Liban – mai 2016

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

a. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
$AC^2=AB^2+BC^2 = 2$ donc $AC= \sqrt{2}$
$ABCD$ est un carré donc ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.
Ainsi : $IC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Dans le triangle $IEC$ rectangle en $I$ on applique le théorème de Pythagore.
Par conséquent $IE^2+IC^2=EC^2$
Donc $IE^2+\dfrac{2}{4}=1$ soit $IE^2=\dfrac{1}{2}$.
Et $IE=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\quad$
$\vect{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\vect{AB}+\vect{AC}\right)$.
Donc les coordonnées de $I$ sont $(0,5;0,5;0)$.
Et $E$ a pour coordonnées $\left(0,5;0,5;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
On en déduit donc que les coordonnées de $F$ sont $\left(0,5;0,5;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
$\quad$
b. On a $\vect{AB}(1;0;0)$ et $\vect{AE}\left(0,5;0,5;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Par conséquent $\vec{n}.\vect{AB}=0+0+0=0$
Et $\vec{n}.\vect{AE}=-2\times 0,5+\dfrac{2}{2}=-1+1=0$.
Les deux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AE}$ ne sont clairement pas colinéaires.
Ainsi le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABE)$. Il est donc normal à ce plan.
$\quad$
c. Une équation cartésienne de $(ABE)$ est donc de la forme :
$-2y+\sqrt{2}z+d=0$.
Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $0+d=0$ et $d=0$.
Une équation cartésienne de $(ABE)$ est alors $-2y+\sqrt{2}z=0$.
$\quad$
a. $ABCD$ est un carré donc $\vect{AB} = \vect{DC}$.
$\vect{AE}\left(0,5;0,5;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ et $\vect{FC}\left(0,5;0,5;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Donc $\vect{AE}=\vect{FC}$
Par conséquent deux vecteurs non colinéaires du plan $(FDC)$ sont colinéaires à deux vecteurs du plan $(ABE)$.
Les deux plans sont donc parallèles.
$\quad$
b. Le point $M$ appartient au plan $(EMN)$ et à $[DF]$.
Il appartient donc à l’intersection des plans $(EMN)$ et $(FDC)$.
On appelle $H$ le point de coordonnées $(0,25;1;0)$.
Il appartient à $[DC]$.
$M$ est le milieu de $[DF]$ donc ses coordonnées sont $\left(0,25;0,75;\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$.
Ainsi $\vect{MH}\left(0;0,25;-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$.
On a également $N(0,5;0;0)$
Donc $\vect{NE}\left(0;0,5;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Ainsi $\vect{NE}=2\vect{MH}$.
Puisque $N$, $M$ et $E$ appartiennent au plan $(EMN)$ $H$ aussi.
$H$ appartient donc également à l’intersection des plans $(EMN)$ et $(FDC)$.
L’intersection de ces deux plans est par conséquent la droite $(MH)$.
$\quad$
Autre solution pour déterminer graphiquement H :
Les plans $(FDC)$ et $(ABE)$ sont parallèles. Par conséquent les intersections du plan $(EMN)$ avec ces deux plans sont parallèles.
$(EN)$ est l’intersection de $(EMN)$ et de $(AEB)$.
On trace donc la parallèle à $(EN)$ passant par $M$. Elle coupe $(DC)$ en $H$.
$\quad$
c. Les points $E$, $N$, $M$ et $H$ appartiennent à cette section.
On construit le point $J$ comme intersection entre la droite parallèle à $(EH)$ passant par $N$ et le segment $[AF]$ puisque les plans $(EDC)$ et $(ABF)$ sont parallèles (mêmes argument que pour la question 2.a.

$\quad$

Exercice 2

Partie A

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de balles envoyées à droite.
$10$ balles sont envoyées aléatoirement, “avec remise”, indépendamment les unes des autres. Chaque tirage possède deux issues $D$ et $\overline{D}$ où $D$ est l’événement “la balle est lancée à droite”.
$p(D)=0,5$.
Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,5$.
On veut calculer $P(X=10)=\displaystyle \binom{20}{10}\times 0,5^{10}\times 0,5^{20-10}\approx 0,176$.
$\quad$
On veut calculer $P(5 \leqslant X \leqslant 10)=P(X \leqslant 10)-P(X \leqslant 4) \approx 0,582$.
$\quad$

Partie B

On a $n=100$ et $p=0,5$.
Donc $n \geqslant 30$ ,$np=50\geqslant 5$ et $ n(1-p)=50\geqslant 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$\begin{align*} I_{100} &=\left[0,5-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,5\times 0,5}}{\sqrt{100}};0,5-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,5\times 0,5}}{\sqrt{100}}\right] \\\\
&=[0,402;0,598]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=0,42 \in I_{100}$.
Au risque d’erreur de $5\%$ l’appareil fonctionne correctement.
$\quad$

Partie C

On appelle $D$ l’événement “la balle est envoyée à droite” et $L$ l’événement “la balle est liftée”.

