Bac S – Métropole – Juin 2014

Métropole – Juin 2014

Bac S – Mathématiques

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Exercice 1  –  5 points

Partie A

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par $\mathscr{C}_1$ la courbe représentative de la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par : $$f_1(x) = x + \e^{-x}.$$

  1. Justifier que $\mathscr{C}_1$ passe par le point $A$ de coordonnées $(0;1)$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On précisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
    $\quad$

Partie B

L’objet de cette partie est d’étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie sur $\N$ par : $$I_n = \int_0^1 \left(x + \e^{- nx}\right)\mathrm{d}x.$$

  1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé $\Oij$ , pour tout entier naturel $n$, on note $\mathscr{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n $ définie sur $\R$ par $$f_n(x) = x + \e^{- nx}. $$
    Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe $\mathscr{C}_n$ pour plusieurs valeurs de l’entier $n$ et la droite $\mathscr{D}$ d’équation $x = 1$.Bac S - métropole - juin2014 - ex1
    a. Interpréter géométriquement l’intégrale $I_{n}$.
    $\quad$
    b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $$I_{n+1} – I_{n} = \int_{0}^1 \e^{-(n + 1)x} \left(1 – \e^{x}\right)\mathrm{d}x.$$
    En déduire le signe de $I_{n+1} – I_{n}$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. Déterminer l’expression de $I_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
    $\quad$

Exercice 2  –  5 points

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :

  • la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est $0,99$ ;
  • la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est $0,001$.
  1. Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à $0,1\%$. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
    On note $M$ l’événement “la personne choisie est malade” et $T$ l’événement “le test est positif”.
    a. Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l’événement $T$ est égale à $1,989 \times 10^{-3}$.
    $\quad$
    c. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
    Affirmation : “Si le test est positif, il y a moins d’une chance sur deux que la personne soit malade”.
    $\quad$
  2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à $0,95$. On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie dans la population.
    À partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?
    $\quad$

Partie B

La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament.

  1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre $890$ et $920$ mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathscr{N}\left(\mu,\sigma^2\right)$, de moyenne $\mu = 900$ et d’écart-type $\sigma = 7$.
    a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à $10^{-2}$.
    $\quad$
    b. Déterminer l’entier positif $h$ tel que $P(900 – h \le X \le 900 + h) \approx 0,99$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. La chaîne de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins $97\%$ de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de $1~000$ comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à $1~000$ tirages successifs avec remise.
    Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53$ comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé.
    Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

On désigne par $(E)$ l’équation $$z^4 + 4z^2 + 16 = 0$$  d’inconnue complexe $z$.

  1. Résoudre dans $\C$ l’équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$.
    Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.
    $\quad$
  2. On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à $2$ et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$.
    Calculer $a^2$ sous forme algébrique.
    En déduire les solutions dans $\C$ de l’équation $z^2 = – 2 + 2\ic\sqrt{3}$. On écrira les solutions sous forme algébrique.
    $\quad$
  3. Restitution organisée de connaissances
    On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \ic y$ où $x \in \R$ et $y \in R$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x – \ic y$.
    Démontrer que :
    — Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$, $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}.\overline{z_{2}}$.
    $\quad$
    —Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$, $\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
    $\quad$
  4. Démontrer que si $z$ est une solution de l’équation $(E)$ alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de $(E)$.
    En déduire les solutions dans $\C$ de l’équation $(E)$. On admettra que $(E)$ admet au plus quatre solutions.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère un tétraèdre $ABCD$ dont les faces $ABC$, $ACD$ et $ABD$ sont des triangles rectangles et isocèles en $A$. On désigne par $E$, $F$ et $G$ les milieux respectifs des côtés $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$.
O
n choisit $AB$ pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}\right)$ de l’espace.

  1. On désigne par $\mathscr{P}$ le plan qui passe par $A$ et qui est orthogonal à la droite $(DF)$.
    On note $H$ le point d’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $(DF)$.
    a. Donner les coordonnées des points $D$ et $F$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(DF)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    d. Calculer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$
    e. Démontrer que l’angle $\widehat{EHG}$ est un angle droit.
    $\quad$
  2. On désigne par $M$ un point de la droite $(DF)$ et par $t$ le réel tel que $\vec{DM} = t\vec{DF}$. On note $\alpha$ la mesure en radians de l’angle géométrique $\widehat{EMG}$.
    Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que $\alpha$ soit maximale.
    a. Démontrer que $ME^2 = \dfrac{3}{2}t^2 – \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le triangle $MEG$ est isocèle en $M$.
    En déduire que $ME\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
    $\quad$
    c. Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right)$ est maximal.
    En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $ME^2$ est minimal.
    $\quad$
    d. Conclure.
    $\quad$

Exercice 4  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l’élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

  • il vide le bassin B et vend tous les poissons qu’il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • la vente de chaque poisson permet l’achat de deux petits poissons destinés au bassin A.
    Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus $200$ poissons pour le bassin A et $100$ poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, on note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de $n$ années.
En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est $a_{0} = 200$ et celui du bassin B est $b_{0} = 100$.

  1. Justifier que $a_{1} = 400$ et $b_{1} = 300$ puis calculer $a_{2}$ et $b_{2}$.
    $\quad$
  2. On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$, on pose $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
    a. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n} + B$.
    $\quad$
    b. Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\b_{n} + 300\end{pmatrix}$.
    Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = AY_{n}$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n} = Y_{2n}$.
    a. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $Z_{n+1} = A^2 Z_{n}$. En déduire que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1} = 2Z_{n}$.
    $\quad$
    b. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$, $$Y_{2n} = 2^n Y_{0}.$$
    En déduire que $Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$a_{2n} = 600 \times 2^n – 400\quad \text{et}\quad a_{2n+1} = 800 \times 2^n – 400.$$
    $\quad$
  4. Le bassin A a une capacité limitée à $10~000$ poissons.
    a. On donne l’algorithme suivant.
    Variables :
    $\quad$ $a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.
    Initialisation :
    $\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $p$.
    Traitement :
    $\quad$ Si $p$ est pair
    $\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$
    $\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $600 \times 2^n – 400$.
    $\quad$ Sinon
    $\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p – 1}{2}$
    $\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $800 \times 2^n – 400$.
    $\quad$ Fin de Si.
    Sortie :
    $\quad$ Afficher $a$.
    $\quad$
    Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
  5. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d’années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.
    $\quad$