Centres Étrangers – Juin 2013

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 6 points

Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.
Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

Partie A

La durée de vie d’une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,000~2 $.

Quelle est la durée de vie moyenne d’une vanne ?
$\quad$
Calculer la probabilité, à $0,001$ près, que la durée de vie d’une vanne soit supérieure à $6~000$ heures.

Partie B

Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.
Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état d arche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n’est pas en état de marche après $6~000$ heures. On note :

$F_{1}$ l’événement : “la vanne $V_{1}$ est en état de marche après $6~000$ heures”.
$F_{2}$ l’événement : “la vanne $V_{2}$ est en état de marche après $6~000$ heures”.
$F_{3}$ l’événement : “la vanne $V_{3}$ est en état de marche après $6~000$ heures”.
$E$ : l’événement : “le circuit est en état de marche après $6~000$ heures”.

On admet que les événements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à $0,3$.

L’arbre probabiliste ci-dessous représente une partie de la situation.

Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.
$\quad$
Démontrer que $P(E) = 0,363$.
$\quad$
Sachant que le circuit est en état de marche après $6~000$ heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.
$\quad$

Partie C

L’industriel affirme que seulement $2\%$ des vannes qu’il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l’on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de $400$ vannes prises dans la production totale.

Déterminer l’intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la variable $F$.
$\quad$
On choisit $400$ vannes au hasard dans la production, On assimile ce choix à un tirage aléatoire de $400$ vannes, avec remise, dans la production.
Parmi ces $400$ vannes, $10$ sont défectueuses.
Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause. au seuil de $95\%$, l’affirmation de l’industriel?$\quad$

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.

L’industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 800$ et d’écart-type $\sigma = 40$.

Déterminer $P(760\le D \le 840)$.
$\quad$
Déterminer $P(D\le 880)$.
$\quad$
L’industriel pense que s’il constitue un stock mensuel de $880$ vannes, il n’aura pas plus de $1\%$ de chance d’être en rupture de stock. A-t-il raison ?
$\quad$

Exercice 2 – 4 points

Les quatre questions sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère

les points $A(12;0;0)$, $B(0;-15;0)$, $C(0;0;20)$, $D(2;7;- 6)$, $E(7;3;-3)$;
$\quad$
le plan $\mathscr{P}$ d’équation cartésienne : $2x + y – 2z – 5 = 0 $
$\quad$

Affirmation 1

Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point $A$ est : $$2x + y + 2z – 24 = 0$$

Affirmation 2

Une représentation paramétrique de la droite $(AC)$ est : $\begin{cases}x=9 – 3t\\\\y=0\\\\ z=5 + 5t\end{cases} \quad t\in\R$.

Affirmation 3

La droite $(DE)$ et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.

Affirmation 4

La droite $(DE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

$\quad$

Exercice 3 – 5 points

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ;1]$ par : $$g(x) = 1 + \e^{-x}.$$
On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0; 1]$, $g(x) >0$.

On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d’autre part entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = 1 $.
La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-dessous.

Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit $a$ un réel tel que $0\le a\le 1$.

On note $\mathscr{A}_{1}$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l’axe $(Ox)$,les droites d’équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d’équation $x = a$ et $x = 1$.
$\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d’aire.

a. Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a – \e^{-a} + 1$.
$\quad$
b. Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ par : $$f(x) =2x – 2\e^{- x} + \dfrac{1}{\e}.$$
a. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$.
$\quad$
b. Démontrer que la fonction $f$ s’annule une fois et une seule sur l’intervalle $[0;1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
$\quad$
En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
$\quad$

Partie B

Soit $b$ un réel positif.
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d’équation $y=b$. On admet qu’il existe un unique réel $b$ positif solution.

Justifier l’inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\e}$. On pourra utiliser un argument graphique.
$\quad$
Déterminer la valeur exacte du réel $b$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’avant pas choisi la spécialité mathématique

L’objet de cet exercice est l’étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.

Partie A – Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l’algorithme ci-dessous.
Il a oublié de compléter deux lignes.