On a ainsi $p(D\cap L)=0,24$ et $p\left(\overline{D}\cap \overline{L}\right)=0,235$

Ainsi $p_D(L)=\dfrac{p(D \cap L)}{p(D)}=\dfrac{0,24}{0,5}=0,48$.
Par conséquent $p_D\left(\overline{L}\right)=0,52$.
Donc $p\left(D\cap \overline{L}\right)=0,5 \times 0,52 = 0,26$.

D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*} p\left(\overline{L}\right)&=p\left(D\cap \overline{L}\right)+p\left(\overline{D}\cap \overline{L}\right) \\
&=0,26+0,235 \\
&=0,495
\end{align*}$$

Ainsi $p_{\overline{L}}(D) = \dfrac{p\left(D\cap \overline{L}\right)}{p\left(\overline{L}\right)}=\dfrac{0,26}{0,495}\approx 0,525$.

$\quad$

Exercice 3

Partie A

$f$ est un quotient de fonctions dérivables sur $[0;1]$ dont le dénominateur ne s’annule pas (puisque la fonction exponentielle est strictement positive). Elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
Ainsi $f'(x)=-\dfrac{-\e^{1-x}}{\left(1+\e^{1-x}\right)^2}$ $= \dfrac{\e^{1-x}}{\left(1+\e^{1-x}\right)^2}$.
La fonction exponentielle étant positive, pour tout réel $x\in[0;1]$ on a donc $f'(x) > 0$.
La fonction $f$ est donc croissante sur $[0;1]$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{1}{1+\e^{1-x}} \\
&=\dfrac{1}{1+\e^{1-x}} \times \dfrac{e^x}{e^x}\\
&=\dfrac{\e^x}{\e^x+\e}
\end{align*}$
$\quad$
On a ainsi :
$$\begin{align*} \int_0^1f(x)\mathrm{d}x &= \Big[\ln\left(\e^x+\e\right)\Big]_0^1 \\
&= \ln(2\e)-\ln(1+\e) \\
&=\ln(2)+\ln(\e)-\ln(1+\e)\\
&=\ln(2)+1-\ln(1+\e)
\end{align*}$$

Partie B

$f_0(x)=1$ pour tout $x\in[0;1]$.
$u_n$ correspond à l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_n$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
$\quad$
Puisque la fonction $f_0$ est constante sur $[0;1]$ alors $u_0=1\times 1=1$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ semble être décroissante.
$\quad$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_{n} &=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+(n+1)\e^{1-x}}\mathrm{d}x-\int_0^1 \dfrac{1}{1+n\e^{1-x}}\mathrm{d}x \\
&= \int_0^1 \left(\dfrac{1}{1+(n+1)\e^{1-x}}-\dfrac{1}{1+n\e^{1-x}}\right) \mathrm{d}x \\
&= \int_0^1 \dfrac{1+ne^{1-x}-1-(n+1)\e^{1-x}}{\left(1+(n+1)\e^{1-x}\right)\left(1+n\e^{1-x}\right)} \mathrm{d}x\\
&=\int_0^1 \dfrac{-\e^{1-x}}{\left(1+(n+1)\e^{1-x}\right)\left(1+n\e^{1-x}\right)} \mathrm{d}x
\end{align*}$
Du fait de la positivité de l’exponentielle, $u_{n+1}-u_{n}<0$ et la suite est bien décroissante.
$\quad$
Pour tout $n$ on a $u_n > 0$ comme intégrale d’une fonction continue strictement positive sur $[0;1]$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle est par conséquent convergente et possède ainsi une limite.
$\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Affirmation 1 : fausse
On a $P(20 \leqslant X \leqslant 21,6) = 0,34$
Donc $P(18,4 \leqslant X \leqslant 21,6) = 0,68$ soit $P(20-1,6 \leqslant X \leqslant 20+1,6)=0,68$.
Cela signifie donc que $\sigma \approx 1,6$.
Ainsi $P(X \geqslant 23,2) = 0,5-P(20 \leqslant X \leqslant 23,2) \approx 0,023$

Affirmation 2 : vraie
$\begin{align*} |Z|=1 &\ssi |\ic z|=|z-2| \\
&\ssi |z|=|z-2|
\end{align*}$
Cet ensemble de points est donc la médiatrice du segment $[BC]$ où $B$ a pour affixe $0$ et $C$ a pour affixe $2$.
Cette médiatrice passe par le milieu de $[BC]$ qui est $A$ d’affixe $1$.

