Bac S – Métropole – Juin 2015

Métropole Juin 2015

BAC S – Mathématiques

La correction de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1  –  6 points

Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Partie 1

  1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif donné.
    On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f$ définie sur $[0;+ \infty[$ par $$f(x) = \lambda\e^{- \lambda x}.$$
    a. Soit $c$ et $d$ deux réels tels que $0 \le c < d$.
    Démontrer que la probabilité $P( c \le X \le d)$ vérifie $$P(c \le X \le d) = \e^{- \lambda c} – \e^{- \lambda d}$$
    $\quad$
    b. Déterminer une valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20)$ soit égale à $0,05$.
    $\quad$
    c. Donner l’espérance de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
    Dans la suite de l’exercice on prend $\lambda = 0,15$.
  2. a. Calculer $P(10 \le X \le 20)$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $(X > 18)$.
    $\quad$
  3. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $16$ et d’écart type $1,95$.
    a. Calculer la probabilité de l’événement $(20 \le Y \le 21)$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $(Y < 11) \cup (Y > 21)$.
    $\quad$

Partie 2

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés. Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d’achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d’achat verts prennent la valeur de $30$ euros avec une probabilité égale à $0,067$ ou des valeurs comprises entre $0$ et $15$ euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d’achat rouges prennent les valeurs $30$ ou $100$ euros avec des probabilités respectivement égales à $0,015$ et $0,010$ ou des valeurs comprises entre $10$ et $20$ euros avec des probabilités non précisées ici.

  1. Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à $30$ euros sachant qu’il est rouge.
    $\quad$
  2. Montrer qu’une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à $30$ euros vaut $0,057$.
    $\quad$
    Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
    $\quad$
  3. Dans un des magasins de cette chaîne, sur $200$ clients privilégiés, $6$ ont reçu un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à $30$ €.
    $\quad$
    Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achats dans les différents magasins de la chaîne.
    Ses doutes sont-ils justifiés ?
    $\quad$

Exercice 2  –  3 points

Dans un repère orthonormé $(O,I,J,K)$ d’unité $1$ cm, on considère les points $A(0;-1;5)$, $B(2;-1;5)$, $C(11;0;1)$, $D(11;4;4)$.

Un point $M$ se déplace sur la droite $(AB)$ dans le sens de $A$ vers $B$ à la vitesse de $1$ cm par seconde.
Un point $N$ se déplace sur la droite $(CD)$ dans le sens de $C$ vers $D$ à la vitesse de $1$ cm par seconde.
À l’instant $t = 0$ le point $M$ est en $A$ et le point $N$ est en $C$.
On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.
On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t;-1;5)$ et $N_t(11;0,8t;1 + 0,6 t)$.

Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.

  1. a. La droite $(AB)$ est parallèle à l’un des axes $(OI)$, $(OJ)$ ou $(OK)$. Lequel ?
    $\quad$
    b. La droite $(CD)$ se trouve dans un plan $\mathscr{P}$ parallèle à l’un des plans $(OIJ)$, $(OIK)$ ou $(OJK)$.
    Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    c. Vérifier que la droite $(AB)$, orthogonale au plan $\mathscr{P}$, coupe ce plan au point $E(11;-1;5)$.
    $\quad$
    d. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles sécantes ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que $M_t^{}N_t ^2 = 2 t^2 – 25,2 t + 138$.
    $\quad$
    b. À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale?
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. Résoudre dans l’ensemble $\C$ des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue $z$ : $$z^2 – 8z + 64 = 0.$$
    $\quad$
    Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\Ouv$.
    $\quad$
  2. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a = 4 + 4\ic\sqrt{3}$, $b = 4 – 4\ic\sqrt{3}$ et $c = 8\ic$.
    a. Calculer le module et un argument du nombre $a$.
    $\quad$
    b. Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$.
    $\quad$
    c. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un même cercle de centre $O$ dont on déterminera le rayon.
    $\quad$
    d. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $\Ouv$.
    $\quad$
    Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.
    $\quad$
  3. On considère les points $A’$, $B’$ et $C’$ d’affixes respectives $a’ = a \e^{\ic\frac{\pi}{3}}$, $b’ = b\e^{\ic\frac{\pi}{3}}$ et $c’ = c\e^{\ic\frac{\pi}{3}}$.
    a. Montrer que $b’ = 8$.
    $\quad$
    b. Calculer le module et un argument du nombre $a’$.
    $\quad$
    Pour la suite on admet que $a’ = -4 + 4\ic\sqrt{3}$ et $c’ = – 4\sqrt{3} + 4\ic$.
    $\quad$
  4. On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d’affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{m + n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n – m|$.
    a. On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs $R$, $S$ et $T$ des segments $[A’B]$, $[B’C]$ et $[C’A]$.
    Calculer $r$ et $s$. On admet que $t = 2 – 2\sqrt{3} + \ic\left(2 + 2\sqrt{3}\right)$.
    $\quad$
    b. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle $RST$ ?
    Justifier ce résultat.
    $\quad$

