$
c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d’une photographie.
Ainsi, le rectangle initial $OEFG$ est transformé en un rectangle $OE’F’G’$, appelé image de $OEFG$.

L’objet de cet exercice est d’étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.

Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\Oij$.
Les points $E$, $F$ et $G$ ont pour coordonnées respectives $(2;2)$, $(-1;5)$ et $(-3;3)$.
La transformation du logiciel associe à tout point $M(x;y)$ du plan le point $M'(x’;y’)$, image du point $M$ tel que: $$\begin{cases} x’=\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\\\y’=\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y \end{cases}$$

a. Calculer les coordonnées des points $E’$, $F’$ et $G’$, images des points $E$, $F$ et $G$ par cette transformation.
$\quad$
b. Comparer les longueurs $OE$ et $OE’$ d’une part, $OG$ et $OG’$ d’autre part.
Donner la matrice carrée d’ordre $2$, notée $A$, telle que: $\begin{pmatrix}x’\\y’ \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet $F$ du rectangle $OEFG$ lorsqu’on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

On considère l’algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.
Une erreur a été commise.
Modifier cet algorithme pour qu’il permette d’afficher ces coordonnées.
Entrée
$\quad$ Saisir un entier naturel non nul $N$
Initialisation
$\quad$ Affecter à $x$ la valeur $- 1$
$\quad$ &Affecter à $y$ la valeur $5$
Traitement
$\quad$ POUR $i$ allant de $1$ à $N$
$\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $\dfrac{5}{4} x + \dfrac{3}{4}y$
$\qquad$ Affecter à $b$ la valeur $\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y$
$\qquad$ Affecter à $x$ la valeur $a$
$\qquad$ Affecter à $y$ la valeur $b$
$\quad$ FIN POUR
Sortie
$\quad$ Afficher $x$, afficher $y$
$\quad$
On a obtenu le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\\\
\hline
x &2,5 &7,25 &15,625 &31,812~5 &63,906~3 &2~047,997~1 &65~535,999~9\\\\
\hline
y &5,5 &8,75 &16,375 &32,187~5 &64,093~8 &2~048,002~9 &65~536,000~1\\\\
\hline
\end{array}$$
Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point $F$.
$\quad$

Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet $E$ du rectangle $OEFG$. On définit la suite des points $E_{n}\left(x_{n};y_{n}\right)$ du plan par $E_{0} =$ E et la relation de récurrence :
$$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},$$
où $\left(x_{n+1};y_{n+1}\right)$ désignent les coordonnées du point $E_{n+1}$.
Ainsi $x_{0} = 2$ et $y_{0} = 2$.

On admet que, pour tout entier $n \ge 1$, la matrice $A^n$ peut s’écrire sous la forme : $A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a :
$$\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad \beta_{n} = 2^{n-1} – \dfrac{1}{2^{n+1}}.$$
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_{n}$ est situé sur la droite d’équation $y = x$.
On pourra utiliser que, pour tout entier naturel $n$, les coordonnées $\left(x_{n};y_{n}\right)$ du point $E_{n}$ vérifient : $$\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.$$
$\quad$
b. Démontrer que la longueur $OE_{n}$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
$\quad$