Affirmation 3 : vraie
Pour tout $z\neq 2$,
$\begin{align*} Z&=\dfrac{\ic z}{z-2} \\
&=\dfrac{\ic(x+\ic y)}{x+\ic y -2} \\
&=\dfrac{(\ic x-y)(x-2-\ic y)}{(x-2)^2+y^2} \\
&=\dfrac{(x-2)x\ic -y(x-2)+xy+\ic y^2}{(x-2)^2+y^2} \\
&\dfrac{2y+\ic\left((x-2)x+y^2\right)}{(x-2)^2+y^2}
\end{align*}$
$Z$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $2y =0$ soit $y=0$ c’est-à-dire $z$ est un réel.

Affirmation 4 : vraie
$\begin{align*} f(x)=0 &\ssi \dfrac{3}{4+6\e^{-2x}}=0,5 \\
&\ssi 3=2+3\e^{-2x} \\
&\ssi 1=3\e^{-2x} \\
&\ssi \dfrac{1}{3} = \e^{-2x} \\
&\ssi -\ln 3=-2x \\
&\ssi x = \dfrac{\ln 3}{2}
\end{align*}$

Affirmation 5 : fausse
$f(0,54) \approx 0,496~9$ et $f(0,55) \approx 0,500~2$.
L’algorithme va afficher $0,55$.

$\quad$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Affirmation 1 : vraie
Soit $n$ une solution de ce système
Alors $n-11 \equiv 1-11 \quad [5] \ssi n-11 \equiv -10 \quad [5] \ssi \equiv n-11 \equiv 0 \quad [5]$
$n-11$ est donc divisible par $5$.
Et $n-11 \equiv 3-11 \quad [4] \ssi n-11 \equiv -8 \quad [4] \ssi n-11 \equiv 0 \quad [4]$.
$n-11$ est donc également divisible par $4$.

Affirmation 2 : vraie
Soit $k$ un entier relatif et $n=11+20k$.
$11 \equiv 1 \quad [5]$ donc $n=11+5\times 4k \equiv 1 \quad [5]$.
$11 \equiv 3 \quad [4]$ donc $n=11 +4\times 5k \equiv 3 \quad [4]$.
Ainsi $n$ est bien solution du système.

Affirmation 3 : vraie
$11$ est une solution évidente du système.
Soit $n$ une autre solution.
Par différence, on obtient : $\begin{cases} n-11 \equiv 0 \quad [5] \\n-11\equiv 0 \quad [4] \end{cases}$
Ainsi $n-11$ est divisible à la fois par $4$ et $5$ qui sont premiers entre eux.
D’après le théorème de Gauss, $20=4\times 5$ divise $n-11$.
Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $n-11=20k$ soit $n=11+20k$.

Affirmation 4 : fausse
D’après le graphe probabiliste on peut dire que, pour tout entier naturel $n$ on a $a_{n+1}=0,3a_n+0,8b_n$
Or l’algorithme donne la valeur $0,8a+0,3b$ à $a$.

Affirmation 5 : vraie
On calcule les différentes valeurs de $a_n$ et $b_n$:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&0&1&2&3&4 \\
\hline
a_n&0&0,8&0,4&0,6&0,5 \\
\hline
b_n&1&0,2&0,6&0,4&0,5 \\
\hline
\end{array}$
Il y a donc équiprobabilité d’être dans l’état A que dans l’état B après $4$ secondes

$\quad$

Exercice 5

a. Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{align*} u_{n+1}&=z_{n+1}-4-2\ic \\
&=\dfrac{1}{2}\ic \times z_n+5-4-2\ic \\
&=\dfrac{1}{2}\ic \times \left(u_n+4+2\ic\right)+1-2\ic \\
&=\dfrac{1}{2}\ic \times u_n +2\ic-1+1-2\ic \\
&=\dfrac{1}{2}\ic \times u_n
\end{align*}$
$\quad$
b. Démontrons ce résultat par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=z_0-z_A=-4-2\ic$
$\left(\dfrac{1}{2}\ic\right)^0(-4-2\ic)=-4-2\ic$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=\left(\dfrac{1}{2}\ic\right)^n(-4-2\ic)$
Alors :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2}\ic \times u_n \\
&=\dfrac{1}{2}\ic \times \left(\dfrac{1}{2}\ic\right)^n(-4-2\ic) \\
&= \left(\dfrac{1}{2}\ic\right)^{n+1}(-4-2\ic)
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\left(\dfrac{1}{2}\ic\right)^n(-4-2\ic)$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} u_{n+4}&=\left(\dfrac{1}{2}\ic\right)^{n+4}(-4-2\ic) \\
&=\left(\dfrac{1}{2}\ic\right)^n \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \times (-4-2\ic) \\
&= u_n \times \dfrac{1}{2^4}
\end{align*}$
Or $u_n$ est l’affixe de $\vect{AM_n}$ et $u_{n+4}$ est l’affixe de $\vect{AM_{n+4}}$.
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les points $A$, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.