Variables
$\quad$ $n$ est un entier naturel
$\quad$ $u$ est un réel
Initialisation
$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $1$
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $1,5$
Traitement
$\quad$ Tant que $n<9 $
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\ldots$
$\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\ldots$
$\quad$ Fin Tant que
Sortie
$\quad$ Afficher la variable $u$

Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension.
$\quad$
Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu’il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu’à $u_{9}$ ?
$\quad$
Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\ldots&99 &100 \\\\
\hline
u_n &1,5 & 0,625 & 0,375 & 0,265~6 & 0,206~3 & 0,169~3 &\ldots & 0,010~2 & 0,010~1\\\\
\hline
\end{array}$$
Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$

Partie B – Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\ge 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
$\quad$
En déduire que, pour tout entier naturel $n\ge 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$
Justifier que, pour tout entier $n\ge 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.
En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
$\quad$

Partie C – Retour à l’algorithmique

En s’inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant choisi la spécialité mathématique

Une espèce d’oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d’un archipel.
Au début de l’année $2013$, $20$ millions d’oiseaux de cette espèce sont présents sur l’île A et $10$ millions sur l’île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d’estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes :

Sur l’île A : $80\%$ du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et $30\%$ du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente;
sur l’île B : $20\%$ du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et $70\%$ du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précédente.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ (respectivement $b_{n}$) le nombre d’ oiseaux (en millions) présents sur l’île A (respectivement B) au début de l’année $(2013 + n)$.

Partie A – Algorithmique et conjectures

On donne ci-dessous un algorithme qui doit afficher le nombre d’oiseaux vivant sur chacune des deux iles, pour chaque année comprise entre $2013$ et une année choisie par l’utilisateur.

Début de l’algorithme
$\quad$ Lire $n$
$\quad$ Affecter à $a$ la valeur $20$
$\quad$ Affecter à $b$ la valeur $10$
$\quad$ Affecter à $i$ la valeur $2013$
$\quad$ Afficher $i$
$\quad$ Afficher $a$
$\quad$ Afficher $b$
$\quad$ Tant que $i < n$ faire
$\qquad$ Affecter à $c$ la valeur $(0,8a + 0,3b)$
$\qquad$ Affecter à $b$ la valeur $(0,2a + 0,7 b)$
$\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $c$
$\quad$ Fin du Tant que
Fin de l ‘algorithme

Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.
$\quad$
On donne ci-dessous une copie d’écran des résultats obtenus après avoir corrigé l’algorithme précédent dans un logiciel d’algorithmique, l’utilisateur avant choisi l’année $2020$.
$\quad$
$\star\star\star$ Algorithme lancé $\star\star\star$
En l’année $2013$, $a$ prend la valeur $20$ et $b$ prend la valeur $10$
En l’année $2014$, $a$ prend la valeur $19$ et $b$ prend la valeur $11$
En l’année $2015$, $a$ prend la valeur $18,5$ et $b$ prend la valeur $11,5$
En l’année $2016$, $a$ prend la valeur $18,25$ et $b$ prend la valeur $11,75$
En l’année $2017$, $a$ prend la valeur $18,125$ et $b$ prend la valeur $11,875$
En l’année $2018$, $a$ prend la valeur $18,042~5$ et $b$ prend la valeur $11,937~5$
En l’année $2019$, $a$ prend la valeur $18,031~25$ et $b$ prend la valeur $11,968~75$
En l’année $2020$, $a$ prend la valeur $18,015~625$ et $b$ prend la valeur $11,984~375$
$\star\star\star$ Algorithme terminé $\star\star\star$
$\quad$
Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.
$\quad$

Partie B – Étude mathématique

On note $U_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_{n}$, où $M$ est une matrice carrée d’ordre 2 que l’on déterminera.
On admet alors que $U_{n}=M^{n}U_{0}$ pour tout entier naturel $n\ge1$.
$\quad$
À l’aide d’un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel $n\ge1$ :
$$M^{n}= \begin{pmatrix}
0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 – 0,6\times 0,5^{n}\\\\
0,4 – 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n}
\end{pmatrix}.$$
On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice $M^{n}$.
$\quad$
Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n\ge 1$.
$\quad$
Avec ce modèle, peut-on dire qu’au bout d’un grand nombre d’années, le nombre d’oiseaux sur l’île A va se stabiliser? Si oui, préciser vers quelle valeur.
$\quad$