Exercice 3  –  5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On considère l’équation $(E)$ à résoudre dans $\Z$ : $$7 x – 5 y = 1.$$
    a. Vérifier que le couple $(3;4)$ est solution de $(E)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le couple d’entiers $(x;y)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $7(x – 3) = 5(y – 4)$.
    $\quad$
    c. Montrer que les solutions entières de l’équation $(E)$ sont exactement les couples $(x;y)$ d’entiers relatifs tels que : $$\begin{cases} x = 5k + 3\\\\ y = 7k + 4 \end{cases}\quad \text{ où } k \in \Z.$$
    $\quad$
  2. Une boîte contient $25$ jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les $25$ jetons il y a $x$ jetons rouges et $y$ jetons verts. Sachant que $7x – 5 y = 1$, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ?
    $\quad$
    Dans la suite, on supposera qu’il y a $3$ jetons rouges et $4$ jetons verts.
    $\quad$
  3. On considère la marche aléatoire suivante d’un pion sur un triangle $ABC$.
    A chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les $25$, puis on le remet dans la boîte.
    Lorsqu’on est en $A$ :
    Si le jeton tiré est rouge, le pion va en $B$. Si le jeton tiré est vert, le pion va en $C$. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en $A$.
    Lorsqu’on est en $B$ :
    Si le jeton tiré est rouge, le pion va en $A$. Si le jeton tiré est vert, le pion va en $C$. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en $B$.
    Lorsqu’on est en $C$ :
    Si le jeton tiré est rouge, le pion va en $A$. Si le jeton tiré est vert, le pion va en $B$. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en $C$.
    Au départ, le pion est sur le sommet $A$.
    Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$,\: $b_n$ et $c_n$ les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets $A$, $B$ et $C$ à l’étape $n$.
    On note $X_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n& c_n\end{pmatrix}$ et $T$ la matrice $\begin{pmatrix}0,72 &0,12 &0,16\\0,12 &0,72 &0,16\\0,12& 0,16& 0,72\end{pmatrix}$.
    Donner la matrice ligne $X_0$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = X_nT$.
    $\quad$
  4. On admet que $T = PDP^{-1}$ où $P^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{37}{110}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{10}&- \frac{1}{10}&0\\0&\frac{1}{11}&- \frac{1}{11}\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}1&0&0&\\0&0,6&0\\0&0&0,56\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    a. À l’aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice $P$. On pourra remarquer qu’ils sont entiers.
    $\quad$
    b. Montrer que $T^n = PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
    c. Donner sans justification les coefficients de la matrice $D^n$.
    $\quad$
    On note $\alpha_n$, $\beta_n$, $\gamma_n$ les coefficients de la première ligne de la matrice $T^n$ ainsi : $$T^n = \begin{pmatrix}\alpha_n&\beta_n&\gamma_n\\\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots\end{pmatrix}$$
    On admet que $\alpha_n = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} \times 0,6^n$ et $\beta_n = \dfrac{37 – 77 \times 0,6^n + 40 \times 0,56^n}{110}$.
    On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
    $\quad$
  5. On rappelle que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n = X_0T^n$.
    a. Déterminer les nombres $a_n$, $b_n$, à l’aide des coefficients $\alpha_n$ et $\beta_n$. En déduire $c_n$.
    b. Déterminer les limites des suites $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
    $\quad$
    c. Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d’itérations de cette marche aléatoire?
    $\quad$

Exercice 4  –  6 points

Bac S - Métropole - juin 2015 - ex4

 

Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-dessus en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères $OAD’D$, $DD’C’C$, et $OAB’B$ sont des rectangles.

Le plan de face $(OBD)$ est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, $DD’ = 10$, sa longueur $OD$ est de $20$ mètres.

Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;20]$ par $$f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) – 3x + 7.$$

On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère $(O, I, J)$.

Bac S - Métropole - juin 2015 - ex4.2

Partie 1

  1. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;20]$, on a $f'(x) = \ln (x + 1) -2$.
    $\quad$
  2. En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$ et dresser son tableau de variation.
    $\quad$
  3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d’abscisse $0$.
    La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point $B$.
    $\quad$
  4. On admet que la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0;20]$ par $$g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) – \dfrac{1}{4}x^2 – \dfrac{1}{2}x$$ a pour dérivée la fonction $g’$ définie sur l’intervalle $[0;20]$ par $g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)$.
    Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;20]$.
    $\quad$

Partie 2

Les trois questions de cette partie sont indépendantes

  1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
    $P_1$ : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à $8$ mètres.
    $\quad$
    $P_2$ : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en $B$ qu’en $C$.
    $\quad$
  2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de $5$ m$^2$ par litre.
    Déterminer, à $1$ litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
    $\quad$
    On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère $(O, I, J)$ du plan de face, les points $B_k(k;f(k))$ pour $k$ variant de $0$ à $20$.
    Bac S - Métropole - juin 2015 - ex4.3
    Ainsi, $B_0 = B$.
    On décide d’approcher l’arc de la courbe $\mathscr{C}$ allant de $B_k$ à $B_{k+1}$ par le segment $\left[B_kB_{k+1}\right]$.
    Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type $B_k B_{k+1} B’_{k+1}B_k$ (voir figure).
    $\quad$
    a. Montrer que pour tout entier $k$ variant de $0$ à $19$, $B_kB_{k+1} = \displaystyle\sqrt{1 + \left (f(k + 1) – f(k)\right )^2}$.
    $\quad$
    b. Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.
    Variables
    $\quad$ $S$ : réel
    $\quad$ $K$ : entier
    $\quad$ Fonction $f$ : définie par $f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7$
    Traitement
    $\quad$ $S$ prend pour valeur $0$
    $\quad$ Pour $K$ variant de $\ldots$ à $\ldots$
    $\qquad$ $S$ prend pour valeur $\ldots \ldots \ldots \ldots$
    $\quad$ Fin Pour
    Sortie
    $\quad$ Afficher $\ldots$