Liban – mai 2015

Bac S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1 – 6 points

$ABCDEFGH$ est un cube.

$I$ est le milieu du segment $[AB]$, $J$ est le milieu du segment $[EH]$, $K$ est le milieu du segment $[BC]$ et $L$ est le milieu du segment $[CG]$.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AB}, \vec{AD},\vec{AE}\right)$.

a. Démontrer que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(IJK)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(IJK)$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FD)$.
$\quad$
Soit $M$ le point d’intersection de la droite $(FD)$ et du plan $(IJK)$. Déterminer les coordonnées du point $M$.
$\quad$
Déterminer la nature du triangle $IJK$ et calculer son aire.
$\quad$
Calculer le volume du tétraèdre $FIJK$.
$\quad$
Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont-elles sécantes ?
$\quad$

Exercice 2 – 6 points

On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : pour tout entier naturel $n$, $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \mathrm{d}x$.

Calculer$u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \mathrm{d}x$.
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.
$\quad$
b. En déduire la valeur exacte de $u_1$.
$\quad$
a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l’utilisateur.
$\quad$
Variables :
$\quad$ $i$ et $n$ sont des entiers naturels
$\quad$ $u$ est un réel
Entrée :
$\quad$ Saisir $n$
Initialisation :
$\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\ldots$
Traitement :
$\quad$ Pour $i$ variant de $1$ à $\ldots$
$\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $\ldots$
$\quad$ Fin de Pour
Sortie :
$\quad$ Afficher $u$
$\quad$
b. À l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :
$$\small \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 10 & 50 & 100\\\\
\hline
u_n & 0,6931 & 0,3069 & 0,1931 & 0,1402 & 0,1098 & 0,0902 & 0,0475 & 0,0099 & 0,0050 \\\\
\hline
\end{array}$$
Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ?
$\quad$
a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On appelle $\ell $ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.
$\quad$

Exercice 3 – 3 points

On considère la courbe $\mathscr{C}$ d’équation $y = \e^x$, tracée ci-dessous.

Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathscr{D}_m$ la droite d’équation $y = mx$.

Dans cette question, on choisit $m = \e$.
Démontrer que la droite $\mathscr{D}_{\e}$, d’équation $y = \e x$, est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ en son point d’abscisse $1$.
$\quad$
Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de points d’intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D}_m$.
$\quad$
Démontrer cette conjecture.

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

En prévision d’une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs.

Parmi les $1~200$ personnes qui ont répondu au sondage, 47\,\% affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B.

Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que $10\%$ des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que $20\%$ des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A.

On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note :

$A$ l’évènement “La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A” ;
$B$ l’évènement “La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B”;
$V$ l’évènement “La personne interrogée dit la vérité”.

Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.
$\quad$
a. Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité.
$\quad$
b. Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu’elle affirme vouloir voter pour le candidat A.
$\quad$
Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est $0,529$.
$\quad$
L’institut de sondage publie alors les résultats suivants :
$$\begin{array}{|l|}\hline
52,9\% \text{ des électeurs* voteraient pour le candidat A.}\\
* \scriptsize \text{estimation après redressement, fondée sur un sondage d’un échantillon}\\
\scriptsize \text{représentatif de } 1~200 \text{ personnes.}\\ \hline
\end{array}$$
Au seuil de confiance de $95\%$, le candidat A peut- il croire en sa victoire ?
$\quad$
Pour effectuer ce sondage, l’institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de $10$ communications par demi-heure. La probabilité qu’une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est $0,4$.
L’institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de $1~200$ réponses.
Quel temps moyen, exprimé en heures, l’institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?
$\quad$

Exercice 4 – 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante :

s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de $0,9$ ;
s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de $0,6$.

On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d’arrêter de fumer.

On suppose que $p_0 = 0$ et $q_0 = 1$.

Calculer $p_1$ et $q_1$.
$\quad$
On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$. Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&A &B &C &D\\
\hline
1 &n &p_n &q_n &\\
\hline
2 &0 &0 &1 &\\
\hline
3 &1 & & &\\
\hline
4 &2 & & &\\
\hline
5 &3 & & &\\
\hline
\end{array}$$
Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel $n$.
Quelles formules peut-on écrire dans les cellules $B3$ et $C3$ de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes $B$ et $C$ les termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$ ?
$\quad$
On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n$ par
$$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.$$
On admet que $X_{n+1} = M \times X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = M^n \times X_0$.
On définit les matrices $A$ et $B$ par $A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,2& – 0,8\\- 0,2&0,8\end{pmatrix}$.
a. Démontrer que $M = A + 0,5B$.
Aucun soucis.
$\quad$
b. Vérifier que $A^2 = A$, et que $A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}$.
$\quad$
On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$ et $B^n = B$.
$\quad$
c. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $M^n = A + 0,5^n B$.
$\quad$
d. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_n = 0,8 – 0,8 \times 0,5^n$.
$\quad$
e. À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?